相似三角形模型分析大全精

1、第一部分 相似三角形知識(shí)要點(diǎn)大全知識(shí)點(diǎn)1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同（3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)例1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒(méi)有改變解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?，大小不一定相同?下列各組圖形：兩個(gè)平行四邊形；兩個(gè)圓；兩個(gè)矩形；有一個(gè)內(nèi)角80°的兩個(gè)等腰三角形；兩個(gè)正五邊形；有一個(gè)內(nèi)

2、角是100°的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_(填序號(hào))解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似答案：知識(shí)點(diǎn)2比例線段對(duì)于四條線段a,b,c,d ，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例，記作（或a:b=c:d），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的項(xiàng)為a,b,

3、c,d，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，d是第四比例項(xiàng)（3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等例3已知線段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求與長(zhǎng)度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比例4已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長(zhǎng)度分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,d統(tǒng)一單位后代入求c知識(shí)點(diǎn)3相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：

4、相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對(duì)應(yīng)”關(guān)系（2）明確相似多邊形的“對(duì)應(yīng)”來(lái)自于書寫，且要明確相似比具有順序性例5若四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長(zhǎng)為30，則四邊形A1B1C1D1的最小邊長(zhǎng)是多少？分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，且它們的相似比為對(duì)應(yīng)的最大邊長(zhǎng)的比，即為，再根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)4相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應(yīng)結(jié)合相似

5、多邊形的性質(zhì)來(lái)理解相似三角形；（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，讀作“相似于”；（5）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比注意：相似比是有順序的，比如ABCA1B1C1，相似比為k,若A1B1C1ABC，則相似比為。若兩個(gè)三角形的相似比為1，則這兩個(gè)三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形不一定全等例6如圖，已知ADEABC，DE=2，BC=4，則和的相似比是多少？點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)嗎？ 注意：解決此類問(wèn)題應(yīng)注意兩方面：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識(shí)別解：因?yàn)锳DEAB

6、C，所以，因?yàn)?，所以，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)5相似三角的判定方法（1） 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；（2） 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長(zhǎng)線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（3） 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（4） 如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（5） 如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（6） 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似例7如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AB上，滿足

7、怎樣的條件時(shí)，ACD與ABC相似？試分別加以列舉 分析：此題屬于探索性問(wèn)題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與ABC已有公共角A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，ACDABC條件一：1=B；條件二：2=ACB；條件三：，即AC2=AD·AB知識(shí)點(diǎn)6相似三角形的性質(zhì)（1） 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（2） 對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3） 相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方例8如圖，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE、AE的長(zhǎng)；（2）

8、 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例 分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似，可得到對(duì)應(yīng)邊成例，即例9已知ABCA1B1C1，=，ABC的周長(zhǎng)為20cm，面積為40cm2求（1）A1B1C1的周長(zhǎng)；（2）A1B1C1的面積分析：根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解易求出A1B1C1的周長(zhǎng)為30cm; A1B1C1的面積90cm2第二部分 相似三角形模型分析大全1、 相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或

9、者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（6） 雙垂型： 2、 相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。 8字型拓展共享性 一線三等角的變形 一線三直角的變形第三部分 相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BECD交CA延長(zhǎng)線于E 求證： 例2：已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上, 求證：（1）； （2）ACDEB 例3：已知：如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證： 相關(guān)練習(xí)：1、如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證： 2、已知：AD是RtABC

10、中A的平分線，C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N。求證：(1)AMENMD; (2)ND=NC·NB3、已知：如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，E是AC上一點(diǎn)，CFBE于F。求證：EB·DF=AE·DB5 ACBPDE（第25題圖）已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的

11、函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長(zhǎng). 2、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45°求證：（1）ABEACD； （2）一線三等角型相似三

12、角形CADBEF例1：如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 例2：（1）在中，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長(zhǎng)；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD（2） 正方形的邊長(zhǎng)為（如下圖），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，求出線段的長(zhǎng).ABCDABCD 例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求A

13、P的長(zhǎng)CDABP（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)例4：如圖，在梯形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線交腰于點(diǎn)，射線交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)；（3）若，求的長(zhǎng)相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且ABCDE(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明ADE是什么三角形

14、，并說(shuō)明理由 2、如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點(diǎn)，BD=2，E是BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF； （2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長(zhǎng)3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）4、如圖，已知邊長(zhǎng)為的等邊，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為邊向右側(cè)作等邊，直線交直線于點(diǎn)，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積備用圖一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一