直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用學(xué)案

1、直線的參數(shù)方程及應(yīng)用目標(biāo)點(diǎn)擊：1 掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式，理解參數(shù)的幾何意義；2 熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化；3 利用直線的參數(shù)方程求線段的長，求距離、求軌跡、與中點(diǎn)有關(guān)等問題；基礎(chǔ)知識點(diǎn)擊：1、 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段的數(shù)量，P()為直線上任意一點(diǎn). P0P=t P0P=t (2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3) 若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3 則P1P2中點(diǎn)P3的參數(shù)為

2、t3,P0P3= (4)若P0為P1P2的中點(diǎn)，則t1t20，t1·t2<02、 直線參數(shù)方程的一般式過點(diǎn)P0()，斜率為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）yh0hP0hP()Q 一、直線的參數(shù)方程問題1：（直線由點(diǎn)和方向確定） 求經(jīng)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程. 設(shè)點(diǎn)P()是直線上任意一點(diǎn)，（規(guī)定向上的方向?yàn)橹本€L的正方向）過點(diǎn)P作y軸的平行線，過P0作x軸的平行線，兩條直線相交于Q點(diǎn). 1)當(dāng)與直線同方向或P0和P重合時(shí)，yh0hP()P0hQ P0P|P0P| 則P0QP0Pcos Q PP0Psin2)當(dāng)與直線反方向時(shí)，P0P、P0Q、Q P同時(shí)改變符號 P0P

3、|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立 設(shè)P0Pt，t為參數(shù)， 又P0Q， tcos Q P =t sin 即是所求的直線的參數(shù)方程 P0Pt，t為參數(shù)，t的幾何意義是：有向直線上從已知點(diǎn)P0()到點(diǎn) P()的有向線段的數(shù)量，且|P0P|t| 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的下方；yh0hP0hP()特別地，若直線的傾斜角0時(shí)，直線的參數(shù)方程為 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的右側(cè)； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合；yh0hPP0h 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的左側(cè)；問題2：直線上的點(diǎn)與對應(yīng)的參數(shù)t是不是

4、一 對應(yīng)關(guān)系？ 我們把直線看作是實(shí)數(shù)軸， 以直線向上的方向?yàn)檎较?，以定點(diǎn)P0 為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長為單位長， 這樣參數(shù)t便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P建立了 一一對應(yīng)關(guān)系.問題3：P1、P2為直線上兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2 ， 則P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1問題yh0hP1P0hP24：若P0為直線上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，P1、P2所對應(yīng)的 參數(shù)分別為t1、t2 ，則t1、t2之間有何關(guān)系？ 根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義， P1Pt1，P2Pt2，P0為直線 上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2

5、, t1t2<0 一般地，若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)， 所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3，P3為P1、P2的中點(diǎn) 則t3 （P1P3P2P3, 根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義， P1P3= t3t1, P2P3= t3t2, t3t1=(t3t2,) ） 基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥：1、參數(shù)方程與普通方程的互化例1：化直線的普通方程0為參數(shù)方程，并說明參數(shù)的幾何意 義,說明t的幾何意義. 解：令y=0,得1，直線過定點(diǎn)(1,0). k= 設(shè)傾斜角為，tg=,= , cos =, sin= 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)） t是直線上定點(diǎn)M0（1，0）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的數(shù)量.由 (1)、(2)

6、兩式平方相加,得 tt是定點(diǎn)M0（1，0）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的長. 點(diǎn)撥：求直線的參數(shù)方程先確定定點(diǎn)，再求傾斜角,注意參數(shù)的幾何意義.例2：化直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角， 說明t的幾何意義. 解：原方程組變形為 (1)代入(2)消去參數(shù)t， 得 (點(diǎn)斜式) 可見k=, tg=,傾斜角= 普通方程為 (1)、(2)兩式平方相加,得t= t是定點(diǎn)M0（3，1）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的長的一半.點(diǎn)撥：注意在例1、例2中，參數(shù)t的幾何意義是不同的，直線的參數(shù)方程 為即是直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，(-)2+()2=1, t的幾何意義是有向線段 的數(shù)量.直線的參數(shù)方程為是非

7、標(biāo)準(zhǔn)的形式，12()2=41，此時(shí)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量的一半.你會區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式？例3：已知直線過點(diǎn)M0（1，3），傾斜角為，判斷方程（t為參數(shù)）和方程（t為參數(shù)）是否為直線的參數(shù)方程？如果是直線的參數(shù)方程，指出方程中的參數(shù)t是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義.解：由于以上兩個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線的的普通方程 ，所以，以上兩個(gè)方程都是直線的參數(shù)方程，其中 cos =, sin=，是標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t是有向線段的數(shù)量.，而方程是非標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有上述的幾何意義.點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會利用參數(shù)t 的幾何意義解決有關(guān)問

8、題.問題5：直線的參數(shù)方程能否化為標(biāo)準(zhǔn)形式？ 是可以的，只需作參數(shù)t的代換.(構(gòu)造勾股數(shù)，實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化) 令t¢= 得到直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量.2、直線非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)化一般地，對于傾斜角為、過點(diǎn)M0()直線參數(shù)方程的一般式為， （t為參數(shù)）， 斜率為(1) 當(dāng)1時(shí)，則t的幾何意義是有向線段的數(shù)量. (2) 當(dāng)1時(shí)，則t不具有上述的幾何意義. 可化為 令t¢=則可得到標(biāo)準(zhǔn)式 t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量.例4：寫出經(jīng)過點(diǎn)M0（2，3），傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并且 求出直線上與點(diǎn)M0相距為2的點(diǎn)的坐標(biāo). 解：直線

9、的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為 即（t為參數(shù)）（1） 設(shè)直線上與已知點(diǎn)M0相距為2的點(diǎn)為M點(diǎn)，且M點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t, 則| M0M|t| =2, t=±2 將t的值代入(1)式 當(dāng)t=2時(shí)，M點(diǎn)在 M0點(diǎn)的上方，其坐標(biāo)為（2，3）； 當(dāng)t=-2時(shí)，M點(diǎn)在 M0點(diǎn)的下方，其坐標(biāo)為（2，3）.點(diǎn)撥：若使用直線的普通方程利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩， 而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較 容易.例5：直線（t為參數(shù)）的傾斜角 . 解法1：消參數(shù)t,的ctg20°=tg110° 解法2：化為標(biāo)準(zhǔn)形式： （t為參數(shù)） 此直線的傾斜角為110°基

10、礎(chǔ)知識測試1：1、 求過點(diǎn)(6,7),傾斜角的余弦值是的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程. 2、 直線的方程：（t為參數(shù)），那么直線的傾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直線（t為參數(shù)）的斜率和傾斜角分別是( )A) 2和arctg(2) B) 和arctg() C) 2和arctg2 D) 和arctg4、 已知直線 （t為參數(shù)）上的點(diǎn)A、B 所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2，點(diǎn)P分線段BA所成的比為（1），則P所對應(yīng)的參數(shù)是 . 5、直線的方程： （t為參數(shù)）A、B是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)參數(shù)值t1、t2，那么|AB|等于( ) A

11、 t 1t 2 B t 1t 2 C D t 1+t 26、 已知直線： (t為參數(shù))與直線m：交于P點(diǎn)，求點(diǎn)M(1,5)到點(diǎn)P的距離. 二、直線參數(shù)方程的應(yīng)用ABMP (2,0)y0例6：已知直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為，直線 和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)， 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求： (1)P、M兩點(diǎn)間的距離|PM|； (2)M點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)線段AB的長|AB|解：(1)直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為,設(shè)直線的傾斜角為，tg= cos =, sin=直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）* 直線和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中， 整理得 8t215t500 =152+4×8

12、×50>0,設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為t1、t2,由韋達(dá)定理得 t1t2, t1t2 ，由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，得| PM| 中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t M=,將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程*，M點(diǎn)的坐標(biāo)為 即 M（，）(3) |AB|t 2t 1 點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，在解決諸如直線上兩點(diǎn)間的距離、直線上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí)，比用直線的普通方程來解決顯得比較靈活和簡捷.例7：已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為， (1)求直線與直線：的交點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離| PQ|； (2)求直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A，B與P點(diǎn)的距離之積. 解：

13、(1)直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為,直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方 程為，即（t為參數(shù)）代入直線： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即為直線與直線的交點(diǎn)Q所對應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù)t的幾 何意義可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程16，得,整理得：t28t+12=0， =82-4×12>0,設(shè)此二次方程的兩個(gè)根為t1、t2 則t1t2=12 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A, B所對應(yīng)的參數(shù)值，則|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t1 t2|

14、=12點(diǎn)撥：利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題、距離的乘積（或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡便.例8：設(shè)拋物線過兩點(diǎn)A(1,6)和B(1,2)，對稱軸與軸平行，開口向右， 直線y=2+7被拋物線截得的線段長是4，求拋物線方程. 解：由題意，得拋物線的對稱軸方程為y=2.設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，2） 方程為(y2)2=2P(x) (P>0) 點(diǎn)B(1,2)在拋物線上，(22)2=2P(1) P=8P 代入 得(y2)2=2P2P+16 將直線方程y=2+7化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程tg=2, 為銳角， cos =, sin

15、= 得（t為參數(shù)） 直線與拋物線相交于A，B, 將代入并化簡得： 0 ，由=>0,可設(shè)方程的兩根為t1、t2， 又|AB|=t 2t 1 4 =(4)2 化簡，得(6P)2=100 P=16 或P=-4(舍去) 所求的拋物線方程為(y2)2=3248點(diǎn)撥：(1)（對稱性） 由兩點(diǎn)A(1,6)和B(1,2)的對稱性及拋物線的對稱性質(zhì)，設(shè)出拋物線的方程（含P一個(gè)未知量，由弦長AB的值求得P）. (2)利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長問題.此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后，求弦長。對于有些題使用直線的參數(shù)方程相對簡便些.例9：已知橢圓，AB是通過左焦點(diǎn)F1的弦，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)， 求|

16、F2A|·| F2B|的最大值.解：由橢圓方程知2，b=,c=1, F1(0,0),F2(2,0),設(shè)過的弦所在直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） 代入橢圓方程整理得（3sin2）t26 t cos9=0 ，=36cos236（3sin2）>0此方程的解為t1、t2，分別為A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理t1t2= t1 t2 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為過點(diǎn)F1的直線和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn) A, B所對應(yīng)的參數(shù)值，| F1A|t1| |F1B|t2| |AB|=t 2t 1 | F1A|·|F1B|t1|·|t2|=|t1t2| 由橢圓的第一定義| F1A

17、| F2A|24， | F1B|+| F2B|=24 | F2A|·| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|·|F1B| =16-4t 2t 1+|t1t2|=16-4+ =16- 當(dāng)sin21時(shí)，| F2A|·| F2B|有最大值點(diǎn)撥：求過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數(shù)方程解 題，此題中兩定點(diǎn)F1(0,0),F2(2,0),顯然F1坐標(biāo)簡單，因此選擇過F1 的直線的參數(shù)方程，利用橢圓的定義將| F2A|·| F2B| 轉(zhuǎn)化為| F1A|·|F1B|. 例10：（黃岡習(xí)題冊：P1

18、55,第23題） （2）除書中解法外，補(bǔ)充解法二. 解法二：設(shè)過點(diǎn)P(,0)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù) ，且) (1) 直線與圓5相交于B,C將直線的方程(1)代入圓的方程 得 t2+2t cos+250，=(2cos)2-4(25)>0. 即 2 sin2+5>0 (2) tBtC=2cos tB tC= 25 直線與拋物線y2=+7相交于A,D將直線的方程(1)代入拋物線的 方程得(sin2)t2t cos70 ， = cos2-4(sin2)(-7)>0 即1+(4+27) sin2>0 (3) tAtD= tB tC= 又|AB|=|CD| 線段AD與線段BC的中點(diǎn)重合，即 tAtD=tBtC = -2cos 即-2=， ,且 0<sin2<1 將sin2代入(2)、(3) 必須滿足 -10<< 點(diǎn)撥：此題利用直線參數(shù)方程形式比普通方程求的范圍運(yùn)算量相對要 小，注意使用直線上兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)的參數(shù).方法總結(jié)：利用直線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)），給研究直線與圓