第十一章常微分方程

1、第十一章 常微分方程一基本要求1了解微分方程及其解、通解、特解和初始條件、初值問(wèn)題等概念。2掌握變量可分離方程和一階線性微分方程的求解方法。3能熟練識(shí)別2中兩 類方程及齊次微分方程、伯努利方程。在掌握它們的求解方法的基礎(chǔ)上領(lǐng)會(huì)用變量代換的方法將待解方程化為可分離變量的方程，然后積分求解的思想。4掌握全微分方程的概念及判別全微分方程的條件，學(xué)會(huì)用曲線積分的方法和分項(xiàng)組合的方法求解全微分方程。5了解積分因子的概念，并能觀察出一些簡(jiǎn)單的微分方程的積分因子，學(xué)會(huì)用積分因子求一些簡(jiǎn)單的微分方程的解。6會(huì)用降階法解如下類型的高階微分方程：。7理解二階齊次、非齊次線性微分方程解的性質(zhì)及通解的結(jié)構(gòu)，并能了解階

2、線性微分方程的通解也有類似的結(jié)構(gòu)。8熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法（特征根法），并會(huì)求某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程的解。9掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程當(dāng)右端函數(shù)為，時(shí)的解法（待定系數(shù)法）。其中為實(shí)數(shù)，分別為次多項(xiàng)式。并會(huì)運(yùn)用疊加原理求右端自由項(xiàng)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。10知道歐拉方程的解法和兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組的解法。11掌握用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，即：分析題意建立微分方程；確定初始條件（或邊值條件）；根據(jù)方程類型求解微分方程。二問(wèn)題解析1所有的微分方程是否都有通解？不一定！微分方程的通解是指含有任意常數(shù)且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)

3、相同。例如考慮下列兩個(gè)微分方程： 此方程顯然無(wú)解， 此方程僅有一個(gè)解由此可見(jiàn)，不是所有的微分方程都有通解。2微分方程的通解是否能包含它的所有解？不一定！例如微分方程因?yàn)橛傻?，故所以是的解，又因解中含有一個(gè)任意常數(shù)，與方程的階數(shù)相同，所以它是通解。但是顯然也是微分方程的解，但它不包含在通解中，也就是說(shuō)在通解中無(wú)論C取什么值，都不可能有。這里稱作原方程的奇解。奇解的曲線和積分曲線都是相切的。課本中對(duì)微分方程的奇解未進(jìn)行討論。同學(xué)們只要知道這一概念即可。3在求解微分方程的過(guò)程中，是否會(huì)發(fā)生“丟解”和“增解”的現(xiàn)象？應(yīng)怎樣處理？會(huì)的。我們通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明這一問(wèn)題。例如：這是一個(gè)可分離變量的微分方程，

4、將方程兩邊同除分離變量，得假定，兩邊積分得通解為但是，事實(shí)上也是原方程的解，在分離變量?jī)蛇呁龝r(shí)“丟失”了。我們可以這樣處理，將變型為當(dāng)時(shí)，通解包括了特解，于是原方程的通解可“完整”地表示為.又例如：求方程滿足的特解.將方程分離變量后得兩邊積分得 代入得故所求微分方程的特解為特解中隱含兩個(gè)不同的可導(dǎo)函數(shù)與，而方程滿足的解是，那么在中含有“增解”，嚴(yán)格地講“增解”理應(yīng)舍去。但我們一般不作此要求，而仍將含有“增解”的等式稱為微分方程的解。對(duì)于解微分方程時(shí)，出現(xiàn)的“丟解”和“增解”現(xiàn)象，如果求的是微分方程的通解，我們可以不必計(jì)較“丟解”和“增解”現(xiàn)象。而如果是求所給問(wèn)題的初值問(wèn)題（一般應(yīng)是某個(gè)應(yīng)用問(wèn)

5、題的數(shù)學(xué)模型），此時(shí)，要注意在解方程的過(guò)程中是否有丟失的解，并驗(yàn)證這個(gè)丟失的解是否適合初值問(wèn)題。這樣問(wèn)題的答案將是更加準(zhǔn)確。4怎樣認(rèn)識(shí)微分方程中未知函數(shù)和自變量的關(guān)系？常微分方程中一般反映的是兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的等式。根據(jù)隱函數(shù)存在定理，方程中兩個(gè)變量，哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，這是相對(duì)的。微分方程中的，則可以理解為兩個(gè)微分與之商，根據(jù)所給問(wèn)題，靈活地來(lái)確定哪 個(gè)做為自變量，哪個(gè)做為因變量，這樣，往往可使問(wèn)題迎忍而解。例如：求方程的通解。此題若視為自變量，為因變量 ，便很難處理。反之若將看作自變量，作為因變量，原方程化為：這是一階線性微分方程。利用公式得 .5一階微分方程有哪些最基本的類型

6、？基本解題方法和思路是怎樣的？一階微分方程中最基本、最常見(jiàn)的有三種類型，即可分離變量方程、線性方程和全微分方程。其它某些方程往往可以通過(guò)變量代換，轉(zhuǎn)化為上述三種最基本的類型。（1）可分離變量及可化為分離變量的方程可分離變量的微分方程形如的方程稱為可分離變量的微分方程，兩邊同除或以達(dá)到分離變量的目的。齊次方程形如的方程稱為齊次方程。對(duì)此類方程；引入代換，則代入原方程，化為，轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程，其通解為。注：課本里，我們還介紹了一些微分方程可通過(guò)變量代換，化為可分離變量的微分方程。（2）線性方程及可化為線性方程的方程線性方程對(duì)于未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次的一階方程稱為一階線性微分方程。

7、其形式為： ， （11-3） （11-4）稱為對(duì)應(yīng)于方程（11-3）的線性齊次微分方程，方程（11-3）稱為線性非齊次微分方程。方程（11-4）是可分離變量的微分方程，先求出其通解再利用常數(shù)變易法，令是方程（11-3）的解，代入（11-3）后求出得可化為線性方程的方程伯努利方程：形如的方程稱為伯努利方程。將方程改寫為，作變換，化為線性微分方程，其通解為：。（3）全微分方程如果方程的左端是某一函數(shù)的全微分，即則稱方程為全微分方程，課本上介紹了三種求全微分方程解的方法。即偏積分法、線積分法和分項(xiàng)組合法。同學(xué)們可根據(jù)方法的特點(diǎn)，選定上述方法求解。求解一階線性微分方程，判斷方程的類型是解題的關(guān)鍵，一般

8、地我們可以選擇下面的方法和思路：對(duì)于方程先判定是否為可分離變量的微分方程，即是否有，否則可轉(zhuǎn)入下一步。判斷是否為全微分方程。若，則為全微分方程；若，繼續(xù)判別。解出，為一階線性方程；若為貝努利方程。根據(jù)以上思路，判別下面給出的一階微分方程所屬類型：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）為可分離變量的方程；（2）為齊次方程；（3）為全微分方程；（4）將視為未知函數(shù)，而視為自變量，將方程改寫為，這是一個(gè)線性方程；（5）為線性方程；（6）為伯努利方程。6利用初等積分法解微分方程，是否要注意解的定義區(qū)間？應(yīng)該注意的。我們考察例子這是一個(gè)可分離變量的微分方程。分離變量有若x(0, )，取于是有從

9、而得到 即 。注意到也是方程的一個(gè)解，通解為：。如果是在區(qū)間（，0）上考慮上述方程的解，那么應(yīng)當(dāng)是，同樣可以得到上面的通解形式。因此，一般求微分方程的通解，且沒(méi)有指明要求在哪一區(qū)間上求微分方程的通解，上例我們可直接將積分寫成，即可一般在求特解時(shí)，則要注意到的取值范圍。7對(duì)于可降階的高階微分方程，方程的特點(diǎn)是不顯含自變量，令則用=而不用，為什么？因?yàn)橹胁伙@含，用代換，則=,代入原方程，可將方程化為一個(gè)含有關(guān)于與的一階方程： =，從而達(dá)到降階求解的目的。但是若用代換，將得到方程：=，出現(xiàn)三個(gè)變?cè)灰追e分。8二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理中，如果是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么(為任意常數(shù))為該線性齊

10、次方程的通解。這里“線性無(wú)關(guān)”能否可去掉？為什么？不能去掉。是方程的解，這一性質(zhì)稱為線性齊次方程的疊加原理。但不一定是該方程的通解，這里雖然兩個(gè)任意常數(shù)，但當(dāng)與線性相關(guān)時(shí)，兩常數(shù)就會(huì)合并為一個(gè)任意常數(shù)，因而不是該方程的通解；只有當(dāng)和線性無(wú)關(guān)時(shí)，是該方程的通解。9對(duì)于方程，為什么特解仍設(shè)為），而不設(shè)為呢？這是因?yàn)榉匠逃叶穗m然僅含，沒(méi)有，但實(shí)際上的多項(xiàng)式因式是0，可以視為0次多項(xiàng)式，根據(jù)設(shè)特解的規(guī)則仍設(shè)為）。反之，若設(shè)就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，而求不出正確的解。10在建立微分方程，解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)要注意什么？用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題，包括建立微分方程、確定定解條件，從而確定出初值問(wèn)題，最后求解方程這幾個(gè)主要步驟。

11、由于問(wèn)題的廣泛性在建立微分方程時(shí)要涉及多方面的科學(xué)知識(shí)。因而，有一定的難度。但是在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)的基本原則和方法是有共同之處的。即在建立方程時(shí)，都首先要從問(wèn)題中分析出哪些是已知量，哪些是未知量，然后可用以下兩種方法建立方程。方法一 從任一瞬時(shí)狀態(tài)尋求未知量的變化率與各個(gè)變量和已知量的關(guān)系，把變量間應(yīng)該服從的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，即表為未知函數(shù)的微分方程。方法二 從局部的微小改變中尋求微分與各個(gè)變量和已知量的關(guān)系，利用微分概念并依據(jù)變量間應(yīng)服從的規(guī)律列出方程，這種方法又稱為微元法。在建立微分方程時(shí)，經(jīng)常涉及幾何、物理、力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)及生物、醫(yī)學(xué)、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等方面的問(wèn)題。我們經(jīng)常要注意把握以下

12、幾點(diǎn)：（1）把握導(dǎo)數(shù)在各個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的意義由于微分方程中所含的導(dǎo)數(shù)都是實(shí)際問(wèn)題中各種變量的變化率。因此需要注意熟悉用導(dǎo)數(shù)表示各種變化率。例如：切線的斜率為=，曲線的曲率為=；速度；電流，另外還經(jīng)?？紤]放射中的衰變率、人口問(wèn)題中的增長(zhǎng)率；經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的邊際收入、邊際成本與邊際利潤(rùn)等。（2）熟悉與問(wèn)題有關(guān)的各種定律、原理、原則等，這里不再一一列舉了。（3）按照用微分方程解應(yīng)用問(wèn)題的一般方法步驟解決問(wèn)題。這里值得注意的是，一般來(lái)說(shuō)，我們按照“三步曲”求出微分方程的解之后，還應(yīng)檢查解的合理性，做到所求的解與實(shí)際問(wèn)題的情況相吻合。三習(xí)題提示或簡(jiǎn)解習(xí)題 11-1（P230）3.證明：因?yàn)?，所以 ；把，代入

13、微分方程中，可得所以 是方程的解。 又因?yàn)槲⒎址匠淌且浑A的，且解含有一個(gè)任意常數(shù)所以是方程的通解。解： 把 代入 中有 ，所以， 即特解為。4. 證明：因?yàn)?，所以 ，代入方程 中，可得左邊，右邊，所以 左邊 右邊，所以 是方程的解。 又因?yàn)榉匠淌且浑A的，且解中含有一個(gè)任意常數(shù)，所以是方程的通解。解： 把 代入 中，有 ，所以 ，所以特解為 。5. 解： 設(shè)曲線方程為，則在點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為。令Y = 0 ，則 ，所以即 。所以曲線所滿足的微分方程為。6.解：因?yàn)樵跁r(shí)間t時(shí)的加速度為，所以 ，對(duì)上式兩邊積分得對(duì)上式兩邊再積分得因?yàn)?t0 時(shí)，x0；t1時(shí)，所以 ，解得 所以位移

14、x與時(shí)間t得函數(shù)關(guān)系為。習(xí)題 11-2 （P247） 1-8題從略9.證明：令，則， 因?yàn)椋詫⒋肟傻谜淼眉椿癁樽兞靠煞蛛x方程，方程兩邊積分可得即把 v=x y代入上式可得原方程通解為10. 證明： 因?yàn)?，則 ，并且，代入中，可得即可變成可分離變量的方程。解：令，則，并且，代入中可得，對(duì)最后一個(gè)式子兩邊積分可得將代入得通解為 11.證明：因?yàn)?，則，把及代入方程，得即得證。 解：兩邊同乘以得，整理得令，則 代入上式得式對(duì)應(yīng)的齊次方程為即 兩邊積分所以齊次方程的通解為用常數(shù)變易法求的通解，令代入中可得得故的通解為代會(huì) ，得原方程的通解為 解：令，則 代入上式可得 進(jìn)而有，并且有，兩邊積分得所

15、以，即將代入得原方程得通解為12. 解： 設(shè)，則，即，解之得. 設(shè)，則，即，解之得. 設(shè)，則，解之得. 設(shè)，則，解之得. 設(shè)，則，解之得. 設(shè)，則，即， （1）這是一個(gè)非齊次線性方程，其對(duì)應(yīng)得齊次方程為，即，兩邊積分得，所以齊次方程的通解為用常數(shù)變易法求方程（1）的通解，設(shè)，代入方程（1）得，所以故方程（1）的解是代回得原方程的解.13.解： 由知，上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，整理可得，等價(jià)于，這是一階非線性方程，解得，由得，所以.16. 證明：要證的積分因子是，設(shè)，即證 是全微分方程，即證滿足條件，因?yàn)樗?，因此得證。解：在方程兩邊乘，得由于所給方程為全微分方程，所以存在函數(shù)，且，由此式兩邊對(duì)x積分

16、得 ，將上式對(duì)y求偏導(dǎo)，可得，從而可得 .即 ，解之得 .17.證明：即證是全微分方程。設(shè)，因?yàn)樗?，從而得證。18.解：要使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只需 成立，解之可得 因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以可得習(xí)題 11-4 （P265）9. 解：對(duì) ，關(guān)于x求導(dǎo)得：再對(duì)x求導(dǎo)得 ，整理得故原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解解得。習(xí)題 11-6 （P270） 1. 解：由，解得，代入條件t0時(shí)，R；t1600時(shí)，R，從而。所以鐳量與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為. 2. 解：設(shè)質(zhì)量為m，速度為v，由題意可得，解之得，代入初始條件：t0時(shí)，v0，得，所以降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為.3. 解：由題意得 解得 .代入初始條件：t0

17、時(shí)，v，得，所以滑行速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為. 4. 解：設(shè)離地高度為r則由題意列出方程組利用代換可得，則 .于是方程組轉(zhuǎn)化為解得當(dāng)r0時(shí)， . 5. 解：設(shè)曲線的方程為，由題意得兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)，可得解得 ，代入條件：x2時(shí)，得，故曲線的方程為.6. 解：由，可得，所以 ，由曲線在點(diǎn)的切線斜率為，得，所以解得，又曲線過(guò)點(diǎn)，代入可得，所以 .又處處可導(dǎo)，且曲線過(guò)點(diǎn)，故曲線方程為 . 7. 解：設(shè)曲線的方程為，由題意得初始問(wèn)題 ，再由條件可將方程化簡(jiǎn)為 .解得 . 8. 解：設(shè)曲線偏離平衡位置以下得距離為x，則由題意可列方程， 解得 9. 解： 設(shè)t時(shí)刻鏈條滑下得距離為s，則，即 令，則，

18、于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為， 其中 ，從而解得 ，當(dāng)時(shí)，。 設(shè)t時(shí)刻鏈條滑下的距離為s，則， 即 令，則，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為， 其中 。從而，當(dāng)時(shí)，。第十一章 總習(xí)題（P284）1 選擇題（1）解 （I）、（II）顯然是可分離變量的微分方程，而方程（III）可變形為，古方程（III）是線性微分方程。故正確選擇（C）。（2）解 由題意，所求曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率為 積分得 ，所以原方程的通解為又因?yàn)樵撉€過(guò)原點(diǎn)，故可得，所以該曲線的方程是 。故正確選擇（A）。(3) 解 已知函數(shù)y(x)滿足微分方程是一個(gè)齊次微分方程，令即y=xu,原方程化為，分離變量 ，兩邊積分得，即，所以原方程的通解為 當(dāng)x=-1時(shí)，y=

19、-1，因?yàn)槲⒎址匠蹋瑑H在且時(shí)，才有意義（即x與y同號(hào)時(shí)，才有意義），現(xiàn)x=-1<0,所以必有y<0,故正確選擇（A）。（4）解 已知函數(shù)滿足的微分方程是一個(gè)貝努利方程。令，將原方程化為一解線性非齊次微分方程，可利用常數(shù)變易法解上式方程，得通解為。于是,原方程的通解為，又由已知，當(dāng)x=1時(shí)，y=1,故得c=0,于是有，在x=e時(shí)，有，即可得。故正確選項(xiàng)（B）(5)解 所給方程是一個(gè)不顯含x的二階微分方程，利用降解法 令，則，于是原方程化為，這是一階可分離變量的方程，積分求解得，即有，分離變量，兩邊積分得，由條件 得于是有，則當(dāng)x=2時(shí)，。故正確選擇（D）(6)解 因?yàn)槎A常系數(shù)非齊次

20、方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，又是方程的一個(gè)特解，所以通解為，又因?yàn)?，則故有，于是得即得，即。故正確選擇（B）(7)解 因?yàn)樗o微分方程的特征方程為，所以特征根。所以微分方程的特解為，而微分方程的特解為。故正確選擇（D）(8)解 所給微分方程的特征方程是，因此特征根是，從而非齊次線性方程的特解形式，代入微分方程，取出待定的常數(shù)。故微分方程的通解為，又由題意 可得出，所以。故正確選擇（C）(9)解 因?yàn)榍€所滿足的微分方程為，這是一個(gè)可分離變量的微分方程。分離變量，兩邊積分得，所以有，即，又由題意當(dāng)x=0，y=-2。所以c=3。故得到 。故正確選擇（C）(10)解 由二階線性齊次方程解的疊加性知：

21、 （為任意常數(shù)）是微分方程的解。故正確選擇（C）。2 填空題(1)解 因?yàn)樗o微分方程為所以可將微分方程變形為，這是可分離變量的微分方程。其通解為。(2)解 因?yàn)樗o微分方程為，將方程中x視為未知函數(shù)，而y視為自變量得即這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程。其通解為。(3)解 因?yàn)樗o微分方程可變形為即，令，所以，代入上面的方程，原方程化為，即，分離變量得，兩邊積分，所以，于是得。(4)解 令y=f(x)得，這是一個(gè)全微分方程，因?yàn)?，此時(shí)原方程可寫為，所以，這是一個(gè)可分離變量的一階方程，即。分離變量得，兩邊積分所以，故，即。(5)解： 以為通解的二階常系數(shù)線性齊次方程為，故可設(shè)所求方程為，把y=si

22、nx代入得，從而所求方程為。3提示：將原方程直接分離變量，即分求通解。注意y=0是求積分時(shí)丟掉的一個(gè)解，且不含在通解中。(1) 提示：將原方程化為線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。(2) 提示：將x是為未知函數(shù)，則原方程化為線性方程。(3) 提示：令，將原方程變?yōu)檫@是關(guān)于u 的一階線性微分方程。(4) 提示：令，則，代入原方程得，這是貝努利方程，可令，可化為一階線性微分方程。(5) 提示：原方程是常系數(shù)線性齊次微分方程。(6) 提示：原方程是常系數(shù)線性非齊次微分方程。易求得對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，而右端函數(shù)，記，利用待定系數(shù)法分別求出特解即可。(7) 提示：原方程為常系數(shù)線性非齊次微分方程。4略。5解 由題

23、設(shè)可知，當(dāng)x=0時(shí)，有y(0)=0,將積分方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得這是一個(gè)一階線性微分方程，即，解之得，又x=0時(shí)，y(0)=0得c=-2，所以。6解 將積分方程，兩端對(duì)x求導(dǎo)得，且當(dāng)x=0時(shí)，。分離變量并積分得，代入,得c=ln2,所以為所求。7解 將積分方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，且x=1時(shí)，。記有，將y視為自變量，方程化為，這是一個(gè)貝努利方程，令則方程化為，解之得即，亦即，由得，故所求是確定的隱函數(shù)。8解 由全微分方程的充要條件知，即，這是常系數(shù)線性非齊次微分方程。解之得，由，則。從而，于是原方程變?yōu)?，其通解為?c為任意常數(shù))。9解 當(dāng)x<1時(shí)，有，其通解為(x<1),由得，所以。當(dāng)時(shí)，

24、有，其通解為,由于y(x)在x=1連續(xù)，從而得，故，即，于是補(bǔ)充定義函數(shù)值，則得在上連續(xù)的函數(shù)。10解 由已知，令y=0得，即，既有。固定x，在等式兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，得令y=0,得，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解。令即，分離變量，兩邊積分得，由得c=0，所以，即為所求。11解 由題設(shè)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，又，即得初值問(wèn)題，令即有，分離變量，兩邊積分得，由得c=0，故，即。12解 設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則切線MA的方程為 ，令則，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由，則有，化簡(jiǎn)得，這是貝努利方程。令，則方程化為，求解得，即，由y>0,故。又因?yàn)長(zhǎng)過(guò)，故由得，所以L的方程為。13解 設(shè)所求曲線方程為，由題意得積分方程：兩邊對(duì)

25、a求導(dǎo)得，這是一個(gè)關(guān)于y, a的可分離變量的微分方程，分離變量得，所以，即 ，又因?yàn)閥(3)=2, 既有c=-3，所以。故所求的曲線方程為。14解 設(shè)曲線方程為 ，其上點(diǎn)處的切線方程為：，令x=0，得y軸上的截距，由題意有，即，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得整理得，從而，積分得（為任意常數(shù) ）。15解 依題意建立初值問(wèn)題 ，解方程，積分后得。16解 設(shè)所求曲線方程為，由題意得 ，方程兩邊求導(dǎo)得，整理得，這是可分離變量的微分方程。分離變量后兩邊積分得，由y(1)=1得c=1,故所求曲線為。17解 設(shè)船行駛的航線為，航線與水流線在點(diǎn)P的切線與x軸的交角分別為，則，由得，而，由得，這是一個(gè)齊次方程，解得航線為所求。

26、18解 根據(jù)題意，建立初值問(wèn)題 （*）方程（*）為常系數(shù)線性微分方程。解之得 ，由得，所以 。四提高訓(xùn)練題1.填空題：（1）微分方程的通解為_(kāi). (2)微分方程的通解為_(kāi). (3) 設(shè)(為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_(kāi).（4）微分方程滿足初始條件的特解是_. 2選擇題：（1）設(shè)是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的特解，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限（A）不存在 （B）等于1 （C）等于2 （D）等于3（2）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為（A） （B） （C） （D） 3（96，6分）求微分方程的通解. 4.（97，5分）已知是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程.

27、5（95，8分）設(shè)是微分方程的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件的特解. 6（96，8分）（1）求初值問(wèn)題的解，其中為正常數(shù)； （2）若，證明當(dāng)時(shí)有. 7（95，6分）已知連續(xù)函數(shù)滿足條件，求. 8（02，7分）（1）驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程； （2）利用（1）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 9（03，12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是的反函數(shù).（1）試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.（2）求變換后的微分方程滿足初始條件的解.10.（03，9分）設(shè)，其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件：，且 （1）求所滿足的微分方程； （2）求出的表達(dá)式.11設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)處的切線

28、方程為，求該曲線的方程，并求函數(shù)的極值.12（99，6分）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且.過(guò)曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程.13（01，9分）設(shè)是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1） 試求曲線的方程；（2） 求位于第一象限部分的一條切線，是該切線與以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小.14（03，9分）設(shè)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在軸上的投影，為坐標(biāo)原點(diǎn). 若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為，求的表達(dá)式.15（03，12分

29、）設(shè)位于第一象限的曲線過(guò)點(diǎn)，其上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線在上的弧長(zhǎng)為，試用表示曲線的弧長(zhǎng).16設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)，且對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有=0，求函數(shù)的表達(dá)式. 17（03，10分）有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓半徑為2. 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體）.（1）根據(jù)時(shí)刻液面的面積，寫出與之間的關(guān)系式；（2）求曲線的方程.（注：表示長(zhǎng)度單位米，

30、表示時(shí)間單位分）提高訓(xùn)練題解答1 填空題：（1）解：應(yīng)填因?yàn)樵匠虒?duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為,的通解為.設(shè)齊次方程的特解代入原方程得比較兩端的同次冪系數(shù)得于是，所求方程的通解為（2）解：應(yīng)填為.因?yàn)樵匠虒?duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為的通解為.不是特征方程的特征根，故設(shè)非齊次方程的特解于是代入方程得，所以，于是得，所求方程的通解為.（3）解：應(yīng)填為.因?yàn)榉治鐾ń獾男问街獮樘卣髦?，?jù)此故所求的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是.（4）解：應(yīng)填為.因?yàn)樗o方程屬于不顯含的可降階的高階微分方程，令代入原方程化為，即. （）所以，兩邊積分得，即.所以，分離變量?jī)蛇叿e分得由得，再由得，所以所給問(wèn)題的特解為或.2 選擇題：（1）解：是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的解，即有，所以正確的選擇是（C）.（2） 解：因?yàn)槭俏⒎址匠痰慕猓?，故，而?正確的選擇是（A）.3解：令，則.當(dāng)時(shí)，原方程化為其通解為，換回原變量得當(dāng)時(shí)，原方程的解與相同.4解：由題設(shè)與是相應(yīng)齊次方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且是非齊次方程的一個(gè)特解，故此方程是.將代入上式得，所以，所求方程是.5解：將代入原方程得，解出，代入原方程得.解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，有，得齊次方程的通解為. 所以原方程的通解為.由得，得.所以所求的特解為.6解：（1）原方程的通解為,其中是的任一