第三章平面與空間直線

1、第三章 平面與空間直線教學(xué)目的: 1.深刻理解并掌握平面和三元一次方程之間的相互關(guān)系,即在空間直角坐標(biāo)系下平面的方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的一次方程;反之任何一個(gè)關(guān)于變數(shù)x,y,z的一次方程都表示一個(gè)平面. 2.掌握平面的各種形式的方程,明確方程中常數(shù)(參數(shù))的幾何意義,能根據(jù)決定平面的各種幾何條件熟練地導(dǎo)出它的方程,并熟悉關(guān)于平面方程的各種形式的互化. 3.能熟練地根據(jù)平面的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面之間有關(guān)距離、夾角、平行、垂直的公式,進(jìn)行某些幾何量的計(jì)算. 4.掌握有關(guān)平面束的概念,并會運(yùn)用求平面的方程.教學(xué)重點(diǎn): 本章重點(diǎn)是建立平面方程;平面與平面、平面與點(diǎn)的位置關(guān)系的判定;平面夾角

2、,平行平面間的距離,點(diǎn)與平面的距離的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn): 直接法或待定系數(shù)法求平面方程;離差概念及應(yīng)用,平面束方程的證明§3.1 平面的方程一.平面的點(diǎn)位式方程1.平面的方位向量:與平行且不共線的任意兩向量.2.平面的點(diǎn)位式方程: 任一向量可由通過它的一點(diǎn)即方位向量確定. 設(shè)平面過點(diǎn),一對方位向量,設(shè)點(diǎn)為平面上任一點(diǎn), 根據(jù),共面而,不共線,有=,即 故 (3.1-1)這就是平面的向量式的參數(shù)方程,（,為參數(shù))。 平面的坐標(biāo)式的參數(shù)方程 （3.1-2） 將(1)式兩邊與作數(shù)性積得 （3.1-3） 從（3.1-20）消去參數(shù)u ,v得 （3.1-4）(3.1-1) (3.1-2) (3.1

3、-3) (3.1-4)都叫做平面的點(diǎn)位式方程例1、 已知不共線三點(diǎn)，求通過這三點(diǎn)的平面方程。平面的三點(diǎn)式方程與截距式方程 (1)平面的三點(diǎn)式方程平面過不共線三點(diǎn),有平面的向量式參數(shù)方程 其中.(2)平面的截距式方程 平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn),其中 二.平面的一般方程 1.空間中平面的基本定理（定理）空間中任一平面可由點(diǎn)位確定,將其方程展開 （3.1-10）即空間的任一平面是關(guān)于x,y,z的三元一次方程.任一關(guān)于關(guān)于x,y,z的三元一次方程,不妨設(shè)可變?yōu)?即 它表示了一個(gè)平面由點(diǎn)和方位向量與確定.方程叫平面的一般方程. 2.特殊情形 常數(shù)項(xiàng)為零, 平面過原點(diǎn)系數(shù)有一個(gè)為零 平面平行于Z軸 =0 平面

4、通過Z軸系數(shù)有兩個(gè)為零 ,平面平行于坐標(biāo)面; 即為 坐標(biāo)面.三.平面的法式方程 任何一平面可由通過它的一點(diǎn)及垂直與它的一個(gè)向量確定. 1.平面的法向量:與已知平面垂直的非零向量 2.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過點(diǎn),法矢;記為平面上任一點(diǎn), ; 則 ,即.可表示成 .可見,直角坐標(biāo)系下平面的一般方程x,y,z前系數(shù)的幾何意義. 3.平面的法式方程法式方程在確定平面的點(diǎn)法式方程時(shí),若特別地點(diǎn)取自原點(diǎn)向平面所引垂線的垂足,平面的法向量取單位法向量,且的正向與向量同(平面不過原點(diǎn)), 的正向在垂直于平面的兩個(gè)方向中任選一個(gè)(平面過原點(diǎn)).設(shè)點(diǎn)為平面上任一點(diǎn), ,則由于,從而平面的方程 即(向量式法矢方程)

5、若取 則 (坐標(biāo)式法矢方程)法式方程特點(diǎn)(1)一次項(xiàng)系數(shù)是單位向量的分量,平方和等于1;(2)常數(shù)項(xiàng)平面方程法式化比較平面一般方程,法矢,可表 ,變化為法式方程.只需將上方程乘以 (法式化因子)其中的符號選取一個(gè),使得(當(dāng)時(shí),與異號, 時(shí)符號可以任意選取)作業(yè) §3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 空間中平面與點(diǎn)間的相關(guān)位置只有兩種情況，點(diǎn)在平面上，或點(diǎn)不在平面上，點(diǎn)在平面上的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足平面的方程.一.點(diǎn)與平面間的距離 1.概念 定義 一點(diǎn)與平面上的點(diǎn)之間的最短距離，叫做該點(diǎn)與平面之間的距離。定義 自空間一點(diǎn)到平面引垂線,其垂足為,那么向量在平面的單位法向量上的射影叫做點(diǎn)與的離差,記

6、做 可見,點(diǎn)關(guān)于的離差: 離差的絕對值,就是與平面之間的距離. 2.離差的計(jì)算 定理3.2.1 與平面間的離差為 () 證 根據(jù)離差的定義, ,而點(diǎn)在平面上,因此,所以 推論1 點(diǎn)與平面間的離差 推論2 點(diǎn)與平面間的距離為 二.平面劃分空間問題(三元一次不等式的幾何意義)設(shè)平面的一般方程為,那么空間任何一點(diǎn)對平面的離差為 , 式中為平面的法化因子,又有 1.平面劃分空間問題 對于平面同側(cè)的點(diǎn), 離差符號相同(當(dāng)與是同側(cè)的點(diǎn)時(shí),與同向) 對于平面異側(cè)的點(diǎn), 離差有不同的符號(當(dāng)與是異側(cè)的點(diǎn)時(shí),與反向) 2.二元一次不等式的幾何意義平面把空間劃分為兩個(gè)部分: 一側(cè)的點(diǎn): 另一側(cè)的點(diǎn): 平面上的點(diǎn):

7、 作業(yè) §3.3兩平面的相關(guān)位置空間兩個(gè)平面的相關(guān)位置有三種情況:相交、平行和重合.當(dāng)且僅當(dāng)兩平面由于一部分公共點(diǎn)時(shí)它們相交,當(dāng)且僅當(dāng)兩平面有一部分公共點(diǎn)時(shí)它們互相平行,當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)平面上的所有點(diǎn)就是另一個(gè)平面上的所有點(diǎn)時(shí),這兩平面重合.設(shè)兩平面的方程為 定理兩平面相交的充要條件是 兩平面平行的充要條件是 兩平面重合的充要條件是 直角坐標(biāo)系下,兩平面與的法向量分別為: 當(dāng)且僅當(dāng)不平行于,兩平面與相交;當(dāng)且僅當(dāng)平行于,與重合.兩平面與的二面角用來表示,兩平面的法向量與的夾角記為. 顯然有.因此 顯然兩平面與互相垂直的充要條件是().或是 .定理 平面與互相垂直的充要條件是作業(yè) 

8、7;3.4空間直線的方程一. 有直線上一點(diǎn)與直線的方向所決定的直線的方程1.直線的方向向量空間給定了一點(diǎn)與一個(gè)非零向量,那么通過點(diǎn)且與向量平行的直線就被唯一確定,向量叫直線的方向向量. 任何一個(gè)與直線平行的非零向量都可以作為直線的方向向量.2.直線的點(diǎn)向式方程 直線過點(diǎn),方向向量.設(shè)為上任意一點(diǎn), ,由于與(非零向量)共線,則 即 （3.4-1）（3.4-1）叫做直線l的向量式參數(shù)方程，（其中t為參數(shù)）。如果設(shè)，又設(shè)，那么()式得 （ 3.4-2）（3.4-1）叫做直線l的坐標(biāo)式參數(shù)方程。 消參數(shù)t即得 (3.4-3) (3.4-3)叫做直線l的對稱式方程或稱直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程。 例1 求通過空

9、間兩點(diǎn)，的直線方程。 解 取作為直線l的方向向量，設(shè)為直線l上的任意點(diǎn)（如右圖），那么所以直線l的向量式參數(shù)方程為： （3.4-4）坐標(biāo)式參數(shù)方程為 （3.4-5）對稱式方程為 （3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-5）（3.4-6）都叫做直線l的兩點(diǎn)式方程。3.直線的方向數(shù) 取直線的方向向量為 ,則直線的方程為 (參數(shù)方程) 或標(biāo)準(zhǔn)方程 由此可見參數(shù)的幾何意義: 為直線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.直線的幾個(gè)問題 .直線的方向角與方向余弦:直線的方向向量的方向角與方向. .直線的方向數(shù):直線的方向向量的分量X,Y,Z或與之成比例的一組數(shù)l,m,n .直線的方向余弦與方向數(shù)l,m,n之間的關(guān)系4.直

10、線的兩點(diǎn)式方程例:求空間直角坐標(biāo)系中X軸的方程 參數(shù)方程 標(biāo)準(zhǔn)方程 二. 直線方程的一般形式1.一般方程:設(shè)有兩平面的方程為 其中, .則上述方程組稱為空間直線的一般方程. 2.直線的射影式方程由于直線的表示法不唯一,通常取簡單的兩平面來表示直線. 如 將一般方程(特殊的一般方程)化為(直線的射影式方程). 3.直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程.(方向數(shù)不全為零) 一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程(1) 確定直線的兩平面法矢的為直線的一個(gè)方向向量.(2) 取方程組的一組特解得直線上一點(diǎn)化得直線標(biāo)準(zhǔn)方程: 作業(yè) §3.5 直線與平面的相關(guān)位置一. 相關(guān)位置空間直線與平面的

11、相關(guān)位置有直線與平面相交,直線與平面平行和直線在平面上的三種情況.直線與平面的方程分別為 ,(1) (2)為了求出直線與平面的相互位置關(guān)系的條件,將直線的方程改寫為參數(shù)式 (3)將(3)代入(2),經(jīng)整理得 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有唯一解 定理 與平面相交與平面平行在平面上 從方向矢,上任一點(diǎn)及的法矢考察 與平面相交與不垂直 與平面平行, 在平面上 ,二. 直線與平面的交角1.定義直線與平面的間的角.直線垂直于平面時(shí), 為直角, 直線不垂直于平面時(shí), 指直線和它在這平面上的射影所構(gòu)成的銳角.2.計(jì)算直線與平面間的角可以由直線的方向向量和平面的法向量來決定.若那么,因而 .可得直線與平面平行或在平面上的充

12、要條件,與平面垂直的充要條件是,即 .作業(yè) §3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置有兩種情況,即點(diǎn)在直線上與點(diǎn)不在直線上,點(diǎn)在直線上時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程.當(dāng)點(diǎn)不在直線上時(shí),則考察點(diǎn)到直線的距離.定義 一點(diǎn)與空間直線上的點(diǎn)之間的最短距離叫做該點(diǎn)與空間直線間的距離。在空間直角坐標(biāo)系下,給定空間一點(diǎn)與直線為直線上一點(diǎn),為直線的方向向量.考察和向量為兩邊構(gòu)成的平行四邊形的面積.顯然,點(diǎn)到直線的距離就是這平行四邊的對應(yīng)于以為底的高. 作業(yè) §3.7 空間兩直線的相關(guān)位置一.空間兩直線的相關(guān)位置設(shè)直線與的方程為: : （1）: （2）定理 判斷兩直線（1）與（2）

13、相關(guān)位置的充分必要條件是1） 異面: 2） 相交: 0,3） 平行: 4） 重合: 二.空間兩直線的夾角 定義平行于空間兩直線的兩向量間的角,叫做空間兩直線的夾角.記做。定理 在直角坐標(biāo)系里,空間兩直線(1)與(2)的夾角的余弦為: 推論: 兩直線(1)與(2)垂直的充要條件是: 三.兩異面直線間的距離與公垂線方程 設(shè)兩異面直線與與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為,則與之間的距離 d射影 兩異面直線(1)與(2)間的距離為公垂線的方程為:作業(yè): 1，2，3，4§3.8 平面束一.定義1.空間中通過同一條直線的所有平面的集合叫做有軸平面束,那條直線叫做平面束的軸.2.空間中平行于同一個(gè)平面的所有平面的集合叫平行平面束.二.平面束方程定理 兩個(gè)平面 (1), (2)交于一條直線L,那么以直線L為軸的有軸平面束的方程是: 0 (3)，其中是不全為零的任意實(shí)數(shù).證明 首先證明,當(dāng)任取兩不全為零的的值時(shí),上式表示一個(gè)平面.將之寫為 這里不能全為零,否則與兩平面相交矛盾. 因此,上式是一個(gè)關(guān)于的一次方程,表示一個(gè)平