第10章_彈性力學(xué)空間問題

1、第十章 彈性力學(xué)空間問題知識(shí)點(diǎn)空間柱坐標(biāo)系空間軸對(duì)稱問題的基本方程空間球?qū)ΨQ問題的基本方程布西內(nèi)斯科解分布載荷作用區(qū)域外的沉陷彈性球體變形分析熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法壩體熱應(yīng)力質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力膨脹波與畸變波柱坐標(biāo)基本方程球坐標(biāo)的基本方程位移表示的平衡微分方程樂普位移函數(shù)載荷作用區(qū)域內(nèi)的沉陷球體接觸壓力分析受熱厚壁管道彈性應(yīng)力波及波動(dòng)方程應(yīng)力波的相向運(yùn)動(dòng)一、內(nèi)容介紹對(duì)于彈性力學(xué)空間問題以及一些專門問題，其求解是相當(dāng)復(fù)雜的。本章的主要任務(wù)是介紹彈性力學(xué)的一些專題問題。通過學(xué)習(xí)，一方面探討彈性力學(xué)空間問題求解的方法，這對(duì)于引導(dǎo)大家今后解決某些復(fù)雜的空間問題，將會(huì)有所幫助。另一方面，介紹的彈性

2、力學(xué)專題均為目前工程上普遍應(yīng)用的一些基本問題，這些專題的討論有助于其它課程基本問題的學(xué)習(xí)，例如土建工程的地基基礎(chǔ)沉陷、機(jī)械工程的齒輪接觸應(yīng)力等。本章首先介紹空間極坐標(biāo)和球坐標(biāo)問題的基本方程。然后討論布希涅斯克問題，就是半無限空間作用集中力的應(yīng)力和沉陷。通過布希涅斯克問題的求解，進(jìn)一步推導(dǎo)半無限空間作用均勻分布力的應(yīng)力和沉陷、以及彈性接觸問題。另一方面，本章將介紹彈性波、熱應(yīng)力等問題的基本概念。二、重點(diǎn)1、空間極坐標(biāo)和球坐標(biāo)問題；2、布希涅斯克問題；3、半無限空間作用均勻分布力的應(yīng)力和沉陷；彈性接觸問題；4、彈性波；5、熱應(yīng)力。§10.1 柱坐標(biāo)表示的彈性力學(xué)基本方程學(xué)習(xí)思路:對(duì)于彈性

3、力學(xué)問題，坐標(biāo)系的選擇本身與問題的求解無關(guān)。但是，對(duì)于某些問題，特別是空間問題，不同的坐標(biāo)系對(duì)于問題的基本方程、特別是邊界條件的描述關(guān)系密切。某些坐標(biāo)系可以使得一些特殊問題的邊界條件描述簡化。因此，坐標(biāo)系的選取直接影響問題求解的難易程度。例如對(duì)于彈性力學(xué)的軸對(duì)稱或者球?qū)ΨQ問題，如果應(yīng)用直角坐標(biāo)問題可能得不到解答，而分別采用柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求解將更為方便。本節(jié)討論有關(guān)空間柱坐標(biāo)形式的基本方程。特別是關(guān)于空間軸對(duì)稱問題的基本方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、空間柱坐標(biāo)系；2、柱坐標(biāo)基本方程；3、空間軸對(duì)稱問題的基本方程。1、空間柱坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系下，空間任意一點(diǎn)M的位置是用3個(gè)坐標(biāo)（x，y，z）表示的，而在柱坐

4、標(biāo)系下，空間一點(diǎn)M 的位置坐標(biāo)用（r，j，z）表示。直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系為：x =r cos j ， y =r sin j ， z = z柱坐標(biāo)下的位移分量為： ur， uj ， w柱坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為： sr， sj ，sz，trj，tj z，tzr柱坐標(biāo)下的應(yīng)變分量為： er， ej ，ez，grj，gj z，gzr以下討論柱坐標(biāo)系的彈性力學(xué)基本方程。2、柱坐標(biāo)基本方程1、平衡微分方程2、幾何方程3、物理方程其中3、空間軸對(duì)稱問題的基本方程對(duì)于軸對(duì)稱問題，即物體的幾何形狀，邊界條件和約束條件等外界因素均對(duì)稱于某一坐標(biāo)軸，例如 z 軸時(shí)，則根據(jù)變形的對(duì)稱性，有根據(jù)幾何方程，則 ，而根據(jù)本構(gòu)

5、方程，則 。其余應(yīng)變分量和應(yīng)力分量僅是坐標(biāo)r ,z的函數(shù)，而與坐標(biāo)j 無關(guān)。因此，基本方程可以簡化為1、平衡微分方程2、幾何方程3、本構(gòu)方程§10.2 球坐標(biāo)表示的彈性力學(xué)基本方程學(xué)習(xí)思路:對(duì)于彈性力學(xué)問題，坐標(biāo)系的選擇本身與問題的求解無關(guān)，但是坐標(biāo)系的選擇與問題的基本方程、特別是邊界條件的描述關(guān)系密切。因此，坐標(biāo)系的選取直接影響問題求解的難易程度。對(duì)于球體、特別是球?qū)ΨQ問題，采用球坐標(biāo)求解將更為方便。這些問題如果應(yīng)用直角坐標(biāo)問題可能得不到解答。本節(jié)討論空間球坐標(biāo)系的基本方程表達(dá)形式。對(duì)于空間球?qū)ΨQ問題的基本方程表達(dá)形式作專門的探討。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、球坐標(biāo)的基本方程；2、空間球?qū)ΨQ問題

6、的基本方程1、球坐標(biāo)的基本方程在球坐標(biāo)系下，空間一點(diǎn)M的位置是用3個(gè)坐標(biāo)（R，q，j）表示。直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系為如果分別采用 表示球坐標(biāo)下的位移分量；采用 和 分別表示球坐標(biāo)下的應(yīng)力和應(yīng)變分量。則它們應(yīng)該滿足下列方程，有1、平衡微分方程2、幾何方程3、物理方程2、空間球?qū)ΨQ問題的基本方程對(duì)于球?qū)ΨQ問題，也就是說物體的幾何形狀，約束條件，外力和其他外界因素都對(duì)稱于某一點(diǎn)（例如坐標(biāo)原點(diǎn)）。由于變形的對(duì)稱性，則 。根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程，則 和 ，其余的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也僅是坐標(biāo)R 的函數(shù)，而與坐標(biāo)q，j 無關(guān)。而且 。因此基本方程可以簡化為如果將球?qū)ΨQ位移代入平衡微分方程，則球?qū)ΨQ條件下的位

7、移表示的平衡微分方程為§10.3 半無限平面受法向力的作用學(xué)習(xí)思路:1885年，布西內(nèi)斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半無限平面受法向集中力作用的問題，因此該問題稱為布西內(nèi)斯科問題。 這一問題的求解是彈性力學(xué)最有理論價(jià)值的結(jié)論之一。布西內(nèi)斯科問題的求解對(duì)于地基應(yīng)力、基礎(chǔ)沉陷和彈性力學(xué)接觸等領(lǐng)域的研究工作具有重要的應(yīng)用價(jià)值，為相關(guān)學(xué)科的理論研究奠定了基礎(chǔ)。根據(jù)結(jié)構(gòu)分析，問題是空間軸對(duì)稱問題，因此采用柱坐標(biāo)求解。求解方法采用位移法，求解步驟為：1、建立位移表示的平衡微分方程。2、引入樂甫（love）位移函數(shù)簡化問題分析。這一方面簡化問題分析，使得基本方程成為雙調(diào)和方程；另一

8、方面，樂甫函數(shù)作為基本未知量可以表達(dá)彈性體的位移和應(yīng)力分量，因此減少了面力邊界條件在位移解法中應(yīng)用的困難。3、根據(jù)問題的性質(zhì)假設(shè)樂甫位移函數(shù)，并且通過邊界條件確定函數(shù)的待定系數(shù)。4、回代可以確定問題的位移，特別是半無限平面的沉陷等。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、位移表示的平衡微分方程；2、樂甫位移函數(shù)與基本方程；3、樂甫位移函數(shù)的選擇與基本未知量；4、邊界條件與布西內(nèi)斯科解。1、位移表示的平衡微分方程設(shè)半無限體的表面受法向集中力F的作用，選取坐標(biāo)系如圖所示在不計(jì)重力的條件下，求半無限體內(nèi)的應(yīng)力和位移分布情況。對(duì)于半無限平面受法向集中力F的作用問題。根據(jù)結(jié)構(gòu)的受力分析，顯然這是一個(gè)空間軸對(duì)稱問題，因此采用柱坐標(biāo)

9、求解。問題的求解有多種方法，下面討論位移法求解。將軸對(duì)稱問題的本構(gòu)方程代入平衡微分方程則可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空間軸對(duì)稱問題的拉普拉斯算符為 。如果不計(jì)體力，則平衡微分方程可以簡化為 2、樂甫位移函數(shù)與基本方程對(duì)于無體力的半無限平面受法向集中力作用問題，基本方程為在給定邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程。對(duì)于空間軸對(duì)稱彈性體分析，可以引入樂甫（love）位移函數(shù)簡化問題分析。設(shè)位移分量為將上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到關(guān)于y (r，z)的雙調(diào)和方程。y (r，z)稱為樂甫函數(shù)。因此，問題就歸結(jié)于在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和函數(shù)y (r，z)。引入樂甫位移函數(shù)一方面可以簡

10、化問題，使得基本方程成為雙調(diào)和方程；另一方面由于樂甫函數(shù)作為基本未知量可以表達(dá)彈性體的位移和應(yīng)力分量，因此減少了面力邊界條件在位移解法中應(yīng)用的困難。將樂甫函數(shù)表達(dá)的位移分量代入幾何方程和本構(gòu)方程，則問題求解的關(guān)鍵是建立雙調(diào)和函數(shù)y (r，z)。3、樂甫位移函數(shù)的選擇與基本未知量根據(jù)量綱分析，應(yīng)力分量表達(dá)式應(yīng)為 F 乘以r，z，R 等長度坐標(biāo)的負(fù)二次冪，位移分量應(yīng)為長度坐標(biāo)的負(fù)一次冪函數(shù)。如果注意到應(yīng)變分量和位移分量之間的關(guān)系，以及應(yīng)變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以知道，樂甫函數(shù)y(r，z) 為r，z，R的正一次冪的雙調(diào)和函數(shù)。所以設(shè)樂甫位移函數(shù)為其中 ，而A和B為任意常數(shù)。將樂甫函數(shù)代入位移和

11、應(yīng)力分量表達(dá)式，則可以得到位移分量應(yīng)力分量4、邊界條件與布西內(nèi)斯科解根據(jù)面力邊界條件，有 。根據(jù)上述邊界條件第二式，可得考慮距離表面為z 的水平面上的正應(yīng)力的合力由平衡條件，有求解可以得到聯(lián)立求解上述方程，可得?；卮傻梦灰品至繛閼?yīng)力分量為根據(jù)位移表達(dá)式，對(duì)于任何一條常數(shù)的直線上，位移與距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離成反比。在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，位移趨于零。在 z = 0的平面上，即半無限體表面上任一點(diǎn)的法向位移（即沉陷）為上式對(duì)于任意的 z =0，而r 0均成立。公式表明，半無限體表面的沉陷與該點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的距離成反比。上述公式稱為布西內(nèi)斯科解。§10.4 半無限平面作用法向分布載荷學(xué)習(xí)思路:通過布西內(nèi)

12、斯科問題解答的疊加，可以得到表面區(qū)域作用分布載荷問題的解答。本節(jié)討論半無限體，表面半徑為a到圓形區(qū)域，作用均勻法向分布力問題。分析半無限彈性體的應(yīng)力和位移分布等，特別是表面沉陷問題。問題分為三個(gè)部分討論。一是載荷作用區(qū)域中心點(diǎn)下方的位移；二是載荷作用區(qū)域外的沉陷；三是載荷作用區(qū)域內(nèi)的沉陷。由于分布載荷是連續(xù)的，因此問題的迭加工作可以通過積分完成。這里應(yīng)該特別注意的是布西內(nèi)斯科解的坐標(biāo)在積分中的變換問題。由于坐標(biāo)的變換，因此對(duì)于每一個(gè)問題都要建立積分的局部坐標(biāo)。積分坐標(biāo)變換是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、載荷作用區(qū)域中心點(diǎn)下方的位移；2、載荷作用區(qū)域外的沉陷；3、載荷作用區(qū)域內(nèi)的沉陷。1、載荷作

13、用區(qū)域中心點(diǎn)下方的位移在半無限體的表面半徑為a到圓形區(qū)域作用法向分布力，其應(yīng)力分量和位移分布情況可以通過半無限體受法向集中力的結(jié)果迭加得到。設(shè)圓形區(qū)域的半徑為a，單位面積的壓力為q，如圖所示首先分析載荷作用圓形區(qū)域中心下面（即z軸上）任意一點(diǎn)的位移表達(dá)式。對(duì)于圓形區(qū)域中心下面任意一點(diǎn)M，由于對(duì)稱性，有z方向的位移分量可以根據(jù)公式的第二式得到。引進(jìn)變量b, 并且注意到則環(huán)形面積上的分布載荷q引起圓形區(qū)域中心下面任意一點(diǎn)M 的位移為所以令上式中z=0，則可得載荷圓域中心點(diǎn)的沉陷為2、載荷作用區(qū)域外的沉陷下面討論半無限體表面的沉陷。對(duì)于半無限體表面上的點(diǎn)M，則必須首先區(qū)分它在載荷圓形區(qū)域之外，還是在

14、圓形區(qū)域之內(nèi)。如果點(diǎn)M 位于載荷圓形區(qū)域之外，則由圖可見變量s 和y作為描述圓形區(qū)域的局部坐標(biāo)，則根據(jù)公式可得圖中陰影部分的合力在M點(diǎn)產(chǎn)生的沉陷為因此，M點(diǎn)的總沉陷為對(duì)上式進(jìn)行積分，注意到弦mn的長度，即 并且在積分時(shí)考慮對(duì)稱性，可得積分上限y1是y的最大值，即圓的切線與OM之間的夾角，對(duì)于確定的點(diǎn)M，它是確定的值。為了簡化運(yùn)算，我們引進(jìn)變量j ，由圖可見，它與y 之間的關(guān)系為a sinj = r siny由此可得將上式代入積分公式，并且注意到當(dāng)y從0變化到y(tǒng)1 時(shí)，j由0變化到p/2，于是上式右邊的兩個(gè)積分為橢圓積分，他們可以按照 a/r 的數(shù)值從函數(shù)表中查出。當(dāng)r =a時(shí)，則3、載荷作用區(qū)

15、域內(nèi)的沉陷如果點(diǎn)M位于載荷圓域內(nèi)部，考慮圖中的陰影部分（其面積為dA=sdyds）在點(diǎn)M 引起的沉陷，然后經(jīng)積分，得到總沉陷為由于弦mn的長度，即 ，而y是由0變化到p/2的，所以利用關(guān)系式a sinj = r siny，則上式成為上式右邊的橢圓積分，可以通過查表而得到。若令r =0，則可以得到公式 的結(jié)果，它是半無限體表面的最大沉陷。將公式 和公式 相比較，可見最大沉陷是載荷圓邊界沉陷的p/2倍。由公式可以看到，最大沉陷不僅與載荷集度q成正比，而且還與載荷圓的半徑成正比。半無限體表面作用分布載荷的應(yīng)力分量同樣可以使用疊加法求解。§10.5 赫茲接觸問題學(xué)習(xí)思路:1881年,赫茲（h

16、ertz,H.R）首先研究了彈性球體的接觸問題。本節(jié)以彈性球體的接觸介紹接觸問題的基本概念。由于球體的接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此，彈性球體的接觸問題可以以半無限平面分布載荷解為基礎(chǔ)，分析接觸區(qū)域的局部變形。這里的問題是球體接觸壓力是未知函數(shù)，因此必須首先根據(jù)球體的變形確定未知接觸壓力。赫茲認(rèn)為接觸區(qū)域（半徑為a的圓）的壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標(biāo)成正比。根據(jù)這一假設(shè)和球體變形分析，可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域。進(jìn)一步的討論可以確定球體的接觸應(yīng)力和變形。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、彈性球體變形分析；2、球體接觸壓力分析。1、彈性球體變形分析設(shè)彈性球體的半徑分別為A1和A2，變形前兩球體在O點(diǎn)接觸（

17、相切）。兩個(gè)球體在其中心均受集中力F的作用，變形后球體在半徑為 a 的圓形區(qū)域接觸。接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)與中心的距離為r，并且球體在r的沉陷分別為z1， z2 ，則其中 。由于接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此r 遠(yuǎn)小球體的半徑A1和A2, 因此可以采用半無限平面解答分析接觸局部變形。對(duì)于兩球體距離接觸面足夠遠(yuǎn)的任意兩點(diǎn)A1和A2,由于相互壓縮而相互接近的距離為d，相對(duì)位移分別為w1和w2，則如果將球體接觸面看作彈性半無限體作用圓形區(qū)域分布載荷問題，A1和A2為球體接觸面上的點(diǎn)，則位移為，其中, E1，n1和E2，n2分別為球體R1，R2的彈性模量和泊松比。則2、球體接觸壓力分析應(yīng)該注意的是，這里

18、接觸壓力q是未知函數(shù)，因此，首先必須確定圓形區(qū)域的接觸分布載荷。赫茲認(rèn)為接觸區(qū)域的接觸壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標(biāo)成正比。根據(jù)這一假設(shè)和球體變形分析，可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域，有其中qmax為接觸區(qū)域中心的壓力， r siny 為接觸區(qū)域內(nèi)部任意一點(diǎn)與接觸區(qū)域中心的距離。如圖所示因?yàn)閟長度mn為 。s長度mn中點(diǎn)的壓力為q(r)，所以因此， ，回代可得，因此 。圓形接觸區(qū)域的半徑為。最大接觸壓力為。如果E1=E2=E，n1=n2=0.3，則圓形接觸區(qū)域的半徑為球體接觸為。根據(jù)上述分析，也可以進(jìn)一步求解球體的接觸應(yīng)力分布。§10.6 彈性力學(xué)熱應(yīng)力問題學(xué)習(xí)思路:彈性體由于環(huán)境

19、溫度的變化而導(dǎo)致膨脹和收縮，并且伴隨產(chǎn)生應(yīng)力，這種由于溫度改變出現(xiàn)的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力，或者熱應(yīng)力。對(duì)于某些在溫度變化環(huán)境下工作的工程結(jié)構(gòu)，熱應(yīng)力是不容忽視的。本節(jié)將通過簡例扼要說明熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法。對(duì)于熱應(yīng)力問題，平衡微分方程和幾何方程是相同的，不同的是物理方程。通過受熱厚壁管道和壩體熱應(yīng)力分析，介紹熱應(yīng)力問題分析和求解的基本方法。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法；2、受熱厚壁管道；3、熱彈性勢函數(shù)和管道熱應(yīng)力；4、楔形體壩體；5、壩體熱應(yīng)力。1、熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法對(duì)于各向同性彈性體，在均勻溫度下受熱將發(fā)生膨脹，如果變形前的三個(gè)坐標(biāo)方向尺寸相同，均為l，變形后各個(gè)方向的伸長

20、均為al，a稱為線膨脹系數(shù)。如果溫度變化為T，則各個(gè)坐標(biāo)方向的線應(yīng)變?yōu)槿绻麖椥泽w所處的環(huán)境溫度是隨著時(shí)間和空間變化的，稱為溫度場。在直角坐標(biāo)系，溫度場是時(shí)間和坐標(biāo)的函數(shù)，有 T= T (x，y，z，t)。如果溫度場不隨時(shí)間變化（ ），稱為定常溫度場，即熱源強(qiáng)度W=0。否則均為非定常溫度場。溫度場是一種數(shù)量場。熱量的傳遞引起溫度的變化，也就是溫度梯度的變化。如果單位時(shí)間、單位面積上傳遞的熱量定義為熱流密度，顯然熱流密度與溫度梯度成正比，方向相反。這一規(guī)律稱為傅立葉定律。以下給出平面熱應(yīng)力問題的基本方程。對(duì)于熱應(yīng)力問題，平衡微分方程和幾何方程是相同的，不同的是物理方程。平面應(yīng)力問題，本構(gòu)方程為平面

21、應(yīng)變問題，本構(gòu)關(guān)系為下面給出受熱管道和壩體的熱應(yīng)力分析結(jié)果。2、受熱厚壁管道對(duì)于受熱厚壁管道，設(shè)管道的內(nèi)徑為a，外徑為b。管道內(nèi)溫度增量為Ta，管道外溫度增量為0，管道內(nèi)無熱源時(shí)管道內(nèi)熱應(yīng)力為0。由于管道為定常溫度場，根據(jù)熱傳導(dǎo)方程可以得到作為軸對(duì)稱溫度場，有 。積分可得 。根據(jù)邊界條件 ，可以得到 。則。對(duì)于軸對(duì)稱問題，有 。平衡微分方程為 。幾何方程 。本構(gòu)方程將上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程，有。3、熱彈性勢函數(shù)和管道熱應(yīng)力引入熱彈性勢函數(shù)F (r)，使得 。注意到 ，將F (r)代入平衡微分方程，可得求解可得 。其中 。令則注意到上述應(yīng)力分量在邊界r = a 和r = b分別等于常數(shù)q1

22、和q2，這與命題邊界條件不符。對(duì)這一問題，可以借助平面軸對(duì)稱問題的解，疊加可以得到管道熱應(yīng)力4、楔形體壩體對(duì)于頂角為2b的楔形體壩體，壩體內(nèi)部的熱應(yīng)力是一個(gè)重要的工程實(shí)際問題。這個(gè)問題比較復(fù)雜，引起溫度變化的原因也是多方面的。這里僅討論楔形體壩體中心線的溫度變化為T0，壩體兩側(cè)面溫度變化為零的情況。設(shè)壩體內(nèi)部的溫度變化為壩體問題屬于平面應(yīng)變問題，但是為了使得問題簡化，先按照平面應(yīng)力問題分析。對(duì)于彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的位移解法，熱彈性勢函數(shù)F 滿足即取熱彈性勢函數(shù) ，代入上式，可得所以回代可得根據(jù)上述熱彈性勢函數(shù)，可以得到應(yīng)力分量的特解其中5、壩體熱應(yīng)力上述應(yīng)力分量特解在邊界的值為為了消除與原命

23、題不符的上述應(yīng)力場，類似地疊加一個(gè)相反的應(yīng)力場。為此考慮應(yīng)力函數(shù)因?yàn)镕 為雙調(diào)和函數(shù)，所以根據(jù)平面問題的極坐標(biāo)解，可以求解應(yīng)力場 ，疊加可以得到楔形體壩體的熱應(yīng)力計(jì)算公式根據(jù)上述應(yīng)力表達(dá)式，最大拉應(yīng)力在壩體邊界，有§10.7 彈性波初等理論學(xué)習(xí)思路:變形物體受突加載荷作用后，將產(chǎn)生變形。這種變形和與之伴隨而生的應(yīng)力并不能立即傳遞到物體的其它部分。在開始時(shí)刻，物體的變形僅僅在加載區(qū)域的臨近區(qū)域產(chǎn)生，而這個(gè)鄰域以外的部分則仍處于未擾動(dòng)狀態(tài)。其后，物體的變形和應(yīng)力便以波的形式向遠(yuǎn)處傳播。由于載荷作用時(shí)間與波的傳播過程相比要短的多，因此，物體運(yùn)動(dòng)方式主要表現(xiàn)為波的傳播。根據(jù)介質(zhì)的物理性質(zhì)，邊

24、界條件和載荷的作用方式，波的傳播過程將呈現(xiàn)各種不同的特性。本節(jié)主要介紹彈性波的基本理論，主要介紹概念為：1、討論彈性波和波動(dòng)方程。這個(gè)問題通過半無限長彈性桿件說明，因此不存在波的反射問題的；2、根據(jù)波動(dòng)方程分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力的關(guān)系；3、討論彈性波的相向運(yùn)動(dòng)。由于有限長桿件的彈性波問題必然存在波的反射；4、介紹部分常見彈性應(yīng)力波。彈性波問題是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題。根據(jù)擾動(dòng)源、介質(zhì)性質(zhì)和物體形態(tài)的不同，將使得問題出現(xiàn)各種復(fù)雜，但是有趣的現(xiàn)象。此外還有其它形式傳播的彈性波，非彈性波。這些彈性波問題對(duì)應(yīng)一定的工程技術(shù)應(yīng)用問題。本節(jié)介紹的僅僅是彈性波理論的初等理論。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、彈性應(yīng)力波及波動(dòng)

25、方程；2、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力；3、應(yīng)力波的相向運(yùn)動(dòng)；4、膨脹波與畸變波。1、彈性應(yīng)力波及波動(dòng)方程首先以半無限長彈性細(xì)桿為例研究彈性應(yīng)力波在桿內(nèi)向遠(yuǎn)處傳播的規(guī)律。設(shè)材料的彈性模量為E，密度為r。設(shè)桿件所受載荷比較小，使得桿端應(yīng)力s ssd，ssd為材料的動(dòng)屈服極限。同時(shí)設(shè)載荷為壓力，則桿件傳播的是彈性壓縮波。因此設(shè)壓縮應(yīng)力為正，則運(yùn)動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為其中 是一個(gè)與應(yīng)力大小無關(guān)的常數(shù)，為桿件中彈性縱波的波速。對(duì)于金屬材料而言，其數(shù)量級(jí)為每秒幾千米（彈性橫波的波速一般是縱波的一半）。一般材料的C0值可以查表得到。應(yīng)該指出，波的傳播速度u 和在波傳播中材料質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v 是兩個(gè)不同的物理量，

26、不能相互混淆。材料的質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)后，只能在平衡位置附近運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度稱為質(zhì)點(diǎn)的速度v。而質(zhì)點(diǎn)將所受到的干擾相繼傳播到相鄰質(zhì)點(diǎn)的速度，稱為波的傳播速度u。對(duì)于波動(dòng)方程這個(gè)二階微分方程可以改寫作與之等價(jià)的一階偏微分方程組，如果令 ，則 ，所以 。波動(dòng)方程可以寫作上述方程寫作矩陣形式，有即。其中2、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力進(jìn)一步分析可以看到，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力s 成正比，它比較波速要小的多，并且可以根據(jù)波動(dòng)方程直接求解得到。實(shí)際上，對(duì)于現(xiàn)在討論的半無限長彈性細(xì)桿在端部受動(dòng)力作用，而且沒有反向波，則波動(dòng)方程的解可以簡化為因此，可以得到上式根據(jù)本構(gòu)方程和幾何方程得到的應(yīng)力s是拉伸為正，而彈性波問

27、題中規(guī)定壓應(yīng)力為正，所以應(yīng)力相差一個(gè)符號(hào)，考慮這一因素，比較s 和v的表達(dá)式，可以得到 或者 s r C0v=Zs。上述分析中規(guī)定壓應(yīng)力為正，常數(shù)Zs=r C0。上述公式表明：1、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與瞬時(shí)應(yīng)力s 成正比，比例常數(shù)Zs=r C0 稱為聲阻抗率，其單位為Pa·s/m。2、如果桿件端部受到壓力，則波的傳播方向u與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v方向和應(yīng)力方向s 一致。反之，如果桿件端部受到拉力作用，則波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)v速度方向和應(yīng)力s方向相反。3、 可以解釋或者推導(dǎo)為：在t時(shí)刻，假設(shè)桿件端部的應(yīng)力是不變的，因而桿件的受壓縮長度為 ，在x> 的桿件內(nèi)，沒有受到擾動(dòng)。在擾動(dòng)段內(nèi)， 。因此，桿件端部的總位移為 。在這個(gè)時(shí)間內(nèi)，桿件端部的位移同時(shí)應(yīng)該為vt，令二者相等，則可以得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與瞬時(shí)應(yīng)力s 的關(guān)系。3、應(yīng)力波的相向運(yùn)動(dòng)對(duì)于有限長桿件，干擾作用的彈性應(yīng)力波將在桿件端部產(chǎn)生反射，因此需要考慮兩個(gè)相向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力波的作用。假如兩個(gè)相向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力波的應(yīng)力分別為s1和s2，符號(hào)相同。由于彈性波的控制方程是線性的，所以當(dāng)兩個(gè)波