直線與圓錐曲線的幾種題型

1、本節(jié)知識(shí)：1、直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題：>0相交=0相切 （需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）<0相離2、涉及直線與圓錐曲線相交弦的問(wèn)題：（1）弦長(zhǎng)公式： （2）中點(diǎn)弦問(wèn)題：利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”或點(diǎn)差法（3）相交弦問(wèn)題：利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法3、違達(dá)定理的應(yīng)用：方法：將條件化成兩根之和或之積的形式 方法盡量簡(jiǎn)單 計(jì)算整理的能力4、恒成立（過(guò)定點(diǎn)定直線）問(wèn)題方法：參量的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化如何消參量（解方程的思想）計(jì)算整理的能力典型例題：例1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交

2、于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)變式：直線與雙曲線相交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？如果存在，求出實(shí)數(shù)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。變式2、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn) （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值DFByxAOE例2、已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，BC過(guò)橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且.求實(shí)數(shù)t的取值范圍 變式：已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸

3、長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱(chēng)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；（3）求PAB面積的最大值。 例3、如圖，雙曲線M是以B、C為焦點(diǎn)且過(guò)A點(diǎn).()建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線M的方程；()設(shè)過(guò)點(diǎn)E(1,0)的直線l分別與雙曲線M的左、右支交于F、G兩點(diǎn)，直線l的斜率為k，求k的取值范圍.；（）對(duì)于（II）中的直線l，是否存在k使|OF|=|OG|若有求出k的值，若沒(méi)有說(shuō)明理由（O為原點(diǎn)）ABC變式1：已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，在雙曲線上有一點(diǎn)，使，且的面積為。（1）求雙曲線的方程；（

4、2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線 與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)、，在線段 上取異于、的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。變式2如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.作業(yè)：已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足2，·（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，

5、說(shuō)明理由答案解析：例1、解：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （5分）（）設(shè)，聯(lián)立得，又，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，即，解得：，且均滿足，當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)所以，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 （14分）變式1：略變式2：例2、解：依題設(shè)得橢圓的方程為， 直線的方程分別為， 2分DFByxAOE 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化簡(jiǎn)得，解得或。6分 （）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為 ， 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分 解法二：由題設(shè)， 設(shè)，由得， 故四邊

6、形的面積為 9分 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分例2、解（1）橢圓m： 5分（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然2<t<2 6分2°當(dāng)k0時(shí)，設(shè) 消y得 8分由>0 可得 9分設(shè)則 11分由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4）13分綜上t（2，4） 14分變式：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，方程為，設(shè)則點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由得設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值（3）設(shè)AB的直線方程

7、：.由，得，由，得P到AB的距離為，12分則 。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)三角形PAB面積的最大值為。14分例3、解：（I）以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，1分則，得3分設(shè)雙曲線方程為 5分 （II）當(dāng)軸時(shí)，l與雙曲線無(wú)交點(diǎn).當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，可設(shè)l的方程：由，消去y，得7分與雙曲線的左、右兩支分別交于則10分（）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，設(shè)M是FG的中點(diǎn)，則有：OM12分由（II）易得，中點(diǎn)M（則應(yīng)有：，使|OF|=|OG|14分變式1：（1）解：雙曲線的方程為 （2）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，且3，即，即. 設(shè)直線的方程為， 將代入1中整理，得（1-3. 依題意，是上

8、述方程的兩個(gè)根，且， 將代入整理，得. 由、消去得，這就是點(diǎn)所在的直線方程.點(diǎn)（）總在定直線上. 變式2解：（1）設(shè)橢圓方程為1分則3分橢圓方程為4分（2）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM=5分由6分直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可9分設(shè)10分則由10分而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.14分作業(yè)：解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，或點(diǎn)與點(diǎn)重合 2分又點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，的軌跡方程是 6分(2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，下面證明： 7分由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，故直線的方程為：，設(shè)，