空間幾何體的表面積和體積教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高一適用區(qū)域人教版區(qū)域課時時長（分鐘）2課時知識點幾何體的表面積，幾何體的體積，幾何體的三視圖與體積和表面積;教學(xué)目標(biāo)掌握球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式通過幾何體的探究，滲透空間想象能力；通過對表面積和體積求解，提高學(xué)生的推理論證能力、運算求解能力教學(xué)重點球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式教學(xué)難點球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式【教學(xué)建議】 近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念

2、、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。 （1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式； （2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題；對于幾何體表面積和體積的求解，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難主要在兩個方面：（1） 要求準(zhǔn)確的使用幾何體的特征，例如：錐體中沒有直棱柱，四面體是三棱錐，棱柱的上下底面平行且全等.（2）要有好的運算求解能力.【知識導(dǎo)圖】教學(xué)過程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為

3、了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導(dǎo)入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。提供一個教學(xué)設(shè)計供講師參考：1、思路1 被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.

4、5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？設(shè)計意圖：提出現(xiàn)實問題引起學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)的動力，從而調(diào)動學(xué)生積極性.二、知識講解考點1 多面體的面積和體積公式【教學(xué)建議】通過前面的引導(dǎo)，得到單調(diào)函數(shù)的定義，建議用三種語言對比的形式來加深理解；得到增函數(shù)的定義后，可以讓學(xué)生來類比寫出減函數(shù)的定義：1. 直棱柱與圓柱的側(cè)面積：等于它的底面周長和高（母線）的乘積，其中為底面的周長，為直棱柱（圓柱）的高，也即側(cè)棱（母線）長；2. 正棱錐（圓錐）的側(cè)面積：等于它的底面周長和斜高（母線）乘積的一半，其中為底面邊長，為斜高；，其中為底面周長，為圓錐的底面半徑，為母線長；3. 正棱臺（圓臺）的側(cè)面積：等于它的上下

5、底面周長之和與斜高（母線）乘積的一半，其中分別是正棱臺上下底面的邊長，為斜高；，其中分別是圓臺上下底面的半徑，為母線長；4. 球面面積：等于它的大圓面積的四倍，為球的半徑【教學(xué)建議】(1)將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開,其側(cè)面展開圖分別是平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形,側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積.(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和.(3) 除了球面，這里提到的其它幾何體的表面都可以展開，側(cè)面積公式和表面積公式可以直接推導(dǎo)出來 (4)要提醒學(xué)生注意空間與平面問題的轉(zhuǎn)化，對這幾種幾何體的側(cè)面展開圖，軸截面的圖等有個比較清晰的印象，在

6、計算時能靈活轉(zhuǎn)化考點2 幾何體的體積公式1柱體（棱柱，圓柱）體積公式：，其中為底面積，為高；2棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；3臺體（棱臺，圓臺）的體積公式：，其中分別是臺體上，下底面的面積，為臺體的高；4球的體積：，為球的半徑【教學(xué)建議】對柱體與錐體體積公式的推導(dǎo)，課本上是以長方體的體積公式為基礎(chǔ)的，根據(jù)祖暅原理得到的祖暅原理：冪勢相同，則積不容異即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體體積相等祖暅提出的“冪勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應(yīng)截面積之比”，在這里是當(dāng)作公理使用提法“冪勢既同

7、，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著連續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書出版于1635年課本對柱體和錐體體積公式的推導(dǎo)過程：長方體的體積；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等；三棱柱可以分割成三個體積相等的錐，故錐體的體積為；利用兩個錐體做差可得臺體的體積公式三 、例題精析類型一 柱體、錐體、臺體的表面積和體積例題11.(2019·陜西高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.【解析】1.選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下

8、兩個半圓的表面積,側(cè)面積,所以此幾何體的表面積.【總結(jié)與反思】空間幾何體的表面積的求法技巧(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.例題2【教學(xué)建議】本題有一定難度，視學(xué)生掌握程度選擇使用.第二問可以放在類型二中放在例題1之后來講.1.圓錐的軸截面是等腰直角三角形,側(cè)面積是,則圓錐的體積是()A B C D 2.已知一個三棱臺的兩底面是邊長分別為和的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高和體積 .【答案】1

9、. A , 2. ,.【解析】1.設(shè)圓錐的母線長為,底面半徑為,高為 (如圖所示),則由題意得, 2.如圖所示,三棱臺ABC-ABC中,O,O為兩底面的中心,D、D是BC、BC的中點,則DD是梯形BCCB的高,所以.又AB=20,AB=30,則上、下底面面積之和為 .所以.在直角梯形OODD中,即棱臺的高為.由棱臺的體積公式,可得棱臺的體積為【總結(jié)與反思】求幾何體體積的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等積法:例如四面體的任何一個面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.(3)補體法:將幾何體補成易求解的幾何體,如棱錐補成棱柱,棱臺補成棱錐等.(4)分割法:將幾何體分割

10、成易求解的幾部分,分別求體積.類型二 球體的表面積和體積例題11如圖1­3­17是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為()圖1­3­17A18B30C33D40【答案】C【解析】由三視圖知該幾何體由圓錐和半球組成球半徑和圓錐底面半徑都等于3，圓錐的母線長等于5，所以該幾何體的表面積S2×32×3×533.【總結(jié)與反思】 球體的表面積公式,扇形面積公式.2設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()Aa2B.a2C.a2D5a2【答案】 B【解析】 由題意知，該三棱柱

11、為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a，如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP×aa，OPa，所以球的半徑ROA滿足R2a2，故S球4R2a2.【總結(jié)與反思】幾何體內(nèi)接于球體的問題,由球半徑和截面半徑構(gòu)造的最重要.四 、課堂運用基礎(chǔ)1正三棱錐的底面邊長為a，高為，則此三棱錐的側(cè)面積為()A B C D2長方體的高等于h，底面積等于a，過相對側(cè)棱的截面面積等于b，則此長方體的側(cè)面積等于()A BC D3過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積之比為()A B C D4一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是()A372 B360 C292

12、D280答案與解析1. 【答案】A2. 【答案】C【解析】設(shè)長方體的底面邊長分別為x，y，則，由得，.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】該幾何體是由兩個長方體組成，下方的長方體長為10，寬為8，高為2，故表面積為232，上方的長方體長為6，寬為2，高為8，故表面積為152.總的表面積為2321522×2×6360.鞏固1已知三個球的半徑R1、R2、R3滿足R12R23R3，則它們的表面積S1、S2、S3滿足的等量關(guān)系是_2有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a(a0)用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱

13、柱，則a的取值范圍是_答案與解析1. 【答案】 【解析】由球的表面積公式得，將，代入R12R23R3得.2. 【答案】 【解析】 由圖可知，若拼成一個三棱柱，只能把原三棱柱底面相接，全面積確定，為；若拼成一個四棱柱，可能有把以3a為底的側(cè)面相接以4a為底的側(cè)面相接和以5a為底的側(cè)面相接三種方案，相接的面積不在表面積中，故相接面的面積越大，得到的全面積越小，上述三種方案中把以5a為底的側(cè)面相接時，得到的四棱柱表面積最小，為.為使表面積最小的為四棱柱，只需S2S1，即24a22812a248，解得.拔高1已知正三棱錐SABC，一個正三棱柱的一個底面的三頂點在棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底

14、面上，若正三棱錐的高為15 cm，底面邊長為12 cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120 cm2.(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面所截棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比2已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADa，BC2a，DCB60°，在平面ABCD內(nèi)，過C作CB，以為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積 答案與解析1. 【答案】同解析 【解析】(1)設(shè)正三棱柱的高為h，底面邊長為x，如圖所示則，又S三棱柱側(cè)3x·h120，xh40. 解得或故正三棱柱的高為10 cm或5 cm.(2)由棱錐的性質(zhì)得或.2. 【答案】同解析 【解析】如圖，在梯形ABCD中，

15、因為ABC90°，ADBC，ADa，BC2a，DCB60°，所以.DDAA2AD4a2a2a.所以.由于以為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為圓柱中被挖去一個底向上的圓錐，且圓錐的高等于圓柱的高由以上的計算知圓柱的母線長為，圓柱的底面半徑為2a，被挖去圓錐的母線長為2a，底面圓的半徑為a，所以圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的底面積，組合體的上底面積S5S3S43a2.所以組合體的表面積.五 、課堂小結(jié)本節(jié)講了3個重要內(nèi)容：1 幾何體的表面積公式2 幾何體的體積公式3 球體六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.B. C

16、4 D322兩個球的體積之比為827，那么這兩個球的表面積之比為()A23 B49 C. D.3體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A12 B. C8 D44一平面截一球得到直徑是6 cm的圓面，球心到這個平面的距離是4 cm，則該球的體積是() A. B. C. D. 5等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，它們的表面積的大小關(guān)系是()AS球 < S圓柱 < S正方體BS正方體 < S球 < S圓柱CS圓柱 < S球 < S正方體DS球 < S正方體 < S圓柱答案與解析1.【答案】C 【解析】設(shè)正方體邊長為a

17、，由題意可知，24，a2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則a2R，R，V球R34.2.【答案】B 【解析】827，rR23，S1S2r2R249.3.【答案】A 【解析】設(shè)正方體棱長為a，則a38，所以a2.所以正方體的體對角線長為2，所以正方體外接球的半徑為，所以球的表面積為4·12，故選A.4.【答案】C【解析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，有R5，V球(cm3)5.【答案】A 【解析】設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為r，球半徑為R，正方體棱長為a，則·2r，2，S圓柱6，S球4，S正方體6，·<1，·>1，故選A.鞏固1一個幾何體的三視圖(單位：m)如圖1

18、73;3­19所示，則該幾何體的體積為_m3.圖1­3­192湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6 cm，深為1 cm的空穴，則該球半徑是_cm，表面積是_cm2.3如圖1­3­20，一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3 cm，瓶里所裝的水深為8 cm，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求鋼球的半徑圖1­3­204如圖1­3­21所示(單位：cm)四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積圖1­3­21答案與解析1.【答案】918【解析】由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為；上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1，所以V×3×21×3×6918.2.【答案】5100 【解析】設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則ODR1，則(R1)232R2，解得R5 cm，所以該球表面積為S4