福建自考月實(shí)變與泛函分析

1、2005年上半年高等教育自學(xué)考試福建省統(tǒng)一命題考試實(shí)變與泛函分析初步 試卷(課程代碼2012)一、填空題(本大題共15小題，每小題2分，共30分) 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。1n維歐幾里得空間R的基數(shù)為 。2設(shè)A=(x，y)| 0x2k，0y，k=1，2，A=(x，y)| 0x，0y2k+1，k=0，1，2，則= 。3設(shè)E=(x，y) | x>0，y=sin，則E= 。4設(shè)P為康托爾集，則= 。5設(shè)E=(x，y)| 0x2 ，<y<2，n=l，2， 6半開閉區(qū)間(a，b可以寫成(a，b= 所以它是G型集。7填寫葉果洛夫定理：設(shè)mE<，f(x)是E

2、上一列ae收斂于一個(gè)ae有限的函數(shù)f(x)的可測(cè)函數(shù)，則 。8EfaEf>a=E_。10設(shè)P0，1表示康托爾集，E=0，1P，則= 。11設(shè)P為0，1上的康托爾集，A=(x，y)| |x|1, |y|lE=P×A R，則mE=_.12設(shè)f(x)定義在0，1區(qū)間上，n=l，2，3，4，而且f(x)一致連續(xù), f(x)滿足Lipschitz條件，f(x)單調(diào)增加，f(x)囿變，則可以斷言 必絕對(duì)連續(xù)。13設(shè) f是Banach空間X上的一列泛函，如果 f在X的 ，那么 f一致有界。14設(shè)T是度量空間(X，d )到度量空間(Y，d)中的映照，那末T在xX連續(xù)的充要條件為當(dāng)xx時(shí) 。15如果度量空間(X，d)中每個(gè)柯西點(diǎn)列都收斂，那末稱(X，d)是 。二、定理證明 (本大題共2小題，每小題10分，共20分)17設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，（x）處處可導(dǎo)，且（x）又R可積，則（S）=（R）三（本大題共8分）18.設(shè)A，B為兩個(gè)不交的無窮集，若A可數(shù)，則AB與B有相同基數(shù)。四（本大題共8分）19設(shè)A0，1，B0，1，且mA=mB=1.試證m（AB）=1。五（本大題共10分）20設(shè)在E上f（x）f（x），且f（x）0在E上幾乎處處成立，n=1，2,試證f（x）0 a.e.于E。六（本大題共8分）21設(shè)f（x）為a，b上囿變函數(shù)列，f（x）f（x），且|f（x）|，如果=