高數(shù)總體概括

1、函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）極限：數(shù)列的極限（特殊）函數(shù)的極限（一般）極限的本質(zhì)是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無必然聯(lián)系連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限 等于 函數(shù)在該點(diǎn)的取值連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近導(dǎo)數(shù)的概念本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層

2、意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數(shù)可微分了不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算什么樣的函數(shù)有不定積分定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時，近似成為精確什么樣的函數(shù)有定積分求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元

3、法微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性微分中值定理，可從幾何意義去加深理解泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個問題：一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評估這個多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)最典型的是二元函數(shù)極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都

4、要有確定的變化趨勢連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選

5、取的線性近似部分應(yīng)該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。級數(shù)斂散性

6、的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級數(shù)。若是正項(xiàng)級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用來作比較的級數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯級數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問題具體分析。比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存

7、在一個收斂半徑。所以對冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。一個函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度

8、這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計算第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù)場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個向量場相當(dāng)于三個標(biāo)量場場函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直梯度實(shí)際上一個場函數(shù)不均勻性的量度梯度運(yùn)算把一個標(biāo)量場變成向量場一條空間曲線在某點(diǎn)的切

9、向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的散度散度運(yùn)算把向量場變成標(biāo)量場散度為零的場稱為無源場高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個空間區(qū)域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損

10、失又無補(bǔ)充物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的旋度旋度運(yùn)算把向量場變成向量場旋度為零的場稱為無旋場斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的格林定理是斯托克斯定理的平面情形進(jìn)一步考察無旋場的性質(zhì)旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零即從該閉