第五章 向量空間

1、第五章 向量空間基礎(chǔ)訓練題1. 設(shè)V是數(shù)域F上向量空間，假如V至少含有一個非零向量a，問V中的向量是有限多還是無限多？有沒有n(n ³ 2)個向量構(gòu)成的向量空間？ 解 無限多；不存在n(n ³ 2)個向量構(gòu)成的向量空間(因為如果F上一個向量空間V含有至少兩個向量, 那么V至少含有一個非零向量a , 因此V中含有a , 2a , 3a , 4a , ,這無窮多個向量互不相等,因此V中必然含有無窮多個向量).2. 設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，V中的元素稱為向量，這里的向量和平面解析幾何中的向量，空間解析幾何中的向量有什么區(qū)別？解 這里的向量比平面中的向量意義廣泛得多,它可以是多項

2、式,矩陣等,不單純指平面中的向量.3. 檢驗以下集合對所指定的運算是否構(gòu)成數(shù)域F上的向量空間. （1）集合：全體n階實對稱矩陣；F：實數(shù)域；運算：矩陣的加法和數(shù)量乘法；（2）集合：實數(shù)域F上全體二維行向量；運算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, 0)k(a1, b1)(ka1, 0)（3）集合：實數(shù)域上全體二維行向量；運算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, b1b2)k( a1, b1)(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因為零向量不唯一);(3) 不是(不滿足向量空間定義中的(8).4. 在向量空間中，證明，(1) a(a)=aa=(a) a ,(2) (a-

3、b)aaaba , a, b是數(shù)，a是向量. 證明 (1) 0= 0 又 0 綜上, (2) .5. 如果當k1k2kr0時，k1a1k2a2krar0, 那么a1, a2, , ar線性無關(guān). 這種說法對嗎？為什么?解 這種說法不對. 例如設(shè)a1=(2,0, -1), a2=(-1,2,3), a3=(0,4,5), 則0a1+0a2+0a3=0. 但a1, a2, a3線性相關(guān), 因為a1+2a2a3=0.6. 如果a1, a2, , ar線性無關(guān)，而ar1不能由a1, a2, , ar線性表示，那么a1, a2, ar , ar1線性無關(guān). 這個命題成立嗎？為什么？解 成立. 反設(shè)a1,

4、 a2, ar , ar1線性相關(guān),由條件a1, a2, , ar線性無關(guān)知ar1一定能由a1, a2, , ar線性表示,矛盾.7. 如果a1, a2, , ar線性無關(guān)，那么其中每一個向量都不是其余向量的線性組合. 這種說法對嗎？為什么？解 對. 反設(shè) ai= k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +krar ,則 k1a1+k2a2+ki-1ai-1+(1) ai +ki+1ai1 +krar=0.由于10, 故a1, a2, , ar線性相關(guān).8. 如果向量a1, a2, , ar線性相關(guān)，那么其中每一個向量都可由其余向量線性表示. 這種說法對嗎？為什么？解 不對. 設(shè)

5、a1=(1,0) , a2=(2,0) , a3=(0,1) , 則a1, a2, a3線性相關(guān), 但a3不能由a1, a2線性表示.9. 設(shè)a1 (1, 0, 0), a2 (1, 2, 0), a3(1, 2, 3)是F3中的向量，寫出a1, a2, a3的一切線性組合. 并證明F3中的每個向量都可由a1, a2, a3線性表示. 解 k1a1+k2a2+k3a3 k1, k2 , k3F.設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0,則有, 解得 k1= k2 =k3=0.故a1, a2, a3線性無關(guān).對任意(a,b,c)F3, (a,b,c)=,所以F3中的每個向量都可由a1, a2, a3線

6、性表示.10. 下列向量組是否線性相關(guān)(1) a1 (1, 0, 0), a2 (1, 1, 0), a3(1, 1, 1)；(2) a1(3, 1, 4), a2(2, 5, -1), a3(4, -3, 7). 解 (1) 線性無關(guān); (2) 線性無關(guān).11. 證明，設(shè)向量a1, a2, a3線性相關(guān)，向量a2, a3, a4線性無關(guān)，問：(1) a1能否由a2, a3線性表示？說明理由；(2) a4能否由a1, a2, a3線性表示？說明理由. 解 (1)因為a2, a3線性無關(guān)而a1, a2, a3線性相關(guān),所以a1能由a2, a3線性表示; (2)反設(shè)a4能由a1, a2, a3線性

7、表示,但a1能由a2, a3線性表示,故a4能由a2, a3線性表示,這與a2, a3, a4線性無關(guān)矛盾,所以a4不能由a1, a2, a3線性表示.12. 設(shè)a1 (0, 1, 2), a2 (3, 1, 0), a3(2, 1, 0)，b1 (1, 0, 0), b2 (1, 2, 0), b3(1, 2, 3)是F3中的向量. 證明，向量組a1, a2, a3與b1, b2, b3等價.證明 (b1, b2, b3)=()A (a1, a2, a3)= ()B其中A=, B=.易驗證A , B均可逆, 這樣 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3 )(B-1A) (a1,

8、 a2, a3) = (b1, b2, b3)(A-1B) ,故向量組a1, a2, a3與b1, b2, b3等價.13. 設(shè)數(shù)域F上的向量空間V的向量組a1, a2, , as線性相關(guān)，并且在這個向量組中任意去掉一個向量后就線性無關(guān). 證明，如果0 (kiÎF)，那么或者k1k2ks0, 或k1，k2，ks全不為零. 證明 由條件0 (kiÎF)知 kiai= - (k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas) （*）(1) 當ki=0時,（*)式左邊等于零,故k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas=0. 由于這s-1個向

9、量線性無關(guān),所以k1k2ks0.(2) 當ki0時, ai = -(k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas),下證對于任意時kj0. 反設(shè)kj=0, 則ai可由s-2個向量線性表示.這與任意s-1個向量線性無關(guān)矛盾,所以此時k1,k2，ks全不為零.14. 設(shè)a1(1, 1), a2(2, 2), a3(0, 1) , a4(1, 0)都是F2中的向量. 寫出a1, a2, a3, a4的所有極大無關(guān)組. 解 a1, a3 ; a1, a4 ; a2 ,a3 ; a2 ,a4 ; a3 ,a4 .15. 設(shè)A1,A2, A3,A4ÎM2×2(F).

10、求向量空間M2×2(F)中向量組A1, A2,A3, A4的秩及其極大無關(guān)組. 解 秩A1, A2,A3, A4=3, A1, A2,A3是向量組A1, A2, A3, A4的一個極大無關(guān)組.16設(shè)由F4中向量組a1=(3，1，2，5)，a2(1，1，1，2)，a3(2，0，1，3)，a4 =(1，1，0，1)，a5 =(4，2，3，7). 求此向量組的一個極大無關(guān)組.解 (a1,a2,a3,a4,a5)= ()A , 其中A=, 則秩A=2.又(a1,a2 )= ()B , 其中B=. 秩B=2, 故a1,a2線性無關(guān), 它是向量組a1,a2,a3,a4,a5的一個極大無關(guān)組.17

11、. 證明，如果向量空間V的每一個向量都可以唯一表成V中向量a1, a2, , an的線性組合，那么dim Vn. 證明 由條件零向量可唯一的表示成a1, a2, , an的線性組合, 這說明a1, a2, , an線性無關(guān), 故可作為V的基, 從而dim Vn.18. 設(shè)b1, b2，bn是F上n(>0)維向量空間V的向量，并且V中每個向量都可以由b1, b2，bn線性表示. 證明, b1, b2，bn是V的基. 證明 由條件標準正交基 e1, e2, ,en可由b1, b2，bn線性表示, 反過來b1, b2，bn又可由 e1, e2, ,en線性表示,所以 e1, e2, ,en和b

12、1, b2，bn等價. 由 e1, e2, ,en線性無關(guān)知b1, b2，bn線性無關(guān),又因V中每個向量都可以由b1, b2，bn線性表示, 由基的定義知b1, b2，bn是V的基.19. 復數(shù)集C看作實數(shù)域R上的向量空間（運算: 復數(shù)的加法，實數(shù)與復數(shù)的乘法）時，求C的一個基和維數(shù). 解 基為1, i； dim C2.20. 設(shè)V是實數(shù)域R上全體n階對角形矩陣構(gòu)成的向量空間（運算是矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法）. 求V的一個基和維數(shù).解 基為Eii (i=1,2, ,n)； dim Vn.21. 求§5.1中例9給出的向量空間的維數(shù)和一個基. 解 任意一個不等于1的正實數(shù)都可作為V

13、的基； dim V1.22. 在R3中，求向量a(1, 2, 3)在基e1(1, 0, 0)，e2(1, 1, 0)，e3(1, 1, 1)下的坐標.解 (-1,-1,3)T .23. 求R3中由基a1, a2, as 到基b1, b2, b3 的過渡矩陣，其中a1(1, 0, -1), a2(-1, 1, 0), a3(1, 2, 3)，b1(0, 1, 1), b2(1, 0, 1), b3(1, 1, 1). 解 所求過渡矩陣為.24. 設(shè)a1, a2, an是向量空間V的一個基，求由這個基到基a3, a4, , an，a1, a2的過渡矩陣. 解 所求過渡矩陣為.25. 已知F3中向量

14、a關(guān)于標準基e1(1, 0, 0)，e2(0, 1, 0) ，e3(0, 0, 1)的坐標是(1, 2, 3)，求a關(guān)于基b1(1, 0, 1), b2(0, 1, 1), b3(1, 1, 3)的坐標. 解 (1,2,0)T.26. 判斷Rn的下列子集哪些是子空間(其中R是實數(shù)域，Z是整數(shù)集). (1) (a1, 0, , 0, an)| a1, an ÎR;(2) (a1, a2, , an)|，a1, a2, , anÎR;(3) (a1, a2, , an)|ai ÎZ, i1, 2, , n ;解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(數(shù)乘不封閉).

15、27. 設(shè)V是一個向量空間，且V¹0. 證明，V不能表成它的兩個真子空間的并集. 證明 設(shè)W1與W2是V的兩個真子空間 (1) 若，則W1W2= W2V ;(2) 若,則W1W2= W1V ;(3) 若且, 取但,但, 那么,否則將有,這與矛盾, 同理, 所以V中有向量,即V.28. 設(shè)V是n維向量空間，證明V可以表示成n個一維子空間的直和. 證明 設(shè)a1, a2, an是向量空間V的一個基, L(a1),L(a2) , L(an)分別是由a1, a2, an生成的向量空間, 要證L(a1+a2+an)=L(a1)L(a2)L L (an)(1) 因為a1, a2, an是V的一個基

16、, 所以V中任一向量a都可由a1, a2, an線性表示, 此即L (a1+a2+an)= L (a1)+ L (a2)+ L (an). (2) 對任意ij1,2, n,下證L (ai)L (aj)=0. 反設(shè)存在0 L (ai)L (aj),由 L(ai)知存在k使得=kai； 由 L (aj)知存在使得=aj , 從而ai =aj , 即a1與a2線性相關(guān), 矛盾, 所以L (ai)L (aj)=0.綜上, L (a1+a2+an)= L (a1) L (a2) L(an).29. 在R3中給定兩個向量組a1(2, -1, 1, -1), a2(1, 0, -1, 1),b1(-1, 2

17、, -1, 0), b2(2, 1, -1, 1). 求L (a1, a2)L (b1, b2) 的維數(shù)和一個基. 解 取R4的標準正交基,于是(a1, a2, b1, b2)= ()A,其中 A= , 秩A = 4. 故a1, a2, b1, b2線性無關(guān), 又因為L (a1, a2)L (b1, b2)=0,所以dim L (a1, a2) + dim L (b1, b2)= 4, a1, a2, b1, b2是它的基.30. 設(shè)W1, W2都是向量空間V的子空間，證明下列條件是等價的：(1) W1ÍW2;(2) W1W2W1;(3) W1W2W2. 證明 (i) (1)(2)

18、因為W1ÍW2 , 所以W1W2W1. (ii) (2)(3) W1W2 =a1+a2 | a1W1, a2W2 由(2)知對任意aW1, 都有aW2 , 所以W1W2 =a1+a2 | a1, a2W2=W2 .(iii) (3)(1) W1W2 =a1,+a2 | a1W1, a2W2=W2 , 說明對任意aW1, 都有aW2 , 此即W1ÍW2 .31. 設(shè)V是實數(shù)域R上n階對稱矩陣所成的a2向量空間；W是數(shù)域R上n階上三角矩陣所成的向量空間，給出V到W的一個同構(gòu)映射. 解 對V (A=(aij)且aij= aji)和BW(B=(aij),當i>j時, aij=0)定義f : V W AB 易驗證f 是V到W的一個同構(gòu)映射.32. 設(shè)V與W都是數(shù)域F上的向量空間，f是V到W的一個同構(gòu)映射，證明a1, a2, , an是V的基當且僅當f (a1), f (a2), , f (an)是W的基. 證明 設(shè)a1, a2, , an是V的基.(1