森林救火模型

1、森林救火模型問題提出：森林失火了，消防隊接到報警后應(yīng)派多少消防隊員去救火呢？一、問題分析：派出的隊員越多，森林損失越小，但是救援開支會越多，所以需要綜合考慮森林的損失費和救援費與隊員人數(shù)之間的關(guān)系，以總費用最少來決定派出隊員的數(shù)目。損失費通常正比于森林燒毀面積，而燒毀面積與失火、滅火時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員數(shù)目，隊員越多，滅火時間越短。而救援費既與消防隊員人數(shù)有關(guān)，又與滅火時間長短有關(guān)。記失火時刻為t0,開始救火時刻為tti,設(shè)在時刻t森林燒毀面積為B，則造成損失的森林燒毀面積為B（t2）,建模要對函數(shù)B（t）的形式作出合理的簡單假設(shè)。dB-dB研究dT比B（t）更為直接和方便，一是

2、單位時間燒毀面積，表示火勢蔓延的程度。在消防隊員到達(dá)之前，即titt2時，火勢越dB來越大，即J隨t的增加而增加；開始救火后，即11tt2,如果dB消防隊員救火能力足夠強，火勢會越來越小，即二T應(yīng)該減小，并且dtdB八當(dāng)tL時，有了0。救援費可以分為兩個部分：一部分是滅火材料的損耗和消防隊員的薪金等，與隊員數(shù)量及滅火時間有關(guān)；另外一部分是運送隊員一次性支出，只與消防隊員人數(shù)有關(guān)。二、模型假設(shè)：1、森林中樹木分布均勻，而且火災(zāi)是在無風(fēng)條件下發(fā)生的。2、損失費與森林燒毀面積B（t2）成正比，比例系數(shù)J為單位燒毀面積的損失費。dB3、從失火到開始救火這段時間（°tti）內(nèi)，火勢蔓延程度與時

3、間t成正比，比例系數(shù)B為火勢蔓延速度，即：4、派出消防隊員x名，開始救火后（tti）,火勢蔓延速度降為x,其中為每個隊員的平均滅火速度，顯然有x。因為要撲滅森林大火，滅火速度必須大于火勢蔓延速度，否則火勢將難以控制。5、每個消防隊員單位時間費用為C2（包括滅火材料的消耗及消防隊員的薪金等），救火時間為t2ti；每個隊員的一次性支出為C3（運送隊員、器材一次性支出）。對于假設(shè)3作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災(zāi)是在無風(fēng)條件下發(fā)生的，因而火勢可以看作以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r與時間t成正比，又因為燒毀面2dB積B與t成正比，從而嬴與t成正比。三、模型的構(gòu)成：

4、dB根據(jù)假設(shè)條件3,4,火勢蔓延程度而在°tti線性地增加，在titt2線性地減少，圖形如下:dB-記tM時二；b，燒毀面積B(t2)dtt2 dB一 ， 一 一0不出恰好是圖形中三角形的-1一面積，顯然有B(t2)2bt2由b的定義有b3(x)(t2tj,于是1 bb、所以B(t2)b()2 X根據(jù)假設(shè)條件2,5,森林損失費為CiB(t2),救援費為c2x(t2t1)c3x所以總費用為：-1,zbb、c2bx即.C(x)二bg(-)qx2xx四、模型求解：dC八為了求x使得C(x)達(dá)到最小，令0,可以得到應(yīng)該派出的dxCb22c2b隊員人數(shù)為：x2c32五、模型分析與改進：1、應(yīng)該

5、派出(最優(yōu))隊員人數(shù)有兩個部分組成，其中一部分一是為了把火撲滅所必須派出的最少隊員數(shù)。因為是火勢蔓延速度，而是每個隊員的平均滅火速度，同時也說明這個最優(yōu)解滿足約束條件，結(jié)果是合理的。2、派出隊員的另外一部分與問題的各個參數(shù)有關(guān)。當(dāng)隊員的滅火速度和救援費用系數(shù)c3增大時，隊員人數(shù)減少;當(dāng)火勢蔓延速度，開始救火時的火勢b及損失費用系數(shù)c1增大時，消防隊員人數(shù)增加；救援費用系數(shù)c2增大時，隊員人數(shù)也增加。3、改進方向:（1）取消樹木分布均勻、無風(fēng)這一假設(shè)，考慮更一般情況；（2）滅火速度是常數(shù)不盡合理，至少與開始救火時的火勢有關(guān)；（3）對不同種類的森林發(fā)生火災(zāi)，派出的隊員數(shù)應(yīng)不同，雖然（3能從某種程度上反映森林類型