第三部份完全資訊動(dòng)態(tài)賽局

1、第三部份：完全資訊動(dòng)態(tài)賽局第七章：動(dòng)態(tài)廠商賽局以賽局理論為工具來(lái)分析廠商行為時(shí)，策略變數(shù)應(yīng)該設(shè)定為數(shù)量或是價(jià)格？若分析的重點(diǎn)是廠商決定要生產(chǎn)多少數(shù)量，稱為數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)quantity competition或是Cournot模型。若模型分析廠商決定售出商品的價(jià)格，就稱為價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)price competition或是Bertrand模型。第一節(jié)：同時(shí)行動(dòng)賽局-均衡價(jià)格與廠商數(shù)目假設(shè)某商品的市場(chǎng)需求是簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，單位生產(chǎn)成本固定。對(duì)於獨(dú)佔(zhàn)產(chǎn)業(yè)，唯一的一家獨(dú)佔(zhàn)廠商以數(shù)量或是價(jià)格為策略變數(shù)都會(huì)得到相同的結(jié)果。（一） 獨(dú)占數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)：由一階條件可以解出最適產(chǎn)量是，此時(shí)價(jià)格與利潤(rùn)分別是，。價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)：首先將需

2、求函數(shù)寫成，帶入後利潤(rùn)函數(shù)成為由一階條件可以解出最適價(jià)格是，此時(shí)產(chǎn)量與利潤(rùn)分別是：，。對(duì)於獨(dú)占廠商，以價(jià)格或數(shù)量做為策略變數(shù)會(huì)得到同樣的結(jié)果。但是當(dāng)產(chǎn)業(yè)型態(tài)改變?yōu)楣褋?zhàn)或壟斷性競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，設(shè)定不同的策略變數(shù)就會(huì)造成很大的影響?，F(xiàn)以表示廠商數(shù)目，家廠商共同面對(duì)市場(chǎng)需求曲線，其中是家廠商的總產(chǎn)量。請(qǐng)注意寫成就表示廠商生產(chǎn)的是同質(zhì)產(chǎn)品，這樣才可以把各家的產(chǎn)量加總，商品也只有一個(gè)單一價(jià)格。（二） 雙佔(zhàn)賽局，數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)：F1, F2廠商決定數(shù)量與。廠商的最佳反應(yīng)函數(shù)是：，賽局的奈許均衡是。此時(shí)價(jià)格是高於成本（為什麼？），所以廠商可以賺到正利潤(rùn)。價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)：F1, F2廠商決定價(jià)格與。 表示價(jià)格為時(shí)的市場(chǎng)需求量。既

3、然商品同質(zhì)，所以消費(fèi)者都會(huì)向訂價(jià)較低的廠商購(gòu)買。所以當(dāng)時(shí)，所有消費(fèi)者都向F1購(gòu)買，F(xiàn)1賣出的數(shù)量。若時(shí)，所有消費(fèi)者都向F2購(gòu)買，F(xiàn)2賣出的數(shù)量。而在時(shí)，兩廠平分的需求量。以上敘述可以寫成： 最佳反應(yīng)函數(shù) 奈許均衡 以上分析顯示當(dāng)同質(zhì)商品的雙佔(zhàn)賽局中廠商以數(shù)量為策略變數(shù)時(shí)，兩家都可以賺到正利潤(rùn)。但是如果雙佔(zhàn)廠商互動(dòng)賽局的策略變數(shù)是價(jià)格，則競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是兩家廠商都會(huì)以成本訂價(jià)，利潤(rùn)降到零。（三） 家廠商寡佔(zhàn)數(shù)量競(jìng)爭(zhēng) 決定 市場(chǎng)需求是，各廠的利潤(rùn)函數(shù)是，由一階條件求出廠商的最佳反應(yīng)函數(shù)是。我們求解對(duì)稱奈許均衡，也就是假設(shè)在均衡時(shí)所有的都生產(chǎn)同樣的均衡產(chǎn)量，也就是對(duì)所有廠商都是。帶入最佳反應(yīng)函數(shù)得到。由

4、此解出。此時(shí)均衡市場(chǎng)總產(chǎn)量是，均衡價(jià)格是，利潤(rùn)是。此處廠商數(shù)目N是賽局的係數(shù)parameter，而將均衡解寫成N的函數(shù)。當(dāng)廠商進(jìn)行數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，若趨近，則均衡總產(chǎn)量趨近，而均衡價(jià)格趨近單位成本。廠商數(shù)目總產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格利潤(rùn)在數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)賽局模型中，隨著廠商數(shù)目增加，市場(chǎng)上的總產(chǎn)量增加，價(jià)格下跌。當(dāng)廠商家數(shù)趨近無(wú)窮大時(shí)，我們會(huì)得到價(jià)格趨近成本、利潤(rùn)趨近零的完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)結(jié)果。價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，同時(shí)決定的雙佔(zhàn)市場(chǎng)均衡就已經(jīng)達(dá)到的完全競(jìng)爭(zhēng)解，此後廠商家數(shù)增加的均衡解都是，每一家廠商都以成本訂價(jià)。(一)，(二)對(duì)比可知在數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，隨著廠商家數(shù)增加，總產(chǎn)量會(huì)逐漸變大，價(jià)格會(huì)逐漸降低，直到時(shí)得到完全競(jìng)爭(zhēng)解。但是在價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)

5、模型內(nèi)，只有獨(dú)佔(zhàn)廠商有正利潤(rùn)，廠商家數(shù)都會(huì)得到零利潤(rùn)的完全競(jìng)爭(zhēng)解。策略變數(shù)不同就會(huì)導(dǎo)致完全不同的分析結(jié)果，何者較接近事實(shí)是一個(gè)值得深思的問(wèn)題。第二節(jié)：決定廠商數(shù)目的兩期賽局試想某產(chǎn)業(yè)有家可能進(jìn)入市場(chǎng)生產(chǎn)的潛在廠商，賽局進(jìn)行如下：第一期：家潛在廠商同時(shí)決定是否進(jìn)入市場(chǎng)。進(jìn)入就必需支付的開辦成本，若不進(jìn)入報(bào)酬為零。第二期：以表示第一期進(jìn)入市場(chǎng)的廠商數(shù)目，這家廠商在第二期進(jìn)行寡占賽局，策略變數(shù)是數(shù)量或價(jià)格。第二期數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)首先分析廠商在第二期進(jìn)行數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)的情況。使用反向歸納法先求解此賽局第二期的均衡。以表示第二期的廠商數(shù)目，由以上分析可知第二期均衡如下：。各廠的產(chǎn)量是，均衡價(jià)格，各廠的利潤(rùn)是：，符號(hào)表

6、示在廠商數(shù)目為時(shí)，每廠在第二期賺到的均衡利潤(rùn)，請(qǐng)注意隨著增加，會(huì)遞減。廠商數(shù)目越多，每一家廠商所賺到的利潤(rùn)就越少。然後我們?cè)俜聪蚍治龅谝黄跁r(shí)有多少家廠商會(huì)進(jìn)入市場(chǎng)，也就是求解均衡廠商家數(shù)的大小。表示家廠商進(jìn)入後，每家所賺到的利潤(rùn)不足支付設(shè)置成本。因此會(huì)有廠商不堪虧損而離開，所以一定不是廠商數(shù)目的均衡。因此均衡家數(shù)必需滿足以下條件：並且。意義是當(dāng)市場(chǎng)上有家廠商時(shí)，每家賺到的利潤(rùn)足夠支付設(shè)置成本。若是再增加一家廠商，就賺不到足夠支付設(shè)置成本的利潤(rùn)。帶入以上結(jié)果可知，整理後得到均衡條件式：。請(qǐng)注意均衡廠商數(shù)目是滿足上式的最大正整數(shù)，不能四捨五入而必需消去小數(shù)部分後取正整數(shù)。如果算出，賽局的解是，而如

7、果算出，則均衡廠商家數(shù)是。由均衡條件可以看出一些簡(jiǎn)單的比較靜態(tài)結(jié)果，變大會(huì)使變大，而變大、變大會(huì)使變小。第二期價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)其次先分析廠商在第二期進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的情況。先解第二期。由以上結(jié)果可知，而只要就會(huì)得到。反向求解第一期。廠商家數(shù)的均衡條件是，。所以解出的均衡是。也就是策略變數(shù)是價(jià)格時(shí)，第二期的激烈競(jìng)爭(zhēng)反而會(huì)造成廠商數(shù)目之減少。此處又是同樣的情況，策略變數(shù)是數(shù)量或價(jià)格會(huì)得到完全不同的分析結(jié)果。第三節(jié)：在重複賽局中達(dá)成合作(2006年省略！)單期賽局?jǐn)?shù)量競(jìng)爭(zhēng)詳見(jiàn)第6章。若夠大，可以達(dá)成勾結(jié)解。越大越小價(jià)格及利潤(rùn)越大單期賽局價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)勾結(jié)解，雙佔(zhàn)解。trigger strategy：第一期令價(jià)格為第t

8、期 價(jià)格為 if過(guò)去都是() 價(jià)格為c otherwise異質(zhì)產(chǎn)品之價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)？ 還沒(méi)內(nèi)容！第四節(jié)：策略性代替與策略性互補(bǔ)考慮以下兩期雙佔(zhàn)廠商賽局：第一期：廠商F1進(jìn)行策略性投資，對(duì)手F2廠商觀察到?？赡苁荝D投資以降低成本，或者是廣告投資以增加需求。在以下的分析中我們先假設(shè)是降低成本的投資，也就是對(duì)F1廠商的單位成本可以寫成，並且一階微分，也就是增加可以使單位成本下降。第二期：F1與F2各自決定策略變數(shù)、，進(jìn)行同時(shí)行動(dòng)雙佔(zhàn)賽局。之後兩廠分別賺到利潤(rùn)以及。如果廠商就是進(jìn)行數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)，如果廠商進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。我們將分別分析兩種情況。我們對(duì)此賽局先求解第二期，首先由一階條件球出廠商的最佳反應(yīng)函數(shù)。由導(dǎo)出

9、 (1)由導(dǎo)出 (2)再由(1)、(2)兩式聯(lián)立解出均衡。我們可將均衡解帶回到(1)與(2)中得到： (1) (2)。再將(1)帶入(2)中得到：，我們此式對(duì)全微分的結(jié)果稱為(3)式。(3)式的意義是：F1廠商會(huì)思考改變會(huì)對(duì)均衡造成什麼影響。因?yàn)榫馐怯?1)、(2)聯(lián)立求解得出，所以改變會(huì)對(duì)均衡造成以下三方面的影響：(A)，改變透過(guò)改變會(huì)使均衡改變。例如在數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)中 (增加造成成本下降可以使F1廠商的產(chǎn)量增加)，在價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)中 (增加造成成本下降可以使廠商F1的價(jià)格降低)。後面會(huì)有詳細(xì)的模型。(B)，均衡改變透過(guò)又會(huì)使得均衡改變。兩廠商的策略變數(shù)如果具有者稱為策略性互補(bǔ)(strategic c

10、omplement)，例如價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的廠商策略變數(shù)往往同方向變動(dòng)，。而則稱為策略性替代(strategic substitute)，例如數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)的廠商策略變數(shù)往往反方向變動(dòng)，。(C)上述過(guò)程中與的改變會(huì)導(dǎo)致對(duì)均衡解的改變。在此處我們假設(shè)模型滿足穩(wěn)定性條件(stability condition)，故，此式也可以寫成，意義是在均衡點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)調(diào)整可以達(dá)到局部收斂local convergence。 收斂 發(fā)散整合(A)、(B)、(C)三項(xiàng)可以寫出完整的(3)式如下： (3)回溯求解第一期對(duì)的全部影響可以寫成 (4)(4)式說(shuō)明F1廠商在第一期進(jìn)行策略性投資對(duì)利潤(rùn)造成的的總效果。我們可將(4)式右手

11、邊的兩項(xiàng)稱為(5)、(6)兩式，寫成(4) = (5)+(6)。其中(5)式是直接效果，說(shuō)明變動(dòng)使得生產(chǎn)成本改變會(huì)直接影響到。(6)式，是改變對(duì)的策略效果，說(shuō)明變動(dòng)會(huì)使得均衡改變（前面的(3)式），然後均衡改變又會(huì)影響F1的利潤(rùn)。故(4) = (5)+(6)也可寫成：總效果直接效果策略效果。以下就數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)與價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型來(lái)進(jìn)行賽局求解。模型一：數(shù)量競(jìng)爭(zhēng) F1的成本是，而F2的單位成本是固定的c值。市場(chǎng)需求函數(shù)是，廠商的利潤(rùn)函數(shù)是 。同上，我們先解第二期。對(duì)第二期賽局而言，是固定值。由利潤(rùn)函數(shù)的一階微分可以得到兩家廠商的最佳反應(yīng)函數(shù)分別是： (1)與 (2)先觀察上述一般化模型中(3)式的各項(xiàng)：(

12、A)：由(1)式可知，故， (B)：由(2)式可知，故，兩廠在第二期是策略性代替關(guān)係。(C )：再綜合(1)、(2)兩式觀察聯(lián)立解的改變：，是小於1大於0的正數(shù)，滿足穩(wěn)定性條件。由以上(A)、(B)、(C )內(nèi)容可知：(3)式 此處之分析可以表達(dá)成以下圖形：R1kE1E2R2再看(4)式之兩項(xiàng)組成成分：直接效果(5)式，因?yàn)橛衫麧?rùn)函數(shù)可以看出。策略效果(6)式之中的後半是(3)式，增加透過(guò)(3)式會(huì)使減少，並且，也就是。故知策略效果(6)式。直接效果與策略效果均為正，故知總效果亦為正，(4)式。也就是當(dāng)進(jìn)行數(shù)量競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，F(xiàn)1廠商進(jìn)行降低成本的策略性投資一定可以使自己的利潤(rùn)增加。模型二：價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)

13、F1的成本是，而F2的單位成本是固定的c值。此處分析異質(zhì)產(chǎn)品的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。兩場(chǎng)可以售出的數(shù)量分別是：與。利潤(rùn)函數(shù)則是：=由一階條件得到兩條最佳反應(yīng)函數(shù)： (1) (2)同樣先看(3)式，策略性投資對(duì)F2廠商第二期均衡行為的影響：(A) 由(1)式可知，故。(B) 由(2)式可知，故，兩廠商是策略性互補(bǔ)關(guān)係。(C) 再綜合(1)、(2)兩式觀察聯(lián)立解的改變： ，如果要，就必須。是需求函數(shù)中的交叉價(jià)格效果cross price effect，表示對(duì)手價(jià)格提高可以使自己的售出數(shù)量增加。的條件表示交叉價(jià)格效果必須不太大，模型才會(huì)穩(wěn)定。我們假設(shè)此條件成立。由以上(A)、(B)、(C )內(nèi)容可知：(3)式

14、此處之分析可以表達(dá)成以下圖形：R1E2E1kR2p2p1 (1)式會(huì)受到的影響，往左移，在新均衡點(diǎn)上，對(duì)手價(jià)格下降。所以F1進(jìn)行降低成本投資會(huì)使下降，也下降。故(3)式 。再回溯到第一期看(4)式之兩項(xiàng)組成成分：直接效果(5)式，因?yàn)橛衫麧?rùn)函數(shù)可以看出。策略效果(6)式之中的後半是(3)式，增加透過(guò)(3)式會(huì)使降低，由前面知道(3)式為負(fù)。但是降低將會(huì)使得減少，也就是，故策略效果(6)式。直接效果為正而策略效果為負(fù)，如果策略效果的幅度超過(guò)直接效果，有可能F1廠商進(jìn)行降低成本投資之後反而使得利潤(rùn)下降。雖然直接效果是成本低使得利潤(rùn)提高。但是成本降低後F1會(huì)降低價(jià)格，F(xiàn)1降價(jià)又會(huì)使得F2也降價(jià)。F2

15、降價(jià)對(duì)F1利潤(rùn)造成的不利影響如果很嚴(yán)重，則有可能F1降低成本之後利潤(rùn)反而變少。這一類型的廠商如果想提高利潤(rùn)，該做的是進(jìn)行提高成本的投資。例如保養(yǎng)性化妝品市場(chǎng)內(nèi)產(chǎn)能的限制不大，廠商比較像是進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。如果某化妝品廠商發(fā)現(xiàn)他降低成本後利潤(rùn)也降低，此廠商就反其道而行之，專門做高貴保養(yǎng)品的研發(fā)，故其單位成本與的關(guān)係是：，一階微分為正，增加會(huì)使得提高，所以這是提高成本的投資cost increasing investment。我們?cè)诖思軜?gòu)下，在重複上述分析。同樣先看(3)式，策略性投資對(duì)F2廠商第二期均衡行為的影響：(A) 由(1)式可知，故。(B) 由(2)式可知，故，兩廠商是策略性互補(bǔ)關(guān)係。(C) 同樣假設(shè)的穩(wěn)定性條件成立。由以上(A)、(B)、(C )內(nèi)容可知：(3)式 再看(4)式之兩項(xiàng)組成成分：現(xiàn)在，故直接效果(5)