概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習題附答案詳解

1、第一章隨機事件及概率練習題、單項選擇題1、設事件A與B互不相容，且 P(A)>0,(A) P(A) 1 P(B);(C) P(A| B) 1；2、設事件A與B相互獨立，且 P(A)>0,(A) P(A|B) 1 P(A)；(C) P(A) 1 P(B);3、設事件A與B滿足P(A)>0, P(B)>0,一定獨立P(B)>0,則一定有()(B) P(A|B) P(A);(D) P(A|B) 1。P(B)>0,則()一定成立(8) P(A|B) 0；(D) P(A| B) P(B)下面條件()成立時，事件 A與B(A)P(AB)P(A)P(B)；(B)P(AUB

2、)P(A)P(B)；(C)P(A|B)P(B);(D)P(A|B)P(A)。4、設事件A和B有關系BA,則下列等式中正確的是()(A)P(AB)P(A);(B)P(AUB)P(A);(C)P(B|A)P(B);(D)P(BA)P(B)P(A)5、設A與B是兩個概率不為0的互不相容的事件，則下列結論中肯定正確的是()(A)A與B互不相容；(B)A與B相容；(C)P(AB)P(A)P(B);(D)P(AB)P(A)。6、設A、B為兩個對立事件，且P(A)w0,P(B)，0,則下面關系成立的是()(A)P(AUB)P(A)P(B);(B)P(AUB)P(A)P(B);(C)P(AB)P(A)P(B)

3、；(D)P(AB)P(A)P(B)o7、對于任意兩個事件A與B,P(AB)等于()(A)P(A)P(B)(B)P(A)P(B)P(AB)；(C)P(A)P(AB);(D)P(A)P(B)P(AB)。二、填空題1、若AB,AC,P(A)=,P(BUC)0.8,則P(ABC)=。2、設P(A)=,P(B)=,P(A|B)=,則P(B|A)=,P(B|AUB)=。3、已知P(A)0.7,P(AB)0.3,則P(AB)4、已知事件A、B滿足P(AB)P(AB),且P(A)p,則P(B)=5、一批產品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，則第2次抽出的是次品的概率為。6、

4、設在4次獨立的試驗中，事件A每次出現(xiàn)的概率相等，若已知事件A至少出現(xiàn)1次的概率是6581,則A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為。7、設事件A,B的概率分別為P(A)1/3,P(B)1/6,若A與B相互獨立，則P(AUB)；若a與b互不相容，則P(AB)。8、有10個球，其中有3個紅球和7個綠球，隨機地分給10個小朋友，每人1個，則最后3個分到球的小朋友中恰有1個得到紅球的概率為。9、兩射手彼此獨立地向同一目標射擊，設甲擊中的概率為，乙擊中的概率為，則目標被擊中的概率為三、計算題1、某工廠生產的一批產品共100個，其中有5個次品；從這批產品中任取一半來檢查，求取到的次品不多于1個的概率。2、某城市的電話

5、號碼為六位數(shù)，且第一位為6或8;求(1)隨機抽取的一個電話號碼由完全不相同的數(shù)字組成的概率；(2)隨機抽取的電話號碼末位數(shù)是8的概率。3、已知P(A)P(B)P(C)1/4,P(AB)=0,P(AC)P(BC)1/16,求a,b,c至少有一個發(fā)生的概率。4、設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。5、一個工廠有一，二，三3個車間生產同一個產品，每個車間的產量占總產量的45%,35%,20%,如果每個車間成品中的次品率分別為5%,4%,2%,從全廠產品中任意抽取1個產品，求取出是次品的概率；從全廠產品如果抽出的1個恰好是次品，求這

6、個產品由一車間生產的概率。6、有兩箱同類零件，第一箱裝50只(其中一等品10只)，第二箱裝30只(其中一等品18只)；今從兩箱中任挑一箱，然后從該箱中依次不放回地取零件兩次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二上0.70C C0.70aH 0.90次取到的也是一等品的概率。7、右邊是一個串并聯(lián)電路示意圖，A、B、C都是電路中的元件，它們下方的數(shù)是它們各自獨立正常工作的概率(可靠性)，求電路的可靠性。四、證明：若P(B|A)P(B|A),則事件A與B相互獨立。第二、三章隨機變量及其分布練習題、單項選擇題1、設離散型隨機變量X的分布列為X012P)F(x)為X的分布函數(shù),則F(1.5)=(A

7、)0；(B)(C)；(D)1。2.如下四個函數(shù)中，哪一個不能作為隨機變量X的分布函數(shù)(A)F(x)0,1/3,1/2,1,(C)F(x)0,124X,1,3、當常數(shù)b=(A)2;4、設隨機變量(A)F(-25、設隨機變量(A)a(Oa0,1；：2(B)F(x)0,)時，Pk(B)1;X的分布函數(shù)為(B)(D)F(x)k(k1)(C)1/2;2,b1,b(k0,ln(11x)xx0,0,0,:01,2,L)為某一離散型隨機變量的概率分布(D)3。FX(x),則隨機變量Y2X1的分布函數(shù)FY(y)是(2、N(a,a)，且Y1;6、設某一連續(xù)型隨機變量X的概率密度間a,b為(A)0,/2；(B)0,

8、；7、設隨機變量XN(A)單調增加;(B)單調減少;1)；(C)2F(y)1；1L，、(D)F(y)2aXbN(0,1),則a,b應取()(B)a2,b1;(D)a1,b1of(x)在區(qū)間a,b上等于sinx,而在此區(qū)間外等于0,則區(qū)(C)/2,0;(D)0,3/2。的增大，則P|X(C)保持不變；(D)增減不定。1 1/2,8、設兩個隨機變量X與丫相互獨立且同分布，PX1PYPX1PY11/2,則下列式子成立的是()(A) PXY1/2;(B) PXY1;(C) PXY01/4；(D)PXY11/4。9、設隨機變量x與丫相互獨立，它們的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y),則Zmin(X,Y

9、)的分布函數(shù)為()(A) Fz(z) Fx(z)(B) Fz(z) Fy(z)；(C)Fz(z)minFx(z),FY(z)；(D)Fz(z)11Fx(z)1Fy(z)二、填空題0,x1,a,1x1,1、設離散型隨機變量x的分布函數(shù)F(x)2且PX21/2,a,1x2,3ab,x2,則a,b,x的分布列為。bda,x1,2、設隨機變量X的分布函數(shù)F(x)x20,x1,則 a , b , P 1 X 2, X的概率密度f (x) =3、將一顆均勻骰子重復獨立地擲10次，設X表示3點朝上的次數(shù)，則X,X的概率分布為4、設隨機變量X的概率密度為f(x)4x3,0 x0,其它，1.,則使PXa PXa

10、成立的常5、某一時期在紐約股票交易所登記的全部公司股東所持有的股票利潤率服從正態(tài)分布，期望值為,且具有的標準差，這些公司股東所持有的股票利潤率在15-%之間的概率為。.2.1(x3)26、設XN(,),其概率密度f(x)-exp-,則2二4Y、X、12311/61/91/1821/3ab7、(X, Y)的分布律為則X的分布律為,Y的分布律為PXY；當a=b=時，X與丫相互獨立。X-3-2-1P1/41/41/28、設隨機變量X與丫相互獨立，且X、丫的分布律分別為則X與丫的聯(lián)合分布律為丫123P2/51/52/5Z=X+Y的分布律為。9、設D由y=1/x,y=0,x=1,x=e2圍成，(X,Y)

11、在D上服從均勻分布,則(X,Y)的概率密度為。22、e y, y 0,0, y 0,10、若X與丫獨立，而XN(1,1),丫N(2,2),則X+Y11、X與丫相互獨立，且XU(1,1),丫e(1)即fy(y)則x與丫的聯(lián)合概率密度f(x,y)r1,XY,Z的分布為。0,XY,一三、計算題1、3個不同的球，隨機地投入編號為1,2,3,4的四個盒子中，X表示有球盒子的最小號碼，求X的分布律。2、某產品表面的疵點數(shù)服從泊松分布，規(guī)定沒有疵點為特等品，1個為一等品，2至4個為二等品，4個以上為廢品，經檢測特等品的概率為，則試求產品的廢品率。A-,x|1,3、設隨機變量X的概率密度為f(x)<1X

12、20,其它.試求(1)A;(2)P|X|1/2;(3)X的分布函數(shù)F(x)o4、設某人造衛(wèi)星偏離預定軌道的距離(米)服從0,4的正態(tài)分布，觀測者把偏離值超過 10米時稱作“失敗”，使求5次獨立觀測中至少有2次“失敗”的概率。求：(1) X+2;6、設隨機變量 Xi與X2獨立同分布,且已知P(Xi1,2,3;i1,2), 記隨機變量5、設X的分布列為:X-21/2024P1111184863(3)X2的分布列。(2)-X+1;Y1maxX1,X2,，minX1,X2。求(i)(Y,Y2)的聯(lián)合分布列;(2)判斷Y與Y2是否互相獨立;(3)求P(Y丫23),P(Yi丫2)。7、設(X,Y)的概率密

13、度為f(x,y)2xaxy,0x0,其它，1,02,試求(1)a;(2)PXY1;(3)X與丫是否相互獨立0,1, 0其它,4x8、已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)(1)求關于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；(2)判斷X與Y是否相互獨立;(3)求PX1/2；PX1/2,Y1/2。9、設隨機變量X的概率密度為1,0,f(x)其它求函數(shù)Y=3X+1的概率密度。第四、五章隨機變量的數(shù)字特征與中心極限定理練習題一、單項選擇題D( X )=，貝 U ()1、設XB(n,p),且E(X)=,(A)n4,p0.6;n6,p0.4;(C)n8,p0.3;(D)n24,p0.1。2、設隨機

14、變量X與丫滿足E(XY)£(*)£"),則()(A) D(XY) D(X)D(Y)；(B) D(X Y) D(X) D(Y)；(C) X與丫獨立;(D) X與丫不獨立。3、隨機變量X服從區(qū)間(a,b)上均勻分布,E(X) 1,D(X) 1/3,則區(qū)間(a,bW ()(A) (0,1);(B) ( 1,3)；(C)(0,2);(D) (0.5,1.5)。4、設Xi與X2為兩個隨機變量，且D(Xi)5,D(X2) 8,D(X1 X2) 10 ,則 cov(X1, X2) =5、5、(A) 3/2;(B)3/2;(O 3;(D) 3。設隨機變量X與丫獨立同分布，記UX

15、Y,V X Y ,則 U與 丫必(A)獨立;設X的概率密度(A) 1；(B)不獨立；(C)不相關；(D)相關系數(shù)不為零。1f ( x) 2-y= exp工一1-,則 E(2X2 1)(8(B) 6;(C) 4;(D) 9。二、填空題1、設隨機變量 X 1, X 2, X 3相互獨立,且都服從2N( , 2),而Y (X1 X2*3)/3,則丫 _2、設隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且E(X 1)(X 2) = 1,貝U3、設X與丫相互獨立，且XU(0,2),YU(2,4),則E(XY),D(XY)4、設X服從均值為1/2的指數(shù)分布，則PXJD(X)5、若隨機變量X服從區(qū)間(,)上的均勻分布，

16、則E(sinX)=6、一枚硬幣連拋1000次，則正面向上的次數(shù)大于等于550的概率為7、已知D(X)25,D(Y)36,(X,Y)0.4,則D(XY)=8、設X與丫的相關系數(shù)XY0.9,若ZX0.4,則丫與Z的相關系數(shù)為2_2_29、設E(X)E(Y)0,E(X2)E(Y2)2,xy0.5,則E(XY)21,X0,10、設隨機變量XU(1,2),Y0,X0,則D(Y)1,X0,11、(X,Y)的分布律為>-X012-11/101/2072023/101/101/10則E(X),E(Y),E(XY)。三、計算及證明題1、某保險公司規(guī)定：如一年中顧客的投保事件A發(fā)生，則賠a元；經統(tǒng)計一年中A

17、發(fā)生的概率為p,若公司期望得到收益的為a/10,則要求顧客交多少保險費ax,0x2,2、設X的概率密度為f(x)bxc,2x4,0,其它.X且E(X)=2,P1<X<3=34,求(1)a、b、c(2)E(e)o3、設(X,Y)在以(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求D(XY)。xy,0x1,0y1,4、設(X,Y)的概率密度為f(x,y)升試求XY。0,其它，5、飛機在第一次飛行后必須進行檢修的概率是，在以后的兩次飛行中，每一次飛行后其被檢修的概率各增加，求三次飛行后修理次數(shù)的數(shù)學期望。數(shù)理統(tǒng)計練習題、單項選擇題1、設總體X - N (2),未知

18、，而2已知，(X1,X2,Xn)為一樣本,一1"c21n_2一,XXi,S2(XiX)2,則以下樣本的函數(shù)為統(tǒng)計量的是ni1n1i1,1n、2/1n，、2,XX(A)2(Xi)；(B)2(XiX)；(C)：2：；(D)/2.。1 1i1.nSn2、 X.Xn服從的分布為(2、XN(0,),(X1,X2,X3,X4)為樣本，則統(tǒng)計量/LX2X422一(D) F (2,2)。(A)N(0,1)；(B)(2)；(0t(2)；3、設隨機變量X N (0,1)，而u 滿足PX u P兇x(A)u .2 ；(B)u1,.2 ;(C)Ui 2 ；)u(1 0。4、設總體X階矩存在,(XX2,L，X

19、n)XinS0 (Xin i 12、E(X )的矩估計為(A) X ；(B) So ;n(C)n(D)Xi2。1二、填空題1、設總體N( , 2)X1 , X2,，Xn為一樣本,F5n(Xii 1)2X)2 2、設總體X:N(1,4),(X1,X2,X3)為樣本，X是樣本均值，S2為樣本方差,E(X)D(X)_ 2E(S )2、3、設總體X N ( ,) , ( X1 , X2，Xn)為一樣本，X是樣本均值。則U,X、2n()服從的分布為4、設 X ：22.N (0,4) , (X1,X2,X3)為樣本，若要求aX b(X2 X3)：5、設總體X在(，1)上服從均勻分布，(X1,X2,L ,X

20、n)為一樣本,則的矩估計為三、計算題1、設總體XN(1,4),Xi,X2,X3是X的樣本，試求E(X2X2X2),D(XiX2X3)2、設總體X服從方差為4的正態(tài)分布，(Xi，X2，L,Xn)是一樣本，求n使樣本均值與總體均值之差的絕對值不超過的概率不小于。3、設總體X N (4,4) , (Xi,X2,L ,Xio)為X的簡單隨機樣本,Xi為樣本均值,S2(Xi X )2為樣本方差,1(i)求PS2.908;(2)若S2.5,求PX6.569。4、設總體X的概率密度f (x,)x 1 , 0 x0,其它.1,(Xi,X2,L ,xn)為一樣本，試求 的矩估計一章練習題參考解答一、單項選擇題1

21、、(D)。2、(A)o3、(B)。4、(B)o5、(D)。6、(A)。7、(C)二、填空題1、2、2/3,3、4、1-p5、1/66、 1/37、1318;1/2o8、C3C72/CW21/40。9、一。三、計算題C950C5C95917391、解：P50。C50096032、解：令A=抽取的電話號碼由完全不相同的數(shù)字組成,2A。2104B=抽取的電話號碼末位數(shù)是8,則P(A)至，P(B)-5210521053、解:P(AUBUC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)5/8C2，故 P(B|A)C；。P(AB) 1P(A) 54、解：令A=2件中有1件為次品,B=

22、另一件也為次品，欲求P(B|A),C2P(AB)H"，P(A)1P(A)1C；05、解：設A=任取一件產品為次品,Bi=任取一件產品是第i個車間生產的,i=1,2,3,則AB1AUB2AUB3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互不相容;已知P(B1)0.45,P(B2)0.35,P(B3)0.20,P(A|B1)0.05,P(A|B2)0.04,P(A|B3)0.02；P(B3)P(A| B3) 0.0405P(A)P(Bi)P(A|Bi)P(B2)P(A|B2) P(B1 | A)P(B1A)P(B1)P(A|B1)5P(A)P(A)96、解：設Ai=第i次取到一等品,Bi=取到第i

23、號箱,i=1,2,AB1AlUB2A1,且BiAi,B2A1兩兩互不相容，從而1101182P(Ai)P(B1)P(A1|B1)P(B2)P(AJB2)112；2502305A1A2B1A1A2UB2A1A2,且B1A1A2,B2A1A2兩兩互不相容，從而2761421c相互獨立,221A1201A28P(AA2)P(B1)P(AA2|B1)P(B2)P(A1A2|B2)7y2A202A20P(A1A2)690所求為P(A21A1)二0.4856P(A1)14217、解：以A、B、C分別表示元件A、B、C正常工作之事，由于各元件獨立工作，故A、B、且P(A)0.90,P(B)0.70,P(C)

24、0.70,所求為P(ABUAC)P(AB)P(AC)P(ABC)P(A)P(B)P(A)P(C)P(A)P(B)P(C)0.819。四、證：P(B|A)厘P(B)P(AB)，P(B|A)迎，P(A)1P(A)P(A)代入P(B|A)P(B|A)得P(AB)P(A)P(B),故a與b相互獨立。隨機變量及其分布練習題參考答案一、單項選擇題1、(C)2、(B)3、(B)4、(A)5、(C)6、(A)7、(C)8、(A)9、(D)。二、填空題1、a_1/6_b_5/6-x的分布為X-112P1/62/61/23,x1,2、a_1_,b_1_,P1X234,x的概率密度f(x)=x30,x1.k1k51

25、0k3、XB(10,1/6),X的概率分布為PXkC：0(6)k(M，k0,1,L,10.4、 a5、(2.28)(1.5) 0.0555。6、3,7、X的分布律為Y的分布律為PX Y a8、X與丫的聯(lián)合分布律為X123P1/2a+1/9b+1/18Y12P1/3a+b+73當a = 29 , b = 1/9 時，X與丫相互獨立。-3-2111/101/101/521/201/201/1031/101/101/5Z-21012P1/103207201/51/5Z=X+Y的分布律為121,1 x e,0y 9、f(x,y) 2'y x0,其它.1。、N( 12，1222)1e , 1 x

26、 1, y 0 ,11、f(x,y) 20,其它.Z的分布為1/2e11/2ekk不，k 0,1, L ,PX44 1 PXk 0k 14 0.8k0.4493 0.0091。k 0 k!3、解：(1)由歸一性得f (x)dx1 dx1、1x2Aarcsin x令A 1,所以三、計算題X1234P(4333)/43(3323)/43(231)/431/431、解：X的分布律為2、解：令疵點數(shù)為X,X()，分布律為PXln0.44930.8,所求為已知PX00.4493，故e0.4493,A1/1/21/2 P| X |1/21/ 2f (x)dx1/21,1至 dx "3。 x0,

27、x F (x)xf (t)dx1, x1,1 dxM t21.1arcsin x, 1 x1.丫,4、解：設某人造衛(wèi)星偏離預定軌道的距離為X,5次獨立觀測中“失敗”的次數(shù)為2、則XN(0,4),每次觀測“失敗”的概率為P|x|101P|X/4|2.522(2.5)=,由此得YB(5,0.0124),所求概率為PY21PY0PY11(0.9876)5C5(0.0124)(0.9876)40.00155、解X2032246p1/81/41/81/61/3X1-3-113/23P1/31/61/81/41/8X201/4416P1/81/47/241/36、G"Y212311/900229

28、1/903292/91/9(2)兩個邊緣分布列為Y1123P1/91/35/9Y2123P5/91/31/91551因為P(Y11)P(Y21)-P(Y11,Y21),所以Y1與丫2不獨立。99819P(Y1Y23)P(Y11,Y21)P(Y11,Y22)P(Y12,Y21)1/3;P(Y1 Y2) P(Y11Y1) P(Y12,Y2 2) P(Y13,Y2 3) 1/3。7、 解：(1)由歸一性得f (x, y)dxdy1 2 2odx o(xax y)dy；(2x2 2ax)dx 2 a ：,日1仔a-。3,、.122xy65PXY1f(x,y)dxdy0dxix(x2xy)dyxy137

29、2fx(x)f(x,y)dy(x2xyv)dy32x2x0x1,8、0,其它.fY(y)f(x,y)dx(x2x3y)dx2,0,其它f(x,y)的非零區(qū)域內f(x,y)fx(x)fY(y),(1)fx(x)f(x,y)dy2x04xdy4x3,x1,fY(y)f(x,y)dx(2)在f(x,y)的非零區(qū)域內f(x,y)(3)PX1/2x1/2PX1/2,Y1/28/證明：丫的分布函為0,其它.FY(y)P(Yy)fY(y)FY(y)一、單項選擇題1、（B）。2、（B）o二、填空題1、N(,2/3)1_4xdx2y2y,0y1,0,其它.fx(x)fY(y),故f(x,y)dxdyP3X1/3

30、,10,X與丫1dx1/24xdy1516f(x,y)dxdy1/21/2yPxy-34,其他.1.dx1/22x4xdy1/20,1/4。1,11dx1,隨機變量的數(shù)字特征與中心極限定理復習自測題解答3、（C）。4、（B）。5、（C）oN(12,42/3)。6、（D）。2、13、Z3。4,4.4、2e2xdxe1。125、0o6、1(炳0.0007。7、37。8、10、E(Y2)E(Y)21(1/3)28/9。11、21/20,1/2320三、計算及證明題1、解：設保險費為x元，收益丫元，則Yx,A發(fā)生，'Y的分布律為Yxx-aP1-ppa,xaapA不發(fā)生，故E(Y)令a，一xap，求后x10102、解：(1)由歸一性得f(x)dx2axdx42(bxc)dx2a6b令2c1；而E(X)xf(x)dx2xaxdx042x(bxc)dx8a56b6c令2;P1X331f(x)dx2axd