概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

1、考試時間120分鐘班級姓名學號評卷人填空題(每題3分，共24分)1 .設A、B為隨機事件，P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(BA)=0.8,則P(BUA)2 .三人獨立的破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為1/5、1/4、1/3,此密碼能被譯出的概率是=.3 .設隨機變量X|_N(N,ct2),Y=eX,則Y的分布密度函數(shù)為.4 .設隨機變量XN(N,。2),且二次方程y2+4y+X=0無實根的概率等于0.5,則N=5 .設D(X)=16,D(Y)=25,PXY=0.3,貝(JD(XY)=.6 .擲硬幣n次，正面出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)學期望為7 .某型號螺絲釘?shù)闹亓渴窍嗷オ毩⑼植嫉碾S機變量，

2、其期望是1兩，標準差是0.1兩.則100個該型號螺絲釘重量不超過10.2斤的概率近似為(答案用標準正態(tài)分布函數(shù)表示)8 .設Xi,X21HX5是來自總體XUN(0,1)的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量C(Xi+X2)/Jx：/X2+X2t(n).則常數(shù)C=,自由度n=.二計算題(共50分)評卷入1.(10分)設袋中有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均有國徽)，從袋中任取一只硬幣，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.問這只硬幣是正品的概率是多少？史斐-評卷人2.（10分）設顧客在某銀行窗口等待服務的時間（以分計）X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為(1/5)e/5 叱0x 0其它某顧客在窗口等待服務，

3、若超過10分鐘，他就離開.他一個月到銀行5次.以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求PY-1.成績評卷人3.（10分）設二維隨機變量（X,Y）在邊長為a的正方形內(nèi)服從均勻分布，該正方形的對角線為坐標軸，求：（1）求隨機變量X,Y的邊緣概率密度；（2）求條件概率密度fxY（x|y）.績_評卷人4.（10分）某型號電子管壽命（以小時計）近似地服從N（160,202）分布，隨機的選取四只，求其中沒有一只壽命小于180小時的概率（答案用標準正態(tài)分布函數(shù)表示）成績評卷人5.(10分)某車間生產(chǎn)的圓盤其直徑在區(qū)間(a,b)服從均勻分布，試求圓盤面積的數(shù)學期望.成績評卷人(10分

4、)設Xi,X2,|l|Xn是取自雙參數(shù)指數(shù)分布總體的一組樣本，密度函數(shù)為le-Wlf(x;L)= u,0，其它其中匕6 >0是未知參數(shù)，Xi,X2*|,Xn是組樣本值，求:成績,評卷人四.(8分)假設名是8的無偏估計，且有D(的0試證苗=(明2不是82的無偏估計.述繼_評卷人五.(8分)設XhXzJILXn,是來自總體XN(自戶12)一，2的一組樣本，丫1,丫2川，工是來自總體YN(匕聲2)的一組樣本，兩組樣本獨立.其樣本方差分別為§2,s2,且設出，口2尸12,仃2均為未知.欲檢驗假設H0：仃2=仃2,Hi:仃12仃；，顯著性水平«事先給定.試構造適當檢驗統(tǒng)計量并給

5、出拒絕域(臨界點由分位點給出)評分標準一：填空題:(每小題3分)1.0.7;2.0.6；3.1/(,2Tcy).exp-1/(2；=2).lny-'2y0；4. 4;5.53;6.n/2;7.i(2);8.3/2,3.二：計算題1 .解：記A：取得正品硬幣；B：投擲r次，每次都得到國徽；取a,A作為樣本空間的劃分.P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)m1_mn.2rm一m1n-mn2r''''I.rmn2mn2 .解：某一次在窗口等待時間超過10分鐘的概率記為P,P=j，/5)eJ/5)dx=e/注意到顧客每月到銀

6、行五次也就是進行了五重的貝努利試驗，每次試驗得不到服務的概率為e.所以YB(5,e),即PY=k=C；(eN)k(1-e?)"k=0,1,|,5PY_1=1-Py=0=1-(1-e)5|a/24x|22Ii一1/ady-(a八2-|x|)|x|三a/、一2fX(x)=._f(x,y)dy="2兇ya2'-QUI0其它由對稱性，妊！J1/a2dx=2(a/V2|y|)|y|a/V2fY(y)=.J(x,y)dx="aa2'-I0其它(2)當|y|<a/時，有fXiY(x|y)=fhF2a-2|y|x|_ a/ .2 - y其它4.解：記取出的四

7、只電子管壽命分別為Xi,X2,X3,X4,所求概率為P,Y.0P=Pmin(Xi,X2,X3,X4)_180i =1,2,3, 444二PXi-180=1-PXi<180,4一=1-：'(1)=0.0006325.解：記圓盤面積為S,圓盤直徑為R,則S=(1/4)nR2,由隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算方法有b2E(S)=(1/4)二r(1/b-a)dra一22=(二/12)(baba)三：解：(1) 矩法估計量一.x_jXr：x_jE(X)=jxf(x)dx=J：eIdxh-xeme"dx二-e11-,1二二J二一二3r-E(X2)=：x2f(x)dx=eudx=-x2

8、e2xe"dx二J22"一)"一)2u2E(X)=(f=XE(X2)=(一)2u2;A2解之得以日的矩法估計量?=X-,A，-X2,?”；八2-X2(2) 極大似然估計,.11n,L(J,旬二-expI-")：二minxi,|,xn-i41,n,一、lnL-nln(x-n-)：minx1,111,xn1i4也L=n>0,故lnL是口的遞增函數(shù)，故l?=minx11|nxn6kl6由詈=°得外xmgW,所以極大似然估計量為??？=minX1,|Xn,=XminXjj,Xn四：證明:由方差的計算公式有：E(¥)=E(g2=D(g+E(g2,再由夕是日的無偏估計可得:E(7)=D(3U2易見當D（g>0時，鏟=（今不是日2的無偏估計.五：構造檢驗統(tǒng)計量F=S2,S2當Ho為真時，F(xiàn)=S2F(n11,n21),S2S2S2/02二2當Ho不真而H1為真時，由F=了=一2.心，即一個F（n1一1刀2-1）S22S2/C2二22的統(tǒng)計量乘以一個小于1的數(shù)，F(xiàn)=Sr有偏小的