數(shù)值分析期末復(fù)習(xí)課

1、數(shù)數(shù) 值值 分分 析析1第一章第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論2 若近似值若近似值 的誤差限是某一位的半個(gè)單位，的誤差限是某一位的半個(gè)單位，*x該位到該位到 的第一位非零數(shù)字共有的第一位非零數(shù)字共有 位，就說位，就說 有有 位位有效有效數(shù)字?jǐn)?shù)字. . *xn*xn定義定義3 3一、有效數(shù)字一、有效數(shù)字注注：用：用四舍五入取準(zhǔn)確值的前四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位位x*作為近似值作為近似值,則則x*必有必有n位位 有效數(shù)字。如有效數(shù)字。如3.142作為作為 的近似值有的近似值有4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而 3.141為為3位有效數(shù)字；位有效數(shù)字；3x3=1.7320是其近似值是其

2、近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字問它們分別有幾位有效數(shù)字?2121| |31.73| 0.0020508.0.20508. 100.5 10 ,xxx故 有三位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。4333| |31.7320| 0.0000508.0.508. 100.5 10 ,.xxx故 有四位有效數(shù)字4242| |31.7321| 0.0000491.0.491. 100.5 10 ,.xxx故 有五位有效數(shù)字31.7320508x 設(shè)例例x1=1.73, x2=1.7321,4 二、二、 避免誤差危害的若干原則避免誤差危害的若干原則 1. 1. 要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法要避

3、免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法 2. 2. 要避免兩相近數(shù)相減要避免兩相近數(shù)相減 3. 3. 要防止大數(shù)要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)小數(shù) 4. 4. 注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) 5第二章第二章 插值與逼近插值與逼近6kkkkkkkkxxxxxlxxxxxl 1111)(,)(1、線性插值、線性插值(n =1) 設(shè)已知區(qū)間設(shè)已知區(qū)間 xk , xk+1 端點(diǎn)處的函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù).)(,)(1111 kkkkyxLyxL稱為節(jié)點(diǎn)上稱為節(jié)點(diǎn)上線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)求求線性插值線性插值)()()(111xlyxlyxLkkkk 一、一、 拉格朗日拉格朗日(

4、Lagrange)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 值值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，多項(xiàng)式多項(xiàng)式L 1(x ) ，使其滿足，使其滿足72、拋物插值法、拋物插值法 (n =2 時(shí)的二次插值時(shí)的二次插值) 設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為：設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為：xk-1, xk, xk+1 , 求求二次插值多項(xiàng)式二次插值多項(xiàng)式L2(x)，使得使得L2( x j ) = y j , j = k- -1, k, k+1 . 先求先求 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l k- -1(x), l k (x), l k+1(x) 二次函數(shù)二次函數(shù),且在節(jié)點(diǎn)且在節(jié)點(diǎn) , 0)()(, 1)(;0)()(, 1)(;0)()(, 1)(

5、111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxl滿足：滿足：8)( )()( )()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl )( )()( )()( )()( )()( )()( )()(111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 9, ),(),., 1, 0( ) )(,()(jixxnixfxxfyjiii 當(dāng)

6、當(dāng)函函數(shù)數(shù)表表設(shè)設(shè)的的插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為，則則滿滿足足插插值值條條件件).1 , 0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()( ）0011011( )(0,1,. )()()()()()()()()njkjkjj knkkknkkkkkxxlxknxxxxxxxxxxxxxxxxxx其中 3、 n次次Lagrange 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式10).).()(.()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx ）（ ).()()(101nnxxxxxxx .)()()()(:011 nkknknknxxxxyxL 則有形式則有形式若引入記號若引入記號優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): 結(jié)構(gòu)緊湊

7、結(jié)構(gòu)緊湊, 理論分析方便理論分析方便 缺點(diǎn)缺點(diǎn): 改變一個(gè)節(jié)點(diǎn)則全改變一個(gè)節(jié)點(diǎn)則全部的插值基函數(shù)都改變部的插值基函數(shù)都改變,即即節(jié)點(diǎn)增加節(jié)點(diǎn)增加,基函數(shù)失效基函數(shù)失效 11,),., 1, 0),(,()()1(jiiixxnixfxxfy 函函數(shù)數(shù)表表設(shè)設(shè)已已知知定理定理3 3（插值多項(xiàng)式余項(xiàng)）（插值多項(xiàng)式余項(xiàng)）4 4、插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)、插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式余余項(xiàng)項(xiàng)為為則則對對任任何何,bax ,),()(,)()2()1()(內(nèi)內(nèi)存存在在在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfbaxfnn 次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式。為為滿滿足足插插值值條條件件的的當(dāng)當(dāng)nxLbaxjini)(, )

8、,(! ) 1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn .),(xba于于依依賴賴且且其其中中 12證證上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，為為設(shè)設(shè),bax),., 1 , 0() 1 (nixxi 若若定定理理成成立立。右右端端即即,0)( xRn),., 1, 0(, ,)2(nixxbaxi 且且若若),., 1, 0(0)(nixRin 于于由由).()()()(,10nnxxxxxxxkxR 設(shè)設(shè)所所以以)()(1xxkn ,),()()()()(1battxktLtftnn 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù):)( 有有性性質(zhì)質(zhì)則則t ,),).()()()()(10batxtxtxtxktLtfnn

9、 連連續(xù)續(xù)，在在,)()(batn )!1( )()()(),()() 1()1()1( nxktftbatnnn 存存在在，且且在在)(xk個(gè)個(gè)互互異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在定定理理可可知知，由由1),()( nbatRolle 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，在在),()()1(batn 個(gè)個(gè)互互異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在nbat),()( ),()(inixLxf 則則插值條件插值條件當(dāng)當(dāng)t=x時(shí)時(shí)，Rn（x）當(dāng)當(dāng)t=x時(shí)時(shí)，Rn（x） nkknxxx01)()( 有有關(guān)關(guān)的的待待定定函函數(shù)數(shù)為為與與其其中中xxk)(個(gè)個(gè)互互異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)，上上有有在在，即即

10、2,)(),., 1 , 0(0)(, 0)( nbatnixxi 130)(),()1( nba使使，即存在即存在0)!1()()()1( nxkfn niinnxxnfxR0)1()()!1()()( 余余項(xiàng)項(xiàng)公公式式：! )1()()()1( nfxkn )., 1, 0(nixxi 由由(1)(1)、(2)(2)知定理結(jié)論成立。知定理結(jié)論成立。 # #個(gè)個(gè)互互異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在定定理理可可知知，由由1),()( nbatRolle 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，在在),()()1(batn 個(gè)個(gè)互互異異的的零零點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在nbat),()( ,)(

11、)(xkxRn )(1xn nkkxx0)(14),()( )(!2)()()()(111baxxxxfxLxfxRkk 余余項(xiàng)項(xiàng)為為),()( )( )(! 3)()()()(1122baxxxxxxfxLxfxRkkk 余余項(xiàng)項(xiàng)為為 線性插值：線性插值： n = 1, 2 時(shí)的插值余項(xiàng)時(shí)的插值余項(xiàng) ： 拋物線插值：拋物線插值：1534. 0,314567. 0,32. 0100 xyx.352274. 0,36. 0,333487. 0221 yxy32. 00 x用線性插值計(jì)算，取用線性插值計(jì)算，取，及及34. 01 x得得)3367. 0(3367. 0sin1L )3367. 0(0

12、01010 xxxyyy 0167. 002. 001892. 0314567. 0 330365. 0 ,333487. 034. 0sin314567. 032. 0sin ，已給已給用線性插值及用線性插值及,3522787. 036. 0sin ,3367. 0sin的值的值計(jì)算計(jì)算并估計(jì)截?cái)嗾`差。并估計(jì)截?cái)嗾`差。拋物插值拋物插值例例由題意取由題意取解解16:其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為 , )(21021xxxxMxR 可取可取因因xxfsin)( ,3335. 0sinsinmax1210 xxMxxx于是于是)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(11LR 610*92

13、. 00033. 0*0167. 0*3335. 0*21 時(shí)，時(shí)，用拋物插值計(jì)算用拋物插值計(jì)算3367. 0sin2.6由 公 式 （ ） 得17 )()(3367. 0sin2010210 xxxxxxxxy)()()()(12021022101201xxxxxxxxyxxxxxxxxy 330374. 0)3367. 0(2 L 這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣。一樣。 其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為:1802203maxcos1 0.314567( )xx xxMfx 226(0.3367)sin0.3367(0.3367)1(0.9492)(

14、0.0167)(0.033)(0.0233)6=2.0315 10RL)()(6)(21033xxxxxxMxR 其中其中于是于是19商）商）階均差（均差也稱為差階均差（均差也稱為差的的為為kxf)(111021010,.,.,., kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf121020210,:xxxxfxxfxxxf 二階均差二階均差.,)()()(,0000的一階（均差）的一階（均差）關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)稱稱定義定義kkkkxxxfxxxfxfxxf-=二、差商與牛頓插值多項(xiàng)式二、差商與牛頓插值多項(xiàng)式1 、差商（均差）、差商（均差）202 基本性質(zhì)基本性質(zhì) kjijkjiijxxxf

15、00)()( kjjkjxxf01)()( （2）k 階差商階差商 kxxxf,10關(guān)于節(jié)點(diǎn)關(guān)于節(jié)點(diǎn)kxxx,10是對稱的，或說是對稱的，或說均差均差與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，即即 kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(的線性組合，的線性組合，即即)(xf的的k階差商階差商 kxxxf,10是函數(shù)值是函數(shù)值)(,),(),(10kxfxfxf（1） kxxxf,10 kxxxf,01 01,xxxfkk 21則則n 階差商與導(dǎo)數(shù)階差商與導(dǎo)數(shù)(3)( ) , ,f xa bn設(shè)在區(qū)間存在 階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為的關(guān)系為 ！nfxxxfnn )(1

16、0, 其中其中 ，ba, 的的區(qū)區(qū)間間。，為為包包含含nxxxba10,22ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 3 差商表差商表 計(jì)算順序計(jì)算順序: :每次用前一列同行的差商與前一列每次用前一列同行的差商與前一列 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。23 )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxx

17、xxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR - - 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式- - 牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng))(,10jnjnxxxxxf 4 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式24 1,2,3,4,5, ()1,4,7,8,6. .iixf x例 設(shè)當(dāng)時(shí)求四次牛頓插值多項(xiàng)式)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3) 1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx解：解：25三、埃爾米特插值三、埃爾米特插值 1、滿足如下條件的插值多項(xiàng)式0120121( )()

18、( )()( )( )iiixxxxf xf xf xf xfxfx26方法方法1： 思路：仿拉格朗日法，構(gòu)造插值基函數(shù)仿拉格朗日法，構(gòu)造插值基函數(shù)。 需要滿足如下插值條件：300112211( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ).P xl x f xl x f xl x f xl x f x0120121( )()( )()( )( )iiixxxxf xf xf xf xfxfx27其中的基函數(shù)需要滿足條件：012101201211( )( )( )( )100001000010( )( )( )( ) 0 0 0 1l xl xl xl xxxxl xl xl xl

19、 xx根據(jù)這些條件確定基函數(shù)的具體形式。28方法方法2： 基于帶重節(jié)點(diǎn)的差商計(jì)算，構(gòu)造差商表，給出帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式。00110111101122121120112( )( )( ) , ( )( ) , , ( ) , , , , , ,iixf xxf xxf xf x xxf xf xf x x xxf xf x xf x x xf x x x x1階2階3階29 插值多項(xiàng)式為：00101130010111012( )()()()()()( ) , , , , , ,()N xx xx xf xf x xf x x xfx xx x x x xxxxxx30插值余項(xiàng)及證明 插值余項(xiàng)

20、為： 證明：證明：由插值多項(xiàng)式滿足的插值條件可知 構(gòu)造輔助函數(shù)： (4)233012( )( )( )( )()() ()4!fR xf xP xxxxxxx233012( )( )( )( )()() ().R xf xP xk x xxxxxx23012( )( )( )( )()() ().tf xP tk x txtxtx31 為 的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理知，在 之間至少存在一點(diǎn) 使得即 所以0112,tx tx tx tx tx( ) t02,x x(4)( )0,(4)( )4! ( ),fk x(4)( )( ).4!fk x322、兩點(diǎn)三次、兩點(diǎn)三次Hermite插值插值010

21、101( )()( )( )()( )iiixxxf xf xf xfxfxfx33構(gòu)造方法構(gòu)造方法1300110011( )()( )( )( )()( )( )( )H xf xxf xxf xxf xx010101010101( )( )( )( )10000100( )( )( )( )00100001xxxxxxxxxxxx34( )x01 1）求求三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式，滿滿足足：( )( )xxxxx 01001000 ( ),xx10是是的的二二重重零零點(diǎn)點(diǎn)解解可可設(shè)設(shè)( )() ()xxxaxb201()x 001由由，()x 000， 可可得得()axx 3012，(

22、)()xbxxxx023010121( )() ()xxxaxb 201()xx 21()xxx 3012()()xxxxx 023010121xxxx 01012xxxx 210135( )( )xxxxx 01110100( )( )xxxxx 01001000( )x0即即：( )x12 2）求求三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式，滿滿足足：由由對對稱稱性性，知知( )2010100112xxxxxxxxx ( )2011011012xxxxxxxxx 36( )x03 3）求求，滿滿足足：( )( )xxxxx 01000010( )xxx010、 分分別別是是的的單單根根和和二二重重根根解

23、解可可設(shè)設(shè)( )()()xa xxxx 2001 ()x 001由由，得得()axx 2011，( )()()()xxxxxxx 20012011 xxxxxx 21001( )x14 4）同同理理：( )( )xxxxx 01110001 ( )xxxxxxx 201110 37( )( )xxxxx 01110001( )2010100112xxxxxxxxx ( )2011011012xxxxxxxxx ( )210001xxxxxxx ( )201110 xxxxxxx ( )( )xxxxx 01110100( )( )xxxxx 01001000( )( )xxxxx 010000

24、10Hermite插插值基函數(shù)值基函數(shù)! !300110011( )()( )( )( )()( )( )( )H xf xxf xxf xxf xx38方法方法2： 基于帶重節(jié)點(diǎn)的差商計(jì)算，構(gòu)造差商表，給出帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式。00000110100 111101 100 11( )( )( )( )( ) , , , ( )( ) , , , , , iixf xxf xxf xf xxf xf x xf x x xxf xf xf x x xf x x x x1階2階3階39 插值多項(xiàng)式為：0000102300201011( )( ) , , ( )()()(), , () ,N x

25、x xx xx xxf xf xf x x xf x x x xx40(4)223301( )( )( )( )() ()4!fR xf x H xx xx x插值余項(xiàng)41例.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf處的導(dǎo)數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(處的函數(shù)值在及的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式求xxfxf解:2, 110 xx012,3ff010,1ff 300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012x

26、xfxx2101xxxx42)2(213x21x21x2 x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5 . 1(f)5 . 1(3H625. 2)7 . 1(f)7 . 1(3H931. 243解法解法2：解：構(gòu)造差商表如下：( )12120231123-1-2-3iixf x1階 差 商 2階 差 商 3階 差 商22332( )(1)(1) -4(21) (2)=-31417019N xxxxxxxx 44第四章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分45定義定義：如果對于所有次數(shù)不超過：如果對于所有次數(shù)不超過 m 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f (x) ，公式，公式精確成立，但對某個(gè)次數(shù)為精確成立，但對某

27、個(gè)次數(shù)為 m +1 的多項(xiàng)式不精確成立，則稱的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有該求積公式具有 m 次代數(shù)精度次代數(shù)精度0( )d()nbiiaif xxA f x l 將將 f (x) = 1, x, x2, , xm 依次代入，公式精確成立依次代入，公式精確成立;l 但對但對 f (x) = xm+1 不精確成立。即：不精確成立。即：22110 d2mmnbmmiiaibaA xxxm ( k = 0, 1, , m )代數(shù)精度的驗(yàn)證方法代數(shù)精度的驗(yàn)證方法110 d1kknbkkiiaibaA xxxk 一、求積公式的代數(shù)精度一、求積公式的代數(shù)精度46例：例：試確定系數(shù)試確定系數(shù) Ai

28、，使得下面的求積公式具有盡可能高的，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。10121( )d ( 1)(0)(1)f xxA fA fA f 解：解：將將 f (x)1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得代入求積公式，使其精確成立，可得 1101222023302() /12 () / 20 () / 32/ 3AAAbaAAbaAAba 解得解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求積公式為。所以求積公式為3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易驗(yàn)證該公式對易驗(yàn)證該公式對 f

29、(x)x3 也精確成立，但對也精確成立，但對 f (x)x4 不精不精確成立，所以此求積公式具有確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。47q 任意任意具有具有 m ( 0 ) 次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的求積公式一定滿足求積公式一定滿足：010 = niniAAAAba 48二、插值型求積公式二、插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a x0 x1 xn b 若若 f (xi) 已知，則可做已知，則可做 n 次多項(xiàng)式插值：次多項(xiàng)式插值：0( ) ()nniiiLxl x f x 其中其中( ) dbiiaAl xx 插值型求積公式插值型求積公式00( )( ) d( )d d

30、()()bniiannbbiiaaiif xxxf xfxxxAxLl 誤差：誤差： ( )( ) d( ) dbbnnaaR ff xLxxRxx (1)01( )( )()()()(1)!nnnfRxxxxxxxn 其中其中49插值型求積公式插值型求積公式當(dāng)當(dāng) f (x) 1, x, x2, , xn 時(shí)，有時(shí)，有即公式精確成立即公式精確成立( )0nRx 0R f ( )d d( )bbaanLxf xxx 性質(zhì)性質(zhì)：插值型求積公式具有至少：插值型求積公式具有至少 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 定理定理：下面的求積公式具有：下面的求積公式具有至少至少 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度的的充要條件是該

31、充要條件是該公式是插值型公式是插值型的的0( )d()nbiiaif xxA f x 50例例 給定求積公式如下：給定求積公式如下： 4322141231)(10fffdxxf試證此求積公式是插值型的求積公式試證此求積公式是插值型的求積公式 證證: :設(shè)設(shè) , ,則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的 LagrangeLagrange插值基函數(shù)為插值基函數(shù)為 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxl51dxxxdxxxdxxl1021

32、01008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(3223881214331852由插值型求積公式的定義知，所給的求積公由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。式是插值型求積公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求積公式為插值型求積公式為53三、收斂性和穩(wěn)定性三、收斂性和穩(wěn)定性定義定義：如果求積公式：如果求積公式 滿足滿足則稱該求積公式是則稱該求積公式

33、是 收斂的收斂的。0( )d()nbiiaif xxA f x 設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a x0 x1 0，若存在，若存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng) ( i = 0, 1, , n) 時(shí)，有時(shí)，有 則稱該求積公式是則稱該求積公式是 穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。00()nniiiiiiA fA f x ()iiff x 定理定理：若：若 Ai 0, i = 0, 1, , n，則下面的求積公式是穩(wěn)則下面的求積公式是穩(wěn)定的定的0( )d()nbiiaif xxA f x 55( )00( 1)()!()!n knnnkjj kCtj dtk n k n其中 )()(0knknkbaxfCabdxxf .稱為柯特

34、斯系數(shù)稱為柯特斯系數(shù)式中式中nkC四、四、 牛頓柯特斯求積公式牛頓柯特斯求積公式56311( )( )( )( )()12bbaafR ff x dxL x dxb a 這時(shí)的求積公式為：這時(shí)的求積公式為：時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21,11110 CCn)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式誤差項(xiàng)誤差項(xiàng).公式具有一次代數(shù)精度公式具有一次代數(shù)精度57 bfbafafabS246這時(shí)的求積公式為：這時(shí)的求積公式為：辛普森公式辛普森公式2,n 當(dāng)時(shí) 這時(shí)柯特斯系數(shù)為 .61141,6422120222021 dtttCdtttC ,6121412020 dtttC5(4) ( )d( )4 ()

35、( )62()( ) , 2880bsabaabRff xxf aff bbafa b .公式具有三次代數(shù)精度58 432107321232790 xfxfxfxfxfabC 4n 而的牛頓柯特斯公式則特別稱為柯特斯公式為： 定理定理: :當(dāng)階當(dāng)階n n為偶數(shù)時(shí)，牛頓為偶數(shù)時(shí)，牛頓- -科特斯求科特斯求積公式至少具有積公式至少具有n+1n+1次代數(shù)精確度。次代數(shù)精確度。.公式具有五次代數(shù)精度59解：由梯形公式解：由梯形公式85914. 1)(2110 eeI截?cái)嗾`差為：截?cái)嗾`差為：22652. 012)(1211 efR 由辛普森公式由辛普森公式71886. 1)4(611210 eeeI截?cái)?/p>

36、誤差為：截?cái)嗾`差為：00095. 02880)(28801)4(2 efR 例例 分別用梯形公式與辛普森公式計(jì)算積分分別用梯形公式與辛普森公式計(jì)算積分 10dxeIx的近似值并估計(jì)誤差。的近似值并估計(jì)誤差。60定義：定義：01, , , nx xxa b如果一組節(jié)點(diǎn)能使求積公式0( ) ( )()bnkkkax f x dxA f x 21( )knxGaussxGauss具有次代數(shù)精度，則稱這組節(jié)點(diǎn)為點(diǎn)，而此公式稱為帶權(quán)函數(shù)的型求積公式。五、高斯求積公式61 其中高斯點(diǎn)為Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)110( )()nkkkf x dxA f x1)(,)1(!21)(2 xdxxdnxLnn

37、nnn 對于一般有限區(qū)間a,b，用線性變換x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它變成為-1,1。Gauss - Legendre 求積公式62具有一次代數(shù)精度。具有一次代數(shù)精度。個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，),0(2)(111fdxxf ),31()31()(211ffdxxf 個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，具有三次代數(shù)精度),1551(95)0(98)1551(95)(311fffdxxf 個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，具有五次代數(shù)精度高斯求積公式63第四章第四章 解線性方程組的直接解法解線性方程組的直接解法64(1, 2,.,1)kn( )( )(1)( )( )(1)( )( )/(1,., ),( ,1,.,

38、),(1,., ).kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkmaaiknaam ai jknbbm bikn( )( )( )( )( )1/,()/(1,2,.,2,1).nnnnnnnkkkkkkjjkkj kxbbxba xaknn 第一步先進(jìn)行消元計(jì)算第一步先進(jìn)行消元計(jì)算第二步進(jìn)行回代計(jì)算第二步進(jìn)行回代計(jì)算 一、高斯消元法解方程組一、高斯消元法解方程組65二、高斯消去法實(shí)現(xiàn)的條件二、高斯消去法實(shí)現(xiàn)的條件( )11111110(1,2, )A0(1,2, ),=0,0(1,2, )iiiiiiiiiikikaaaikaa定理：約化主元a的充要條件是矩陣 的順序主子式D即DD

39、AAx=bn階矩陣 的所有順序主子式均不為零，則可通過高斯消去法求解方程組。66三、列主元素法三、列主元素法11121121222212( , ) (5-3)nnnnnnnaaabaaabAbaaab 1111(1)(1)1:(53)1,max(53)1,(,),iii naaiAb ，第一步 首先在矩陣的第 列中選取絕對值最大的元素作為主元素 即：將中第 行與第 行列換 記行交換后的增廣矩陣為然后進(jìn)行第一次消元 得矩陣：67列主元素法列主元素法。得矩陣再進(jìn)行第二次消元行列換行與第的第將矩陣使比如列中選主元的第在矩陣第二步),(,2),(max,2),(:)3()3(2)2()2()2(22)

40、2(2)2(2)2()2(22bAibAaaabAiniii.,),(max,),(:)()()()()()()(次消元進(jìn)行第行列換行與第的第將矩陣使比如列中選主元的第在矩陣步第kiKbAaaakbAKkkkkiknikkkikkikkkk) 2 () 2 () 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 (22) 1 (1) 1 (1) 1 (12) 1 (11) 2 () 2 (),(nnnnnnbaabaabaaabA68153181533126321321321xxxxxxxxx程組：用主元素法求解線性方計(jì)算過程保留三位小數(shù)。00. 100. 2001. 3428. 9142. 30016

41、7. 5944. 0167. 10151318 5333. 210167. 5944. 0167. 10151318 ,167. 5944. 0167. 105333. 210151318 6111153312151318 15131815331261111123xxx，由回代過程求解得：第二次消元三行互換第二第一次消元第一與第三行互換因其增廣矩陣為：程如下：（列主元法）：求解過解法69二、二、LU分解分解11121311112121222322122231323333132123123111 (5-11)1nnnnnnnnnnnnnnnaaaauuuaaaaluuaaaalluaaaalll

42、 ALU701111111111 (1,2, )/ (2,3, ) (5-13) (2, ,1, )() / (2,3, ,1, )jjiiiijijikkjkjijijikkjjjkuajnlauinual uin ji inlal uujn ijn71nnnnnbbbyyyllllLy:10010001212132121111 (1) (5-14)(2, )kkkkjjjbkybl y kn可求出：nnnnnnyyyxxxuuuuuuUx：2121222112111/ () (5-15)()/(1,1)nnnnkkkjjkkky uknxyu xukn 7273LU分解的緊湊格式分解的緊湊

43、格式 74三角分解的緊湊格式75緊湊格式解線性方程組舉例 314324)4(145314/)321()1(314353)3(335353)3(725)5(232251)1(135346523321321321xxxxxxxxx組：用緊湊格式解線性方程763003143140523 2/376 114/53/1013/1001UyL2/3763003/143/140523321xxxUx解方程組：21, 1,21123xxx得原方程組的解：77三、向量范數(shù)三、向量范數(shù)ininnTnxxxxxxxxxxxxxx121122221221max:,),(；常用的向量范數(shù)有設(shè)78)( max) 1 (1

44、1稱為最大行和njijniaA)( max)2(111稱為最大列和niijnjaA的最大特征值為，AAAT112)3(ninjijFaA112)4(四、矩陣范數(shù)四、矩陣范數(shù)79第五章第五章 解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法80一、雅可比迭代法一、雅可比迭代法1211(1)( )( )( )1221331111(1)( )( )( )212332222(1)( )( )( )122,111()1()1()nnnkkkknkkkknkkkknnn nnnnnxa xa xa xbaxa xa xaxbaxa xaxaxba(i = 1,2,n; k=1,2,) nijkjijijkjiji

45、iikixaxabax1)(11)()1(18181迭代法迭代法111212122212nnnnnnaaaaaaAaaannaaa2112000000nnaaa1122nnaaa1212000000D L UA=D-L-U8282迭代格式的矩陣表示：迭代格式的矩陣表示：kkxDLU xD b(1)1( )1()fJB831211(1)( )( )( )1221331111(1)(1)( )( )212332222(1)(1)(1)(1)122,111()1()1()nnnkkkknkkkknkkkknnn nnnnnxa xa xa xbaxa xa xaxbaxa xaxaxba nijkj

46、ijijkjijiiikixaxabax1)(11)1()1(184 二、高斯賽德爾二、高斯賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法迭代法84(D-L) x(k+1)=Ux(k)+bkkxDLUxDLb(1)1( )1()()f其矩陣形式：其矩陣形式：x(k+1)=D-1(b+Lx(k+1)+Ux(k) )Dx(k+1)= Lx(k+1)+Ux(k)+b85GB85 例例 用用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列迭代法解下列方程組方程組,已知方程組得精確解為已知方程組得精確解為 x*=(1，1，1)T 。 141035310214310321321321xxxxxx

47、xxx解：先改寫方程如下解：先改寫方程如下 123213312114 31015 2310114310 xxxxxxxxx 86再寫出再寫出Jacobi迭代格式迭代格式0,1,2,k = =L L取初值為取初值為: x(0)=(0，0，0)T , 求得求得:x(1)=(1.4，0.5，1.4)Tx(6)=(1.00025，1.00580，1.00251)T誤差為由誤差為由x*=(1，1，1)T 得到得到 |x(6)-x*|=0.00580 。 (1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )312114310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 87初值也取為初值也取為: x(0)=(0，0，0)T , 求得近似解：求得近似解：0,1,2,k = =L LGauss-Seidel迭代格式為迭代格式為誤差為由誤差為由x*=(1，1，1)T 得到得到 |x(4)-x*|=0.00846 。x(1)=(1.4，0.78，1.026)Tx(4)=(0.99154，0.99578，1.00210)T (1)( )( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)312114310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 88三、三、Jacobi迭代法及迭代法及Seidel迭代法收斂性的判別迭代法收斂性的判別1.() 1 ()