計算流體力學(xué)基本原理及其發(fā)展現(xiàn)狀之我見

1、計算流體力學(xué)基本原理及其發(fā)展現(xiàn)狀之我見 一、計算流體力學(xué)基本原理計算流體力學(xué)或計算流體動力學(xué)，英文Computational Fluid Dynamics，簡稱CFD，是用電子計算機和離散化的數(shù)值方法對流體力學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值模擬和分析的一個分支。計算流體力學(xué)是目前國際上一個強有力的研究領(lǐng)域，是進(jìn)行傳熱、傳質(zhì)、動量傳遞及燃燒、多相流和化學(xué)反應(yīng)研究的核心和重要技術(shù)，廣泛應(yīng)用于航天設(shè)計、汽車設(shè)計、生物醫(yī)學(xué)工業(yè)、化工處理工業(yè)、渦輪機設(shè)計、半導(dǎo)體設(shè)計、HAVC&R 等諸多工程領(lǐng)域，板翅式換熱器設(shè)計是CFD 技術(shù)應(yīng)用的重要領(lǐng)域之一。為了說明計算流體力學(xué)主要方法，需先了解流體力學(xué)運動的基本方程的性質(zhì)和

2、分類。流體力學(xué)的基本方程是在19 世紀(jì)上半葉由C.-L.-M.-H.納維和G.G.斯托克斯等人建立的，稱為納維斯托克斯方程，簡稱N-S方程。1、非定?？蓧嚎sNavierStokes方程不計質(zhì)量力的情況下，在直角坐標(biāo)系中，守恒型NS方程可以寫為下列向量形式：， 其中 ， ，。如果忽略NS方程中的粘性和熱傳導(dǎo)，得到的簡化方程為Euler方程：。 方程、稱為向量守恒型方程。其重要特點是：連續(xù)、動量和能量方程被寫為統(tǒng)一形式。其中，均為列向量，是方程的解向量，稱為守恒變量；稱為通量（flux），具體說為無粘通量，為粘性通量。所謂守恒型方程，是空間導(dǎo)數(shù)項為散度的形式的方程。（3）式所示的向量型守恒方程，實

3、際上仍然是散度形式。顯然，（3）式的另一種等價形式為：， 其中，或，通量張量，為直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸方向的單位基矢量。把式在任意固定的控制體上積分，并利用Gauss公式，有。 這就是守恒積分型方程?？梢姡睾愕奈⒎?、積分型方程之間有直接的聯(lián)系。式是我們以后將要講到的有限體積方法的出發(fā)方程，而、或是則是有限差分方法的出發(fā)方程。2、流體力學(xué)方程的簡化形式根據(jù)具體流動狀態(tài)，NS方程可以進(jìn)行各種簡化。簡化的形式及其適用條件是理論流體力學(xué)的重要研究內(nèi)容之一。這里我們對于各種簡化方程作一歸納，見下圖：圖1.NS方程的簡化形式3、曲線坐標(biāo)系中的基本方程當(dāng)求解域的形狀比較復(fù)雜時，計算流體力學(xué)方法通常在曲線坐標(biāo)

4、系中實施。因此，有必要得到曲線坐標(biāo)系中流體力學(xué)基本方程的形式。在曲線坐標(biāo)中，矢量可以采用在直角坐標(biāo)中的分量形式，也可以采用協(xié)變或逆變分量，基本方程也將因此呈現(xiàn)出不同的形式。最簡單，應(yīng)用也最普遍的形式是矢量分量為直角坐標(biāo)系中的分量。下面，我們討論這種情況下的流體力學(xué)基本方程。直角坐標(biāo)到曲線坐標(biāo)的變換及其逆變換關(guān)系為： （1）、導(dǎo)數(shù)的變換 對于一階偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，有 。 同理可得。 對于二階偏導(dǎo)數(shù)，有。同理可得，。把導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系代入微分方程，就可以得到微分方程在計算平面中的形式。以直角坐標(biāo)系中的Laplace方程為例，把上述二階導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系代入上述Laplace方程，得。 （2）、度

5、量系數(shù)及其計算方法 在導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換公式中涉及到下列坐標(biāo)變換系數(shù)：。這些系數(shù)稱為坐標(biāo)變換公式對應(yīng)的度量系數(shù)（metrics）。我們看到，為了求解計算平面中的偏微分方程，如式，必須確定度量系數(shù)（有時還包括等）的離散值。那么，這些度量系數(shù)如何計算呢？由于一般情況下，我們只知道坐標(biāo)變換關(guān)系、的離散表達(dá)式，度量系數(shù)一般也要通過有限差分方法近似計算。但是，直接構(gòu)造的差分近似是不容易的。以為例，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的意義，為保持不變時隨的變化，如圖2所示，網(wǎng)格點處的的計算公式應(yīng)為：圖2 的計算。由于一般不是網(wǎng)格點，因此是未知的，只能通過插值方法確定。 另一方面，我們可以定義逆變換式的度量系數(shù)。在貼體坐標(biāo)系中，這些度

6、量系數(shù)的有限差分離散非常簡單。如果采用中心差分離散，有 。 這就提示我們，如果能夠找到和之間的關(guān)系，我們就可以得到等的計算方法。下面，我們推導(dǎo)二者之間的關(guān)系。 由變換關(guān)系式，有，寫成矩陣形式 。 由逆變換式，有。 式中的矩陣稱為正變換和逆變換的Jacobi矩陣。易知， 即， 其中 為坐標(biāo)變換的Jacobi行列式（jacobian）。因此，。 根據(jù)（15）（16）式，可以得到的差分離散形式。 如何計算呢？考慮。 根據(jù)式，我們同樣可以得到?，F(xiàn)在，把式分別對求導(dǎo)：，上面四個關(guān)系中，只有三個是獨立的，寫成矩陣形式，有：。 所以， 。同理。對、式的右端進(jìn)行有限差分離散，就可以算出。4、任意曲線坐標(biāo)系中流

7、體力學(xué)方程組的守恒形式 考慮直角坐標(biāo)系中的二維守恒型NavierStokes方程：。 利用一階導(dǎo)數(shù)的變換公式，有。式稱為平面上NavierStokes方程的弱守恒形式。在式兩側(cè)乘以Jacobian ，有。上面的方程中的各項可以進(jìn)一步整理：得。注意到，所以，式可化簡為。 式稱為平面上NavierStokes方程的強守恒形式，一般記為：， 其中。 二、計算流體力學(xué)發(fā)展現(xiàn)狀20世紀(jì)30年代，由于飛機工業(yè)的需要，要求用流體力學(xué)理論來了解和指導(dǎo)飛機設(shè)計，當(dāng)時，由于飛行速度很低，可以忽略粘性和旋渦，因此流動的模型為Lap lace方程，研究工作的重點是橢圓型方程的數(shù)值解。利用復(fù)變函數(shù)理論和解的迭加方法來求

8、解析解。隨著飛機外形設(shè)計越來越復(fù)雜，出現(xiàn)了求解奇異邊界積分方程的方法。以后，為了考慮粘性效應(yīng)，有了邊界層方程的數(shù)值計算方法，并發(fā)展成以位勢方程為外流方程，與內(nèi)流邊界層方程相結(jié)合，通過迭代求解粘性干擾流場的計算方法。同一時期，許多數(shù)學(xué)家研究了偏微分方程的數(shù)學(xué)理論，Hadamard Courant Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、數(shù)學(xué)提法的適定性、物理波的傳播特性等問題，發(fā)展了雙曲型偏微分方程理論。以后，Courant Friedrichs，Lewy等人發(fā)表了經(jīng)典論文，證明了連續(xù)的橢圓型、拋物型和雙曲型方程組解的存在性和唯一性定理，且針對線性方程的初值問題，首先將偏微分方程離散

9、化，然后證明了離散系統(tǒng)收斂到連續(xù)系統(tǒng)，最后利用代數(shù)方法確定了差分解的存在性; 他們還給出了著名的穩(wěn)定性判別條件：CFL條件。這些工作是差分方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。20世紀(jì)40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf Lax和其他一些學(xué)者建立了非線性雙曲型方程守恒定律的數(shù)值方法理論, 為含有激波的氣體流動數(shù)值模擬打下了理論基礎(chǔ)。在20世紀(jì)50年代，僅采用當(dāng)時流體力學(xué)的方法，研究較復(fù)雜的非線性流動現(xiàn)象是不夠的，特別是不能滿足高速發(fā)展起來的宇航飛行器繞流流場特性研究的需要。針對這種情況，一些學(xué)者開始將基于雙曲型方程數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的時間相關(guān)方法用于求解宇航飛行器的氣體定常繞流流場問題，這種

10、方法雖然要求花費更多的計算機時，但因數(shù)學(xué)提法適定，又有較好的理論基礎(chǔ)，且能模擬流體運動的非定常過程，所以在60年代這是應(yīng)用范圍較廣的一般方法。以后由Lax、Kreiss和其他著者給出的非定常偏微分方程差分逼近的穩(wěn)定性理論, 進(jìn)一步促進(jìn)了時間相關(guān)方法。當(dāng)時還出現(xiàn)了一些針對具體問題發(fā)展起來的特殊算法。值得一提的是，我國在20世紀(jì)50年代也開始了計算流體力學(xué)方面的研究。我國早期的工作是研究鈍頭體超聲速無粘繞流流場的數(shù)值解方法，研究鈍頭體繞流數(shù)值解的反方法和正方法。以后，隨著我國宇航事業(yè)的發(fā)展，超聲速、高超聲速繞流數(shù)值計算方法的研究工作發(fā)展很快。對定常歐拉方程數(shù)值解的計算方法進(jìn)行研究, 并給出了鈍體超

11、聲速三維無粘繞流流場的計算結(jié)果。20世紀(jì)70年代，在計算流體力學(xué)中取得較大成功的是飛行器跨音速繞流數(shù)值計算方法的研究。首先是Murman和Cole用松弛方法求解位勢流小擾動方程, 數(shù)值模擬帶激波的跨聲速繞流場, 解決了跨聲速繞流中的混合問題。在他們的工作中第一次將迎風(fēng)格式應(yīng)用于空氣動力學(xué)問題的模擬。不久以后Jam eson提出了旋轉(zhuǎn)格式, 將穆爾曼- 科勒方法推廣于求解三維跨聲速繞流的全位勢流方程, 獲得成功。同一時期, 我國開展了采用時間相關(guān)方法求解非定常歐拉方程、可壓縮N - S 方程和簡化N - S 方程的計算方法研究。在差分格式的構(gòu)造方面, 提出了求解歐拉方程的特征符號分裂法和三層格式

12、等。在可壓縮N - S 方程的求解中, 計算方法有了很大進(jìn)展, 先后提出了開關(guān)函數(shù)法、調(diào)解因子方法、緊致迎風(fēng)格式、推進(jìn)迭代法、無波動無自由參數(shù)的耗散格式、界值為限格式和耗散比擬方法等。這些研究工作進(jìn)一步改進(jìn)了計算方法精度, 提高了求解效率, 且對流場激波的數(shù)值模擬有較高的分辨能力。而且這些研究成果使得我們在計算流體力學(xué)的差分方法研究工作中初步形成了自己的特點。進(jìn)入20世紀(jì)80年代以后，計算機硬件技術(shù)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，千萬次機、億次機逐漸進(jìn)入人們的實踐活動范圍。隨著計算方法的不斷改進(jìn)和數(shù)值分析理論的發(fā)展高精度數(shù)值模擬已不再是天方夜譚。同時隨著人類生產(chǎn)實踐活動的不斷發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的日新月異，一大

13、批高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)對計算流體力學(xué)提出了新的要求，同時也為計算流體力學(xué)的發(fā)展提供了新的機遇。實踐與理論的不斷互動，形成計算流體力學(xué)的新熱點、新動力，從而推動計算流體力學(xué)不斷向前發(fā)展。首先，在計算模型方面，又提出了一些新的模型，如新的大渦模擬模型、考慮壁面曲率等效應(yīng)的新的湍流模式、新的多相流模式、新的飛行器氣動分析與熱結(jié)構(gòu)的一體化模型等。這就使得計算流體力學(xué)的計算模型由最初的Euler和N - S 方程，擴展到包括湍流、兩相流、化學(xué)非平衡、太陽風(fēng)等問題研究模型在內(nèi)的多個模型。其中以考慮更多流動機制，如各向異性的非線性(應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系)湍流研究為重點。研究結(jié)果再次證明，萬能的湍流模型還不存在，重要的是如

14、何在模型精度和計算量上較好地取得折中，也有學(xué)者從更高層次研究湍流模型問題, 由湍流流動中速度不可微，懷疑N - S 方程的有效性，進(jìn)而提出以積分方程為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。其次，在計算方法方面，又提出了一些新的計算方法，如新的遺傳算法、無網(wǎng)格算法、新型高精度緊致格式、氣動計算的新變分原理、結(jié)構(gòu)/非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格新技術(shù)、新型動網(wǎng)格技術(shù)等等。目前計算方法的研究集中在高精度格式方法, 即追求三階精度以上，其中又以解決真正實際問題。除此之外, 計算方法研究還涉及帶限制器的高階插值、譜方法、拉格朗日方法，時-空守恒元方法等等。將其它方法引進(jìn)傳統(tǒng)的計算流體力學(xué)也是現(xiàn)階段的重要成果之一，其中特別值得一提的是將基因算

15、法與傳統(tǒng)計算流體力學(xué)結(jié)合在一起,在域分裂和最優(yōu)化設(shè)計等許多方面顯示出了良好的應(yīng)用前景。在算法分析上，除傳統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、收斂性等方面的分析，還有更深層次的數(shù)值動力學(xué)分析，即將數(shù)值方法看成是動力系統(tǒng)來進(jìn)行分析，揭示了許多奇異的數(shù)值現(xiàn)象。再次，在研究成果方面, 英國M1A1Lesdhziaer關(guān)于湍流模型、美國H1C1Yee關(guān)于計算不確定性、日本學(xué)者的玻耳茲曼方程解流動問題、德國的E. von Lavant關(guān)于使用并行計算機進(jìn)行發(fā)動機氣缸流場渦和激波的非定常流動模擬等等，都有較新的學(xué)術(shù)思想，較高的學(xué)術(shù)水平。目前，計算流體力學(xué)研究的熱點是：研究計算方法，包括并行算法和各種新型算法；研究渦運動和湍流

16、，包括可壓和不可壓湍流的直接數(shù)值模擬、大渦模擬和湍流機理；研究網(wǎng)格生成技術(shù)及計算機優(yōu)化設(shè)計；研究計算流體力學(xué)用于解決實際流動問題，包括計算生物力學(xué)、計算聲學(xué)、微型機械流動、多相流及渦輪機械流動的數(shù)值模擬等。計算流體力學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)從最初的航空航天領(lǐng)域不斷地擴展到船舶、海洋、化學(xué)、鑄造、制冷、工業(yè)設(shè)計、城市規(guī)劃設(shè)計、建筑消防設(shè)計、汽車等多個領(lǐng)域。近幾年來計算流體力學(xué)在全機流場計算、旋翼計算、航空發(fā)動機內(nèi)流計算、導(dǎo)彈投放、飛機外掛物、水下流體力學(xué)、汽車等方面獲得廣泛應(yīng)用。這表明計算流體力學(xué)在解決工程實際問題方面具有重要的應(yīng)用價值。下面僅以在汽車領(lǐng)域的應(yīng)用為例, 介紹計算流體力學(xué)應(yīng)用于工程實際中的速度

17、和深度。20世紀(jì)80年代初期才開始有計算流體力學(xué)應(yīng)用于汽車領(lǐng)域的論文發(fā)表，經(jīng)過短短的二十余年，其應(yīng)用已涉及到汽車車身設(shè)計、汽車內(nèi)部空間的空調(diào)與通風(fēng)、發(fā)動機內(nèi)部的氣體流動以及冷卻系、汽車液力變矩器、廢氣渦輪增壓器中的壓氣機和渦輪的葉輪與蝸殼等中的流動現(xiàn)象的研究與計算，同時進(jìn)一步發(fā)展到研究汽車與發(fā)動機中傳熱、燃燒以及預(yù)測噪聲強度與模具設(shè)計等相關(guān)的問題。當(dāng)著手研究一項計算流體力學(xué)課題時，首先需要建立模型，即根據(jù)相關(guān)專業(yè)知識將問題用數(shù)學(xué)方法表達(dá)出來；然后就是如何利用計算流體力學(xué)軟件，對問題進(jìn)行求解、分析。整個計算流體力學(xué)處理過程大致包括三個部分：前處理，包括幾何模型的選取和網(wǎng)格劃分；求解器，包括確定計

18、算流體力學(xué)方法的控制方程，選擇離散方法進(jìn)行離散，選用數(shù)值計算方法，輸入相關(guān)參數(shù)；后處理, 包括速度場、壓力場、溫度場及其它參數(shù)的計算機可視化及動畫處理等。由此和計算流體力學(xué)在工程實際中的應(yīng)用可以將計算流體力學(xué)應(yīng)用的優(yōu)點大致歸納如下：可以更細(xì)致地分析、研究流體的流動、物質(zhì)和能量的傳遞等過程；可以容易地改變實驗條件、參數(shù), 以獲取大量在傳統(tǒng)實驗中很難得到的信息資料；整個研究、設(shè)計所花的時間大大減少；可以方便地用于那些無法實現(xiàn)具體測量的場合，如高溫、危險的環(huán)境；根據(jù)模擬數(shù)據(jù)，可以全方位的控制過程和優(yōu)化設(shè)計。隨著計算流體力學(xué)在工程技術(shù)應(yīng)用中的迅速推廣，計算流體力學(xué)也逐漸軟件化。CFX、FLUENT、PH