解析幾何中的對稱問題

1、解析幾何中對稱問題的常見求解方法關(guān)鍵詞：對稱點、對稱直線解析幾何中的對稱問題在現(xiàn)行中學數(shù)學材料中沒有按章節(jié)進行系統(tǒng)編排，只是分散地穿插在直線、曲線部分的題型之中。但這部分知識是解析幾何中重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是近年來的高考熱點之一。對稱點、對稱直線的求法，對稱問題的簡單應用及其解題過程中所體現(xiàn)的思想和方法是學生必須掌握的。這就要求教師在講完直線、曲線部分后，需對對稱問題進行適當?shù)臍w納、總結(jié)。使學生對這部分知識有一個較完整的、系統(tǒng)的認識，從而解決起對稱問題才能得心應手。本人就此談一下中學解析幾何中常見的對稱問題和解決辦法。一、關(guān)于點對稱。1、點關(guān)于點對稱。點關(guān)于原點的對稱點坐標是；點關(guān)于某一點的對稱

2、點的坐標，利用中點坐標式求得為。2、直線關(guān)于點對稱。 直線L：關(guān)于原點的對稱直線。設(shè)所求直線上一點為，則它關(guān)于原點的對稱點為，因為點在直線上，故有，即； 直線關(guān)于某一點的對稱直線。它的求法分兩種情況：1、當在上時，它的對稱直線為過點的任一條直線。2、當點不在上時，對稱直線的求法為：解法（一）：在直線上任取一點，則它關(guān)于的對稱點為，因為點在上，把點坐標代入直線在中，便得到的方程。解法（二）：在上取一點，求出關(guān)于點的對稱點的坐標。再由，可求出直線的方程。解法（三）：由，可設(shè)關(guān)于點的對稱直線為且求設(shè)從而可求的及對稱直線方程。3、曲線關(guān)于點對稱，曲線關(guān)于的對稱曲線的求法：設(shè)是所求曲線的任一點，則點關(guān)于

3、的對稱點為在曲線上。故對稱曲線方程為。二、關(guān)于直線對稱1、點關(guān)于直線對稱。 點關(guān)于軸、軸，直線，的對稱點坐標可利用圖像分別求設(shè)為。 點關(guān)于某直線的對稱點的坐標。解法（一）：由知，直線的方程由可求得交點坐標，再由中點坐標公式求得對稱點的坐標。 解法（二）：設(shè)對稱點由中點坐標公式求得中點坐標為把中點坐標代入中得到； 再由得，聯(lián)立、可得到點坐標。解法（三）：設(shè)對稱點為，由點到直線的距離公式有，再由得由、可得到點坐標。2、直線關(guān)于直線的對稱直線。 當與不相交時，則。在上取一點求出它關(guān)于的對稱點的坐標。再利用可求出的方程。 當與相交時，、三線交于一點。解法（一）：先解與組成的方程組，求出交點的坐標。則交

4、點必在對稱直線上。再在上找一點，點的對稱點也在上，由、兩點可求出直線的方程。解法（二）：在上任取一點，則點關(guān)于直線的對稱點在直線上，再由，。又的中點在上，由此解得，把點代入直線的方程中可求出的方程。解法（三）：設(shè)關(guān)于的對稱直線為，則必過與的交點，且到的角等于到的角，從而求出的斜率，進而求出的方程。3、曲線關(guān)于直線對稱。曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程，在上任取一點，可求出它關(guān)于的對稱點坐標，再代入中，就可求得的方程。綜合上述，求對稱問題通常采用變量替換、數(shù)形結(jié)合等解題思想。求對稱問題的通法是： 求對稱點一般采用，先設(shè)對稱點，再利用中點坐標公式或垂直、平分等條件，列出的方程組，解方程組所得的解就是對稱點的坐標， 求對稱直線一般是：先設(shè)對稱曲線上任一點，再利用求對稱點的方程求出點的對稱點點坐標，將點坐標代入已知曲線方程中，所得的關(guān)于的關(guān)系式，就是所求對稱曲線的方程。通過上述研究，解析幾何中的各種對稱點，對稱曲線（包括直線）列表如下：心)中稱對(軸稱對)