專題十概率與統(tǒng)計(jì)6

1、 專題十 概率與統(tǒng)計(jì) 2013.4【真題感悟】1. （2012山東11）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)為A 232 B 252 C 472 D 4842. （2012廣東）從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)種任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是A. B. C. D. 3. （2012遼寧）在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 4. （2012安徽）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5

2、次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) 甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) 甲的成績的方差小于乙的成績的方差 甲的成績的極差小于乙的成績的極差【考點(diǎn)梳理】1.排列組合二項(xiàng)式定理：（1）基本計(jì)數(shù)原理：分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N_種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，完成第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，完成第二個(gè)步驟有m2種不同的方法，完成第n個(gè)步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N_種

3、不同的方法兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成（2）排列與組合：排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示.排列數(shù)公式： ；.規(guī)定0! = 1。另外，； ； ，。注意：相同

4、排列：如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.組合與組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)不同元素中，任意取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示組合數(shù)公式：；.規(guī)定。組合數(shù)公式有兩種形式：乘積形式和階乘形式前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式及合并組合數(shù)簡化計(jì)算注意公式的逆用即由寫出.另外，；.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：組合與順序無關(guān)，排列與順序有關(guān)；排列可以分成先選取(組合)后排列兩個(gè)步驟進(jìn)行排列組合問題的解法：直接法；窮舉

5、法；優(yōu)先法（特殊元素優(yōu)先安排法或特殊位置優(yōu)先安排法）；相鄰問題捆綁法；不相鄰問題(相間)插空法（含逐一插空法）；多排問題直排法；定序問題用除法（或（非）定序元素優(yōu)先安排法）；隔板法（名額分配問題，有狹義（）和廣義（）之分（不定方程解（）的個(gè)數(shù)）；小集團(tuán)問題先整體后局部；選排問題先選后排法；分組分配問題（先分組后分配的方法和意識(shí)要加強(qiáng)）；至多至少問題間接法（正難則反）； 特別的，含有可重元素的排列問題，遵循的原則是重復(fù)元素都一樣，只留位置無需排列：對含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是用除法：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素，其中各元素的重復(fù)數(shù)為，且, 則S的排列個(gè)數(shù)等于。（3）二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：(r0,

6、1,2，n)。二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為展開式中的第項(xiàng)為：.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（）對稱性：在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；（）增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)r<時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)r>時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大： 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)相等且同時(shí)取得最大值.（）各二項(xiàng)式系數(shù)的和：；。 三項(xiàng)式的處理方法：對三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項(xiàng)、配方、因式分解，集項(xiàng)時(shí)要注意結(jié)合的合理性和簡捷性如何來求展

7、開式中含（其中且）的系數(shù)呢？方法一：把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng);另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為。方法二：把看成個(gè)式子個(gè)式子 相乘，其展開式中含的系數(shù)分三步：第一步，從個(gè)式子中選個(gè)式子，從每個(gè)式子中均選取得到，共有種選法；第二步，從剩下的個(gè)式子中選個(gè)式子，從每個(gè)式子中均選取得到，共有種選法；第三步，從剩下的（即）個(gè)式子中均選取得到，共有種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，含的系數(shù)為。求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)：一般來說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)，當(dāng)時(shí)可直接根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（）求解；當(dāng)時(shí)，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對值）的辦法來求解。近似計(jì)算的處理方法：當(dāng)a的絕對

8、值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對計(jì)算精確度的要求，據(jù)此可以應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮。整除性：利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常用“配湊法”、“消去法”、添減項(xiàng)結(jié)合有關(guān)整除知識(shí)來處理賦值法：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只

9、需令x1即可；對形如(axby)n (a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4；偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5。2. 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例：（1）隨機(jī)抽樣：簡單隨機(jī)抽樣：一般地，從元素個(gè)數(shù)為N的總體中_地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：_和_簡單隨機(jī)抽樣適用范圍是：總體中的個(gè)體性質(zhì)相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小。系統(tǒng)抽樣：假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本

10、，第一步，先將總體的N個(gè)個(gè)體_；第二步，確定_，對編號(hào)進(jìn)行_，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k；當(dāng)(n是樣本容量)不是整數(shù)時(shí)，先用簡單隨機(jī)抽樣剔除-個(gè)個(gè)體，取k；第三步，在第1段用_確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l (lk)；第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)_，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)_，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本系統(tǒng)抽樣的適用范圍是：元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體；各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等。分層抽樣：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)_的幾部分，每一部分叫做_，在各層中按層在總體

11、中所占比例進(jìn)行_抽樣或_抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣分層抽樣的應(yīng)用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時(shí)可采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣（2）用樣本估計(jì)總體：在研究總體時(shí)，常用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確。頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示_，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_表示，各小長方形的面積總和等于_連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖隨著_的增加，作圖時(shí)所分的_增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為_，它能夠更加精細(xì)的反映出_作頻率分布直方圖的步驟如下

12、：()求極差；()確定組距和組數(shù)；()將數(shù)據(jù)分組；()列頻率分布表；()畫頻率分布直方圖頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀莖葉圖：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留原始信息，而且可以隨時(shí)記錄，給記錄和表示都帶來方便用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征：()平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即_.()樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差s 標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程

13、度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差很接近總體方差（3）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系：有關(guān)概念：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)另一個(gè)變量的值由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)；如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系回歸方程：求回歸直線，使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得

14、回歸方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)的回歸方程，其中是待定參數(shù)從與的計(jì)算公式與 可以看出：()回歸直線必過點(diǎn)；()與符號(hào)相同。回歸分析：是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，主要判斷特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式。比如線性回歸分析就是分析求出的回歸直線是否有意義，而判斷的依據(jù)就是|r|的大?。簗r|1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱。從散點(diǎn)圖來看，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。線性相關(guān)檢驗(yàn)的步驟如下： ()作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與Y不具有線性相

15、關(guān)關(guān)系;()根據(jù)小概率0.05與n2在附表中查出r的一個(gè)臨界值；（）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式求出r的值；（）作統(tǒng)計(jì)推斷，如果|r|>，表明有95%的把握認(rèn)為x與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系； 如果|r|，我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)。這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無意義的。（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)：2×2列聯(lián)表B合計(jì)An11n12n1n21n22n2總計(jì)n1n2n構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量，利用隨機(jī)變量2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)：若，則有95%把握認(rèn)為A與B有關(guān)；若，則有99%把握認(rèn)為A與B有關(guān)；其中是判斷是否有關(guān)系的臨界值，應(yīng)判斷為沒有充分證據(jù)顯示A與B有關(guān)，而不能作為小于95%的量

16、化值來判斷注意：線性回歸分析以散點(diǎn)圖為基礎(chǔ)，具有很強(qiáng)的直觀性，有散點(diǎn)圖作比較時(shí)，擬合效果的好壞可由直觀性直接判斷，沒有散點(diǎn)圖時(shí)，只須套用公式求r，再作判斷即可獨(dú)立性檢驗(yàn)沒有直觀性，必須依靠作判斷3.概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列：（1）概率的有關(guān)概念：隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是兩個(gè)不同的概念：在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件，條件每實(shí)現(xiàn)一次，叫做一次試驗(yàn)，如果試驗(yàn)結(jié)果預(yù)先無法確定，這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談?lì)l率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)

17、事件的概率概率是頻率的近似值，兩者是不同概念?；臼录臻g：在一次試驗(yàn)中，我們常常要關(guān)心的是所有可能發(fā)生的基本結(jié)果，它們是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱為基本事件，所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，通常用大寫希臘字母表示事件的關(guān)系與運(yùn)算：定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B_ _事件A(或稱事件A包含于事件B)_(或AB)相等關(guān)系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的_(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)_且_，則稱此事件為事件A與事

18、件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件，則事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件AB；P(AB)P(A)P(B)1其中，互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系是：互斥事件與對立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件（2）古典概型：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型， 有限性試：驗(yàn)

19、中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，簡稱古典概型如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A).從集合的角度去看待古典概型，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集故P(A).（3）幾何概型：事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型在幾何概型中，事件A的概率定義

20、為：P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)：無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性。（4）條件概率：對于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“_”來表示，其計(jì)算公式為P(B|A).古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法（5）相互獨(dú)立事件：對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A與B是相互獨(dú)立事件若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(

21、B|A)·P(A)P(A)P(B).若A與B相互獨(dú)立，則A與、與B、與也都相互獨(dú)立，反之，若P(AB)P(A)P(B)，則A與B是相互獨(dú)立事件注意：“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系：相同點(diǎn)為二者都是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系.不同點(diǎn)是針對問題的角度不同. 互斥事件是針對一次試驗(yàn)下的兩個(gè)事件A,B能不能同時(shí)發(fā)生, 相互獨(dú)立事件是針對兩次或更多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的兩個(gè)事件A,B，一個(gè)事件對另一個(gè)事件發(fā)生的概率有沒有影響.具體來說,相互獨(dú)立事件,不是一個(gè)事件對另一個(gè)事件發(fā)生沒有影響,而是一個(gè)事件對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.互斥事件不一定是相互獨(dú)立事件,相互獨(dú)立事件不一定是互斥事件。若

22、存在不可能事件即概率為0的情況，如在數(shù)軸上取一個(gè)數(shù)，設(shè)事件A=“取到的數(shù)是1”，事件B=“取到的數(shù)是2”，則A、B既互斥又相互獨(dú)立；但若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，則它們不可能互相獨(dú)立：因?yàn)锳發(fā)生的條件下，B不可能發(fā)生，即，所以A、B不是相互獨(dú)立事件（6）概率的計(jì)算公式：等可能事件的概率計(jì)算公式：；互斥事件的概率加法公式：P(A+B)P(A)+P(B)；對立事件的概率計(jì)算公式是：P()=1P(A)；相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(AB)P(A)P(B)；獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：。（7）離散型隨機(jī)變量及其分布列：離散型隨機(jī)變量的分布列的概念：如果隨

23、機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫做隨機(jī)變量；如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，具有性質(zhì)：（）pi_0，i1,2，n；（）p1p2pipn_.二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0<p<1，q1p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布超幾何分布：

24、在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為：P(Xk) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，則稱分布列X01mP超幾何分布幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：（其中），于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作

25、B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記.二項(xiàng)分布實(shí)際上是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)而言的，關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布。當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列。（8）數(shù)學(xué)期望與方差.期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時(shí)，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

26、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小.均值與方差的常用性質(zhì)：()E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；若已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.() 若X服從二點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)pq.一般地，若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p). 如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解() 若X服從超幾何分布，則E(X)； 若X服從幾何分布：E(X)；D(X)。期望與方差的關(guān)系：(

27、)如果和都存在，則；()設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則,（不作要求）；()期望與方差的轉(zhuǎn)化：； () （因?yàn)闉橐怀?shù)）。（9）正態(tài)分布：密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于x軸上方，落 在任一區(qū)間 內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的 面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的密度函數(shù)，由于“x(，)”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為（x(，)，實(shí)數(shù)和 (>0)為參數(shù)），稱服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，用表示. 的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布的期望與方差：若，則

28、的期望與方差分別為：.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即。非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若，則，據(jù)此可以把非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率：。 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值：P(<X)0.683；P(2<X2)0.954；P(3<X3)0.997.“”原則：假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：()提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.()確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.()做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則

29、落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)分布）.【要點(diǎn)突破】題型一、排列組合二項(xiàng)式定理：例1. （1）某次活動(dòng)中，有30人排成6行5列，先要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為 。（2）一條長椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有 種不同的坐法。（3）一條長椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有 種不同的坐法。（4）的展開式中含的項(xiàng)為 。（5）設(shè)，則的值為 。題型二、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例：例2. （1）（2010湖北）將參加夏

30、令營的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003這600名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001到300在第營區(qū)，從301到495住在第營區(qū)，從496到600在第營區(qū)，三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（）A26，16，8，B25，17，8C25，16，9D24，17，9（2）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨即抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則A. B. C. D.（3）（2011陜西）設(shè)··· ，是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小

31、二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是(A) 直線過點(diǎn) （B）和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率（C）和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 （D）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同（4）（2011江蘇）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差。題型三、概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列：例3. (1) （2011遼寧）從1，2，3，4，5中任取2各不同的數(shù)，事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（BA）=（A） （B） （C） （D）(2) （2012新課標(biāo)）某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

32、3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為 。(3) 某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品.（）用表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望；（）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購買的概率.【鞏固提高】1. 四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可當(dāng)“6”用，則由這四張卡

33、片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A6B12C18D242. 將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為A.540 B.300 C.180 D.1503. 某校開展“愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是A4B3C2D14. 為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177

34、則y對x的線性回歸方程為A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 1765. 學(xué)生通過演示實(shí)驗(yàn)來估算不規(guī)則圖形的面積，先在平面內(nèi)畫4條直線x0，x5，y2，y1圍成矩形，再畫2條曲線y，y，稱2條直線y2，y1和2條曲線y，y圍成的區(qū)域稱為曲邊矩形，現(xiàn)隨機(jī)向矩形投射飛標(biāo)，則落在曲邊矩形內(nèi)的數(shù)N1與落入矩形內(nèi)的數(shù)N2的比大約為A. B. C. D. 6. 甲乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 （A） （B） （C） （D）7甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩

35、個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（A） （B） （C） （D）8. 一個(gè)壇子里有編號(hào)為1，2，12的12個(gè)大小相同的球，其中1到6號(hào)球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個(gè)球，則取到的都是紅球，且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是（ ）ABCD9. 將20名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是 。10. (2012浙江理14)若將函數(shù)表示為， 其中，為實(shí)數(shù)，則_11. 袋內(nèi)裝有30個(gè)球，每個(gè)球上都記有從1到30的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼n的球重-4n+克，這些球以等可能性從袋里取出（不受重量、號(hào)碼的影響）如果任意取出2球，則它

36、們重量相等的概率為_12. (2012江蘇)設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望13.（2012江西）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V（如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望。專題十 概

37、率與統(tǒng)計(jì)參考答案【真題感悟】1. C解：,答案應(yīng)選C。2.D.解：和為奇數(shù)個(gè)數(shù)為：，個(gè)位數(shù)為0十位為奇數(shù)兩位數(shù)有5個(gè)，所以其個(gè)位數(shù)為0的概率是5/45=1/9。3. C解：設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C4. 。解：，甲的成績的方差為，乙的成績的方差為【要點(diǎn)突破】例1.（1）1200。解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從5列中選擇三列C53=10；從某一列中任選一個(gè)人甲有6種結(jié)果；從另一列中選一個(gè)與甲不同行的人乙有5種結(jié)果；從剩下的一列中選一個(gè)與甲和乙不同行的丙有4種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有10×6×5×4=1200 （2）60.解：先將3人（用×表示）與4張空椅子（用表示），排列如圖（×××），這時(shí)共占據(jù)了7張椅子，還有2張空椅子，第一種情況是分別插入兩