菱形證明專題訓練

1、絕密啟用前樂學教育菱形證明專題訓練1.已知:如圖，在四邊形 ABCD中,AB/ CD,E,F為對角線 AC上兩點，且AE=CF,DF/ BE,AC平分 /BAD求證：四邊形ABCD為菱形.【答案】. AB/ CQZ BAE=Z DCF. DF/ BEZ BEF=Z DFEZ AEB=Z CFD.又A&CF,AAE Z CFQAB=CD. AB/ CD,四邊形ABCD是平行四邊形. AC平分 Z BAD,Z BAE=Z DAF.又 / BA±/ DCF?Z DAF=Z DCFAD=CD,四邊形ABCD是菱形.2.如圖，矩形ABCD中，點。為AC的中點，過點 0的直線分別與 AB

2、, CD交于點E, F,連 接 BF 交 AC 于點 M,連接 DE, B0.若/COB=60 , FO=FC.(1)四邊形EBFD是菱形；【答案】連接OD；點O為矩形ABCD的對角線AC的中點,B,D,O 三點共線且 BD=DO=CO=AO.在矩形 ABCD中，AB/ DC, AB=DC, . . / FCO=/EAO.在CFO和AEO中，ACFOAAEO,FO=EO.又 BO=DO, 四邊形BEFD是平行四邊形. BO=CO, / COB=60 ;. ACOB是等邊三角形. / OCB=60 :/ FCO=Z DCB/ OCB=30 : FO=FC,Z FOC=Z FCO=30 .

3、6;/ FOB=Z FOG/ COB=90 :EF± BD.-.平行四邊形 EBFD是菱形.(2)MB : OE=3 : 2.【答案】BO=BC, .點B在線段OC的垂直平分線上. FO=FC, .點F在線段OC的垂直平分線上.BF是線段OC的垂直平分線./ FMO=/OMB=90 :/ OBM=30OF=BF. / FOC=30 ； FM=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即 FO=EO, BM : OE=3 : 2.3 .如圖,在4ABC中,/ ABO90°,BD為AC邊上的中線，過點C作CE1 BD于點E,過點A作BD的 平行線，交CE的延長線于點 F,在A

4、F的延長線上截取 FG=BD,連接BGDF.求證：四邊形BGFD是 菱形.【答案】 FG/ BD,BD=FG,/.四邊形BGFD是平行四邊形CF± BD.AG / BD,.1. CF±AG.又 ; Z ABC=90，點 D 是 AC的中點，. . BD=DF=AC,平行四邊形BGFD是菱形.4 .如圖，點O是菱形ABCD對角線白交點，DE/ AQCE/ BD,連接OE.求證:OE=BC【答案】 DE/ AQCE/ BD,四邊形OCED是平行四邊形.四邊形ABCD是菱形，AC± BD,OB=OD,/ BOC=ZCOD=90 ;四邊形OCED是矩形,/ ODE=90，

5、： OB=OD,Z BOC=ZODE=90 ;BC=,OE=,DE=OC ，OE=BC5. 2015 蘭州中考,25（9 分）如圖，四邊形 ABCD中,AB/ CD,ABRD,BD=AC.M,則 / ACD=/ BMD.四邊形ABMC為平行四邊形.2分AC=BM. BD=AC，BM=BD./ BDM=Z BMD./ BDC=Z ACD.在ABDC和 ACD中,ABDCAACD.4 分BC=AD. 5 分(2)若E,F,G,H分別是AB,CDAC,BD的中點.求證:線段EF與線段GH互相垂直平分【答案】連接EGGFFHHE.6分. . E,H 為 AB,BD 的中點,. EH=AD.同理 FG=

6、AD,EG=BCFH=BC. BC=AQ，EG=FG=FH=EH. 8 分四邊形EGFH為菱形,e EF與GH互相垂直平分.9分6. 2015長春中考，18（7分）如圖，CE是4ABC外角/ ACD的平分線，AF/ CD交CE于點F,FG/AC 交CD于點G,求證：四邊形ACGF是菱形.【答案】因為AF/ CD.FG/ AQ所以四邊形ACGF是平行四邊形, 又因為/ ACE=Z ECG/ ECG=Z AFC 所以 /ACE=/ AFG所以 AC=AFD, 由得四邊形ACGF是菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形 ABCD中，AD / BC, AB=AD（如圖所示），/ BAD的平分線 A

7、E 交BC于點E,連結DE.（1）在圖中，用尺規(guī)作 /BAD的平分線AE保留作圖痕跡，不寫作法 ），并證明四邊形 ABED是 菱形；【答案】/ BAE= / DAE,/ DAE= / BEA,/ BAE= / BEA, AB= BE= AD,AD/ BE, 二.四邊形ABED的平行四邊形，又 AB= AD,四邊形ABED為菱形(2)/ABC= 60 °, EC= 2BE,求證：ED± DC【答案】 過D作DF / AE,貝U DF= CF= 1 ,/ C= 30 ；而/ DEC= 60 ；/ EDC= 90 °,ED± DC.8. 2010沈陽中考，19

8、如圖，菱形 ABCD的對角線AC與BD相交于。，點E, F分別為邊 AB, AD的中點，連接 EF, OE, OF,求證：四邊形 AEOF是菱形.【答案】點E, F分別為AB, AD的中點AE= AB, AF= AD（2 分）C又.四邊形ABCD是菱形AB=ADAE= AF（4 分）又菱形ABCD的對角線 AC與BD相交于點 O.O為BD的中點2 .OE, OF是4ABD的中位線（6分）3 .OE/ AD, OF/ AB四邊形AEOF是平行四邊形（8分）4 AE= AF四邊形AEOF是菱形（10分）9.2010 安徽中考，20如圖，AD/FE 點 B,C 在 AD 上，/1 = /2, BF=

9、 BCA B C D（1）求證：四邊形 BCEF是菱形；【答案】. AD/ FE,，/FEB=/2. / 1 = / 2,/ FEB= / 1.BF= EF BF= BC, .1. BC= EF.四邊形BCEF是平行四邊形 BF= BC, 四邊形BCEF是菱形（5分）（2）若 AB=BC= CD,求證： AACFABDE【答案】EF= BC, AB= BC= CD, AD / FE 四邊形ABER四邊形CDEF均為平行四邊形，AF= BE, FC= ED.（8分）又AO 2BC= BD, （9 分）AACFABDE（10 分）10. 2013長沙中考，24如圖，在 ABCD中，M, N分別是

10、AD, BC的中點，ZAND =90°,連 接CM交DN于點O.BNC(1)求證：ABNCDM;【答案】/ ABN= / CDM, AB= CD,BN= BC= AD= DM ,AABNACDM(SAS).(2)過點C作CE! MN于點E,交DN于點P,若PE= 1, / 1 = / 2,求AN的長.【答案】 M , O分別為AD, ND的中點， .AN/ MO 且 AN= 2MO,Z MOD= Z AND=90 °,即平行四邊形 CDMN是菱形，在 RtA MOD 與 RtA NEC 中,/1 = /2, MD=NC,RtA MOD RtA NEC,MO = NE.根據菱

11、形的性質可知，/MND=/CND, /1=/CND,所以/ MND= / CND= / 2= 30°,所以在 RtA ENP 中 NE= PE+ tan30=,即 AN=2.11.如圖，在ABC中,/ A=90°AH，BC于點H,/B的平分線交 AC于點D,交AH于點E,DU BC 于點F,求證：四邊形AEFD是菱形.B HF【答案】/ ABD=Z FBDBD=BQ/ BAD=Z DFB=90°, AB4 FBD, AD=DFAB=FB.又 / ABE=/ FBEBE=BEAABEAFBE./ BAE=Z BFE.又 / BAE=90°-/ ABC=Z

12、C, / BFE土 C,.,. EF/ AD.DF± BCAHL BC,.-. AE/ DF.四邊形AEFD是平行四邊形.又AD=DF,.四邊形AEFD是菱形.12. 2012南寧中考，25如圖，已知矩形紙片 ABCQAD= 2,AB=4,將紙片折疊，使頂點A與邊CD 上的點E重合，折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點O.（1）如圖1,求證：A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形;【答案】證法一：h證明：在矩形 ABCD中,CD/ ABZ 1 = Z 3（1 分）由折疊可知：AG= EG / 1=/2/ 2= / 3 .EF= EQ2 分）EF= AG四邊形AGEF是

13、菱形（3分）證法二：證明：連接AF,由折疊可知f）,O OAOA=OEAG=EG（1 分）在矩形ABCD中,AB/ CD/ AEF= / EAG / AOG= / EOFAAOGA EOF（ASA）（2 分）AG= EF四邊形AGEF是菱形（3分）如圖2,當AED的外接圓與BC相切于點N時，求證，點N是線段BC的中點;【答案】證明：連接ON,O是Rt ADE外接圓圓心 RtA EFO RtA AOM1 jT） 及; OO與BC相切于點N .ON，Bq4 分）在矩形 ABCD 中,DC，BCABX BC .CD/ ON/ AB= （5 分） OA= OECN= NB即N為BC的中點（6分）（3）

14、如圖2,在第2問的條件下，求折痕FG的長.【答案】解法一：ftI ilIII JJ入過點O作OMLAB于點M,則四邊形 OMBN是矩形設。O半徑為x,則OA= OE= ON=x（7分） AB=4,AD=2AM = 4-x由第2問得,NB=OM= 1在 RtAAOM 中,OA2=AM2+ OM2x2= （4 x）2+ 12x= （8 分）AM = 4 = / FEO= ZOAM又 / FOE= ZOMA=90°= （9 分），OF=FG= 2OF= （10 分）解法二：延長NO交AD于點M，四邊形ABNM是矩形AM= BN=AD=1O為Rt ADE外接圓圓心OA= OE= ON設 ON

15、 為 x,則 OM= 4-x（7 分）在 RtAAMO 中,AM2+ OM2=OA2即 12+（4-x）2 = x2x= （8 分）OM =4 =FG± AE,MN / DC . . / FEO= / MOA / AMO = / EO已 90AEOFAOMA= （9 分），OF= FG= 2OF= （10 分）13. 2013葫蘆島中考，20（本小題滿分8分）如圖，四邊形 ABCD 中,AD/ BQBA，AD,BC=DQB已 CD 于點 E.求證：ABDEB口【答案】如圖，B AD / BQ/ 1=Z DBC.,.BC=DC/2=/DBC.，/1=/2.2 分又 ZBAD=ZBED=

16、90°,BD=BD, ABg EBD.4 分(2)過點E作EF/ DA,交BD于點F,連接AF求證：四邊形AFED是菱形.【答案】由第1問得,AD=ED/1=/2. EF/ DA,.1. / 1=7 3,.,. / 2=7 3.EF=ED.5 分EF=AD.6 分四邊形AFED是平行四邊形.又AD=ED.四邊形AFED是菱形.8分14. 2013貴陽中考，20已知：如圖，在菱形 ABCD中，F(xiàn)為BC上的任意一點，連接 AF交對角線BD于點E,連接EC【答案】.BD是菱形ABCD的對角線,ACBD垂直平分 AC. . AE= EC當/ABC= 60°, /CE已60°

17、;時，點F在線段BC上的什么位置說明理由【答案】點F是線段BC的中點.理由：二.菱形ABCD中，AB= BC,又 ZABC= 60°. ABC是等邊三角形， / BAC= 60 :,. AE= EC /CE曰 60； . / EAC= 30：.AF是 ABC的角平分線. AF交BC于點F,.AF是ABC的BC邊上的中線.點F是線段BC的中點.15. 2012上海中考，23已知：如圖，在菱形 ABCD中，點E,F分別在邊 BQCD上,/ BAF= / DAE.AE 與BD交于點G(1)求證：BE= DF;【答案】四邊形ABCD為菱形，ab=ad= bc= cd,/ ABD= / ADB

18、= / CBD= / CDB/ ABE= / ADF Z BAF= / DAE,且 / BAF= / BAE+ / EAF,/ DAE= / DAF+ / EAF/ BAE= / DAF.AABEAADF(ASA).BE= DF.(2)當=時，求證：四邊形 BEFG是平行四邊形【答案】 在菱形ABCD中,ADBGZ DAE= Z BEA / ADB= Z EBD.AAGDAEGB又丁 =,BE=DF,.GF/ BEZ DGF= Z DBGZ DBC= Z CDBZ DGF= Z GDF,GF= DF,BE= GF.BEGF二四邊形BEFG是平行四邊形16. 2013烏魯木齊中考，19如圖，在4

19、ABC中，/ACB=90：CD，AB于D,AE平分/ BAQ分別與 BQCD交于EEEFUAB于H,連接FH求證：四邊形 CFHE是菱形.【答案】 AE平分 / BAG，z CA Z EAH.MZ ACB= 90°,CD± AB, / CEA+ / CAE= / AFD+ / EAH= 90，又 / APD= / CFE/ CFE= /CEF，CF= CE又 AE 平分 / BAQ/ ACB= 90 .EHIX AB,，CE= EHCF= EH= CECD±AB,EH±AB,.1. CF/ EH,四邊形CFHN菱形.17.如圖所示，在菱形 ABCD中,C

20、EL AB于點E,CF± AD于點F,求證:AE=AF.【答案】證?t 1:如圖所示，連接AC,V 四邊形ABCD是菱形，AC平分 / BAD,即 / BAC=Z DAC.在4ACE和4ACF中，/ AEC玄 AFC=90，/ BAC=Z DAQAC=AC ACE ACRAAS),，AE=AF.證法2: 四邊形ABCD是菱形，BC=DC=AD=ABZ B=Z D.又.在 BCE和 DCF 中，/ BEC=Z DFC=90°,ABCEADCFAAS),.,- BE=DF，AE=AF.18. 2013南寧中考，23如圖，在菱形 ABCD中，AC是對角線，點 E, F分別是邊BC

21、, AD的 中點.A F DHEC(1)求證：ABECDF;【答案】 在菱形 ABCD中，AB= BC= CD= DA(或 AB= CD, BC= DA)./ B= / D. 點E, F分別是邊BC, AD的中點，BE= DF.ABECDF(2)若/B=60°, AB= 4,求線段 AE的長.【答案】 解法一：. AB=BC, /B=60°, 4ABC是等邊三角形. 點E是BC邊的中點.AE± BC在 RtABE 中，sinB=.AE= ABsinB = 4- .解法二：AB=BC, /B=60°,，4ABC是等邊三角形. 點E是BC邊的中點，AE

22、77; BC./ BAE= 30 :在 RtAABE 中,BE= AB= 2.19. 2012溫州中考，19（本題8分）10cm,得到如圖， ABC中,/ B= 90 ,AB= 6cm, BC= 8cm,將 ABC沿射線BC方向平移 DEF,A,B,C的對應點分別是 D,E,F,連接AD.求證：四邊形 ACFD是菱形.AC= 10cm.由平移變換的性質得 CF= AD= 10cm,DF= AC,ad=cf= ac= df,四邊形ACFD是菱形.法二：由平移變換的性質得AD/ CFAD=CF= 10cm,四邊形ACFD是平行四邊形， / B=90 ；AB= 6cm,BC= 8cm,AC= 10c

23、m, . AC= CF,.ACFD是菱形.20. 2011蘭州中考，27（本小題滿分12分）已知：如圖17所示的一張矩形紙片 ABCD（AD>AB）,將紙片折疊一次，使點 A與點C重合, 再展開，折痕 EF交AD邊于點E,交BC邊于點F.分別連接AF和CEBF（圖 17）（1）求證：四邊形 AFCE是菱形；【答案】由題意可知OA= OC, EFl AO. AD/ BC, ，/AEO=/ CFO, / EAO= / FCQ.AOEACOF, AE= CF,又 AE/ CF,四邊形AECF是平行四邊形（2分）. AC± EF,四邊形AECF是菱形.（4分）2若AE= 10cm, 4

24、ABF的面積為24cm,求ABF的周長;【答案】四邊形AECF是菱形，.AF= AE= 10cm.設 AB=a, BF= b,. ABF的面積為 24cm2,a2+b2= 100, ab = 48（6 分）（a + b）2=196, a+b=14 或 a+b=14（不合題意，舍去）（7 分） ABF的周長為 a + b+10=24cm（8 分）（3）在線段AC上是否存在一點 P,使得2AE2= ACAP若存在，請說明點 P的位置，并予以證 明；若不存在，請說明理由.【答案】存在，過點E作AD的垂線，交AC于點巳點P就是符合條件的點（9分）證明：. /AEP= / AOE= 90°,

25、Z EAO= Z EAP, .AOEAAEP, .AE2 = AOAR11 分） 四邊形AECF是菱形，.AO=AC,AE2= ACAP, ,仁 ACAP（12 分）21. 2013營口中考，19如圖,ABC中,AB=ACAD是 ABC一個外角的平分線，且/ BAC=Z ACD.上8 C£求證:AB8 4CDA【答案】AB=AC；.-. ZB=ZACB又 / FAC是 ABC的一個外角， / FAC玄 B+/ ACBZ FAC=2Z ACB2 分又AD 是 / FAC的角平分線，/FAC=2/CAD, / ACB玄 CAD 3 分又 AC=CA/ BAC=Z DCAAABCACDA4 分(2)若/ ACB=60 ：求證：四邊形ABCD是菱形.【答案】一/BAC=/ ACD .AB/CD 5 分 又 /ACB=/ CAD, .AD/ BC.四邊形ABCD是平行四邊形.6分 , AB=AC/