橢圓定義的應用及其標準方程的求法

1、橢圓定義的應用及其標準方程的求法說課稿（一）說教材本節(jié)課是文科選修1-1第二章第一節(jié)，理科選修2-1第二章第二節(jié)，圓錐曲線方程的 第一節(jié)課的復習課，主要學習橢圓的定義的應用和標準方程的求法。它是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎知識。這一節(jié)課是在學完直線和圓的方程 的基礎上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，又是繼續(xù)學習橢圓的幾何性質的基礎；同時還為后面學習雙曲線和拋物線作好準備。因此本節(jié)內容起到一個承上啟下的重要作用。本課時是概念性教學的復習課，而橢圓的概念是教材的一個重點，且是圓錐曲線 這一章重點中的重點。這是因為：1、它的概念對學生來講， 相對于圓來說，是全新的，但它是對曲線概念的補充和深化；

2、 求橢圓的方程的過程是對求軌跡方程的步驟和方法的鞏固和加深。2、它是后繼課程的一個出發(fā)點（轉折點）。前一節(jié)的圓，是學生非常熟悉的，而從橢 圓開始，到雙曲線、拋物線，對學生來說，都是不很熟悉的，對橢圓概念的掌握好壞，不光 會影響對它本身的性質的掌握， 而且直接影響對雙曲線、 拋物線的學習效果。因為對雙曲線、 拋物線的學習過程，都可以仿照學習橢圓的過程進行。3、后繼課程中的雙曲線、拋物線概念，都可以橢圓概念來類比，橢圓方程的標準形式 與后繼課程中的雙曲線的方程的標準形式有混淆的地方，對它的特點不清，會影響對雙曲線的掌握。（二）學生現狀分析、本課的背景隨著普高的不斷深入，大多數的初中畢業(yè)生進入高中學

3、習，各地一、二、三流學校早 已形成高、中、差分層篩選學生的模式；而一流學校畢竟是少數， 較多普高學校的生源情況較差，在初中階段就帶了帳的學生學習高中數學的能力我們都非常清楚是怎樣一個情況。而我們面對的就是差生或中等生，在此就以這樣的學生作為背景來設計這堂課，使之成為一節(jié)很有必要的研究性課。這類學生基礎差、底子薄，數學運算能力，分析問題、解決問題的能力，邏輯推理能 力，思維能力都比較弱， 所以在設計課的時候往往要多作鋪墊，掃清他們學習上的障礙，保 護他們學習的積極性，增強學習的主動性。本課是學生學習了直線和圓的方程及其性質、曲線與方程的關系，橢圓的定義和標準 方程，學生對解析幾何有一定的了解的基

4、礎上，已具有一定的觀察、分析問題、解決問題的 能力之后，開始學習圓錐曲線方程的第一課時的復習課。學生在學習上一章的過程中就已經感到掌握比較困難，對解析幾何的問題生疏。而根據新高中數學教學大綱要求加強創(chuàng)新能力 的培養(yǎng)，使學生在學科領域或在現實生活情境中，通過發(fā)現問題、調查研究、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能。故本課時在設計上也依據這一指導思想，力求做得更好。（三）說目標根據數學教學大綱和學生的實際情況制定教學目標和教學重、難點。1 .教學目標根據教學大綱的要求，教材的具體內容和學生的認知心理，確定教學目標如下：知識目標：理解橢圓的定義及有關概念及其應用；明確橢圓的標準方程的形式，能區(qū)分橢

5、圓的焦點在X軸與丫軸上的不同；掌握橢圓的標準方程的概念，能夠 根據給定的條件求橢圓的標準方程。能力目標：培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的能力；注重數形結合和待定系數法等數 學思想方法的滲透，注重掌握運用解析法研究幾何的一般方法，注重 動手能力、探索能力的培養(yǎng)。情感目標：鼓勵學生積極、主動的參與教學的整個過程，激發(fā)其求知的欲望；培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神；體驗數與形對立統一的辯證唯物主義思 想。2 .教學重點、難點重點：橢圓的定義和標準方程的的形式、特點；焦點坐標的對應關系。難點：（1）橢圓定義的應用的各種不同形式，橢圓方程的各種不同求法（四）說教學方法為了使學生更主動地參加到課堂教學中，

6、培養(yǎng)他們的能力，以及為了實現本課的教學目標，本課采用自主探究法。即創(chuàng)設問題啟發(fā)討論一一探索結果”及 直接觀察一一歸納抽象一一總結規(guī)律”的一種研究性教學方法。通過引導學生觀察和對比分析、啟發(fā)學生思 考和概括問題等教學互動活動，突出體現以學生為主體的探索性學習和因材施教的原則。 提高學生的學習興趣，加大一節(jié)課的信息容量，提高教學效果和教學質量。（五）學法指導改變學生的學習方式是高中課改追求的基本理念。遵循以學生為主體，教師為主導，發(fā)展為主旨的現代教育原則。我采用了以問題的提出、問題的解決為主線， 始終在學生知識的最近發(fā)展區(qū)”設置問題；以學生主動探索、積極參與、共同交流與協作為主體，在教師的引導下，

7、學生 跳一跳”就能摘得果實；于問題的分析和解決中實現知識的建構和發(fā)展。通過不斷探究、發(fā)現，讓學生的學習過程成為心靈愉悅的主動過程，使師生的生命力在課堂上得到充分的發(fā)揮。激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新能力，幫助學生養(yǎng)成獨立思考積極探索的習慣。（六）說教學程序教學 環(huán)節(jié)教學程序及設計設計意圖復習鋪墊1 .橢圓的定義（1）平囿內與兩定點 Fi, F2的距離的和等葉常數（大于|FiF21）的點的軌跡叫橢圓，這兩個定點叫做橢圓的,之間的距離叫做焦距.注：當2a=|F1F2|時，P點的軌跡是 .當2av|FiF2|時，P點的軌跡不存在2 .橢圓的標準方程（1）焦點在X軸上，中心在原點的橢圓標準方程是：x2 y2

8、.4口 21 ,其中（>>0 ,且 a ）ab（2）焦點在y軸上，中心在原點的橢圓標準方程是 22-2- - 1 ,其中a, b滿足:.a2 b22 2. 2.一3 常數 a c b , a b 0,a最人，c b, c b, c ba,b,c的關系4圖像通過回憶定義，標準方 程的提問，明示這節(jié)課 所要學的內容，并為后 面橢圓的定義的應用和 橢圓方程的求法作好準 備。一橢圓定義的應用1求軌跡方程例 1, 已知點 (x,y ) 滿足方程JX1)2y2J(x 1)2 y24,求點(x,y)的軌跡方程例2.已知圓 C： (x 3)2 + y2=100C上任意一點，線段 PA的垂直平分線

9、求點Q的軌跡方程.及點A(-3,0), P是圓 l與PC相交于點Q,練、解方程，.x2 2x 2. x2 2x 2 4從 基礎入手，讓學生掌 握好基礎知識。即掌 握四種類型的橢圓定 義的應用。加深對定 義的理解解:由原方程可得y2 1(x 1)2 y2 (x 1)2 y2解得x2已知橢圓的焦點是F1、F2, P是橢圓上一個動點，如果延長F1P 至ij Q,使得 |PQ|PF2,那么動點Q的軌跡是(a.圓D.拋物線B.橢圓C.雙曲線一支解：因為|PQ| |PFJ,所以|QF1|PQ| |PF1| |PFJ |PF1|由橢圓第一定義得|PR| |PE| 2a,故|QFJ 2a,即Q點軌跡是以R為圓

10、心，以2a為半徑的圓，選 Ao2、求焦點三角形的邊長221、若橢圓 北+上=1上一點P到焦點F的距離為6,則點P到另一焦點F2的距離是()A、2B、4C、6D、83、求薄點三角形的面積22 一，一一 x y例已知點P是橢圓-2i(a b 0)上的一點，Fi、F2a b是兩個焦點，且/ FiPF2=a,求FiP的面積 S。解： PF1F2中，由余弦定理，得IF1F2I2 |PFi|2 |PF|2 2|PFi|PF21cos(|PFi| |PF|)2 2|PF2b2所以 |PFi|PF2| 1 cos-1 1, 一b2 sin, 2,故 Spff2 -|PF1|PF2|sin b2tan-1 22

11、1 cos22 2練、已知橢圓 + =1的兩個焦點為 F、F2,P為橢圓上一43點，滿足/ F1PF2=,則 F1PF2的面積為 .64、求參數的取值范圍一» 人L皿X22""人a例3 (2004年圖考全國卷III)設橢圓 V1的兩個焦m 1點是F1 (-c, 0)、F2 (c, 0) (c>0),且橢圓上存在點P,使得直線PF1與直線PF2垂直，求m的取值范圍。解：由題意知m>0 , a m m 1, b 1 , c Vm ,且|PF|2 IPF2I2 IF1F2I2 4c2|PF,| |PF2| 2a一 2一 得：|PF,|PF2| 2a2 2c2

12、 2b222練、若方程X + V =1表示焦點在X軸上的橢圓，則a的a a 6取值范圍為()A、a>3B、a<-2C、a>3 或 a<-2D、a>3 或-6<a<-2二橢圓方程的求法1、定義法司PF2|(1 cos )22例 1 已知兩圓 Ci ： (x 4) y 169 , C2 ：. 一 22(x 4) y 9,動圓在圓 Ci內部且和圓 Ci相內切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程.。通過四個例題的教學， 讓學生明白，在求橢圓 標準方程時，可以從哪 些方面去思考。練習，充分讓學生動手、 動腦。及時反饋，強化 知識點的學習。通過變式訓練來強化概

13、念，掌握方法，開拓學 生的思維，訓練學生思 維的嚴謹性。深化知識 點的掌握，突出重點、 難點。分析：動圓滿足的條件為：與圓 Ci相內切；與圓C2 相外切.依據兩圓相切的充要條件建立關系式.解：設動圓圓心M ( x, y),半徑為r ,如圖所示，由題意動圓M內切于圓 Ci,|MC1| i3 r ,圓 M 外切于圓 C2 ,|MC2| 3 r ,22故所求軌跡方程為：i.6448評注：利用圓錐曲線的定義解題，是解決軌跡問題的基 本方法之一.此題先根據平面幾何知識，列出外切的條件， 內切的條件，可發(fā)現利用動圓的半徑過度，恰好符合橢圓的 定義.從而轉化問題形式，抓住本質，充分利用橢圓的定義 是解題的關

14、鍵.練 i、4ABC 的兩個頂點坐標 A (-4,0), B (4,0),AABC的周長為i8,則頂點C的軌跡方程O2、已知圓 Oi： (x+3)2+y2=i,圓。2： (x-3) 2+y2=8i,動圓圓 O 與圓Oi外切，與圓O2內切，則動圓圓心的軌跡方程。3、過點A (2,0)且與圓x2+4x+y 2-32=0相內切的圓的圓心的軌跡方程。 2、待定系數法例2已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點Pi( J6,1), P2( J3, J2),求該橢圓的方程.分析：已知兩點，橢圓標準方程的形式不確定，我們可 以設橢圓方程的一般形式：22mx ny = 1( m 0, n 0),進行

15、求解，避免討論。,、 . 一 . 一、 一 ,22解：設所求的橢圓萬程為mx ny =1(m Q n 0).橢圓經過兩點 P1(J6,1), P2(五,灰),16m n 1,m 9,解得9,故所求的橢圓標3m 2n 1.1n 一. 322準方程為1 . 93評注：求橢圓標準方程，可以根據焦點位置設出橢圓標準方程，用待定系數法求出a,b的值：若焦點位置不確定，可利用橢圓一般形式簡化解題過程.注：還后其它方法嗎練1、已知橢圓的長軸是短軸長的3倍，且過點A (3,0),并且以坐標軸為對稱軸，求橢圓的標準方程。2、已知點P在以坐標軸為 對稱軸的橢圓上，點 P到兩焦點,一 4"5 , 2后 ,

16、的距離分別為和，過點P作長軸的垂線恰好過33橢圓的一個焦點，求橢圓的標準方程。3、求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經過點(-*13,-2),(-2 6,1 )的橢圓標準方程。3、直接法22例3 設動直線l垂直于X軸，且交橢圓 L 2_ 1于A、42B兩點，P是l上線段AB外一點，且滿足 PA ? PB 1,求點P的軌跡方程.分析：如何利用點P的坐標與橢圓上A , B兩點坐標的 關系，是求點P的軌跡的關鍵， 因直線l垂直于X軸，所以P、 A、B三點的橫坐標相同，由A、B在橢圓上，所以A、B兩點的縱坐標互為相反數，因此，緊緊抓住等式 pA? pb 1 即可求解.解：設 P ( X , y), A

17、(Xa, Ya), B ( Xb , Yb),由題意：X=Xa=Xb, Ya+Yb=。 PA y Ya ,|PB| y Yb , 二 P在橢圓外，Y Ya 與 Y Yb 同號，|PA?PB = ( y - Ya ) ( y - Yb )=2y (Ya Yb)Y YaYb 1222XAX YaYbYa2(1 -a-)2(1 )44222y2 2(1 ) 1 ,即1( 2 x 2)為 463所求.評注：求軌跡方程，首先要找出動點與已知點之間的關系，建立一個等式，用坐標代換.»，一，1，-c練在卸積為1的 PMN中，tan M一 , tan N2,2建立適當的坐標系，求出以M、N為焦點且過

18、P點的橢圓方程.則解：以MN的中點為原點， MN所在直線為x軸建立直角坐標2,x cy ix c 2，cy 1 .2512a2a2 b2P(x, y1,b222一 , 、一 4x y.所求橢圓方程為1 1534、相關點法22例知圓x y 1 ,從這個圓上任意一點 P向y軸作垂線段，求線段中點M的軌跡.分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題.這種題目一般利用中間變量（相關點）求軌跡方程或軌跡.解：設點M的坐標為（x, y）,點P的坐標為（x0 , y0）,則xo222因為P（xo,y。）在圓x y 1上，所以22x。y。1.公一 、-22將x。 2x , y0 y代入方程x。y01得4x2 y

19、2 1 .所以點M的軌跡是一個橢圓4x2 y2 1 .說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為（x, y）,設已知軌跡上的點的坐標為 （x。，y。），然后根據題目要求，使x, y與x。，y。建立等式關系，從而由這些等式關系求出 x。和y。代入已知的軌跡方程，就可以求出關于x , y的方程，化簡后即我們所求的方程.這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握.反 饋練 習221、若橢圓 + =1上一點P到焦點F1的距離為6,則點 16 25P到另一焦點F2的距離是（）A、2B、4C、6D、82、若Fi, F2是兩定點，|F后|=6,動點 M滿足|MFi|

20、+|MF2|=8, 則點M的軌跡是（）A、橢圓B、直線C、圓D、線段223、若方程 + -y=1表示焦點在x軸上的橢圓，則 a的 a a 6取值范圍為（）A、a>3B、a<-2C、a>3 或 a<-2D、a>3 或-6<a<-224、已知 ABC的頂點B, C在橢圓 +y 2=1上，頂點A是3橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC上，則4 ABC的周長是（）A、2mB、6C、4V3D、12225、已知橢圓 一+ =1的左右焦點分別為 Fi、F2,點P在 169橢圓上，若P、R、F2個直角二角形的二個頂點，則點P到x軸的距離為（）A、B、3C、 D、5

21、74226、設Fi、F2是橢圓C: + =1的焦點，在曲線 C上滿 84足PFi ? PF2 =0的點P的個數為（）A、0B、2C、3D、4X2_y27、已知橢圓 + =1的兩個焦點為 F1、F2,點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則|PFi|是|P國的倍。利用練習，及時反饋， 強化知識點的學習。228、已知Fi、F2是橢圓Jx_ + _y_ =1的兩個焦點，過 Fi的直線 259交橢圓于 A、B 兩點，若 |F2A|+|F2B|=12，則 |AB|=229、已知橢圓+ =1上的點到直線l:x+y-9=0 的距離的 169最小值為.2210、已知橢圓 + =1的兩個焦點為F1、F2,P為橢圓上一43點，滿足/ F1PF2= ,則 F1PF2的面積為 .6歸納小結1.兩類問題(1)橢圓定義的