18三角函數(shù)的綜合問題

1、江蘇省江蘇省 2014 屆一輪復習數(shù)學試題選編屆一輪復習數(shù)學試題選編 10：三角函數(shù)的綜合問題：三角函數(shù)的綜合問題填空題1. 已知銳角滿足,則的最大值是_. ,A Btan()2tanABAtan B【答案】 2. 函數(shù)的所有零點之和為_.( )(1)sin1( 13)f xxxx 【答案】4 3. 已知,均為正數(shù),且滿足,則的值為xy,4 2 sincosxy222222cossin103()xyxyxy_.【答案】 34. 函數(shù)4log,0( )cos ,0 x xf xx x的圖象上關(guān)于原點O對稱的點有_.對. 【答案】35. 函數(shù)xxxxycossin2sincos22, 2, 0 x

2、的最大值為_【答案】2 6. 每年的 1 月 1 日是元旦節(jié),7 月 1 日是建黨節(jié),而 2013 年的春節(jié)是 2 月 10 日,因為_,新年將注定不平凡,請在括號內(nèi)填寫一個由月2sin11 sin71 sin()30 sin2013 sin210份和日期構(gòu)成的正整數(shù),使得等式成立,也正好組成我國另外一個重要節(jié)日.【答案】101; 本題的一般結(jié)論是,可以應(yīng)用課本習題中結(jié)論 xxxx3sin60sin60sinsin400證得. 22sin()sin()sinsin7. 在ABC中, 若9cos24cos25AB, 則BCAC的值為 .【答案】23 8. 若x,y滿足22221log 4cos

3、()lnln4cos ()22yexyyxy, 則cos4yx的值為 .【答案】-1 9. 給出下列四個命題,其中不正確命題的序號是_.若Zkk,2,coscos則;函數(shù))32cos(2xy的圖象關(guān)于 x=12對稱;函數(shù))(cos(sinRxxy為偶函數(shù),函數(shù)|sin xy 是周期函數(shù),且周期為 2.【答案】1,2,4 解答題10.已知向量),(cos),(sin3 31 1xnxm (1)當nm/時,求xxxxcossincossin2 23 3 的值;(2)設(shè)函數(shù)mnmxf )()(,求( )f x的單調(diào)增區(qū)間;(3)已知在銳角ABC 中,cba,分別為角CBA,的對邊,)sin(BAac

4、 2 23 3,對于(2)中的函數(shù)( )f x,求)(8 8 Bf的取值范圍.【答案】 11.如圖,兩座建筑物CDAB,的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是 9cm 和 15cm ,從建筑物 AB 的頂部 A 看建筑物CD的視角 45CAD.(1)求BC的長度;(2)在線段BC上取一點(P點 P 與點CB,不重合),從點 P 看這兩座建筑物的視角分別為, DPCAPB問點 P 在何處時, 最小?ABDCP 第 17 題圖【答案】作AE CD,垂足為E,則9CE ,6DE ,設(shè)BCx, 則tantantantan()1tantanCAEDAECADCAEDAECAEDAE

5、+ 9619 61xxx x+,化簡得215540 xx,解之得,18x 或3x (舍) 答:BC的長度為18m 設(shè)BPt,則18(018)CPtt , 2291516266(27)18tan()9151813518135118tttttttttt+ 設(shè)227( )18135tf ttt+,222542723( )(18135)ttf ttt+,令( )0f t,因為018t ,得15 627t ,當(0,15 627)t時,( )0f t,( )f t是減函數(shù);當(15 627,18)t 時,( )0f t,( )f t是增函數(shù), 所以,當15 627t 時,( )f t取得最小值,即tan

6、()+取得最小值, 因為2181350tt+恒成立,所以( )0f t ,所以tan()0+,(, )2+, 因為tanyx在(, )2上是增函數(shù),所以當15 627t 時,+取得最小值. 答:當BP為(15 627)m時,+取得最小值 12.已知復數(shù), , ,求:(1)求的值; sincos1izsincos2iz55221 zz)cos(2)若,且,求的值.202135sinsin【答案】解:(1), )sin(sin)cos(cos21izz55221 zz,cos()=. 552)sin(sin)cos(cos22532542(2),0-,由(1)得 cos()=, 02253sin(

7、)=. 又 sin=,cos= . 541351312sin=sin()+=sin()cos+cos()sin=. 546533)135(53131213.已知7 2sin()410A, (,)4 2A.()求cos A的值;()求函數(shù)5( )cos2sinsin2f xxAx的值域.【答案】解:()因為42A,且7 2sin()410A,所以3244A,2cos()410A . 因為coscos()cos()cossin()sin444444AAAA 227 2231021025 .所以3cos5A . 6 ()由()可得4sin5A . 所以5( )cos2sinsin2f xxAx 21

8、 2sin2sinxx 2132(sin)22x ,xR. 因為sin 1,1x ,所以,當1sin2x 時,( )f x取最大值32;當sin1x 時,( )f x取最小值3. 所以函數(shù)( )f x的值域為3 3, 2 14.在三角形ABC中,已知2AB ACABAC ,設(shè)CAB=,(1)求角的值;(2)若4 3cos( - )=7 ,其中5(,)36,求cos的值.【答案】解:(1)由2AB ACABAC ,得2cosABACABAC 所以1cos2,又因為0 為三角形ABC的內(nèi)角,所以3, (2)由(1)知:3sin2,且(0,)2,所以1sin()7 故coscos()cos()cos

9、sin()sin =4 31133 3727214 15.某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間分別在、兩個位置,車間有 100 名員工,車間有 400 名員工.現(xiàn)要在ABAB公路上找一點,修一條公路,并在處建一個食堂,使得所有員工均在此食堂用餐.已知、ACDBDDA、中任意兩點間的距離均有,設(shè),所有員工從車間到食堂步行的總路程為.BCkm1BDCs(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達式,并指出的取值范圍;s(2)問食堂建在距離多遠時,可使總路程最少DAsABCD第 17 題圖【答案】解:(1)在中, BCD)120sin(sin60sin00CDBCBDdDBEA,則 ,sin23BDsin)120sin(0CDsin)

10、120sin(10AD,其中 sin)120sin(1 100sin234000ssin4cos35050323(2) 22sincos41350sincos)4(cossinsin350s令得.記 0s41cos)32,3(,41cos00當時, 41cos0s當時, 41cos0s所以在上,單調(diào)遞減, s),3(0在上,單調(diào)遞增, )32,(0所以當,即時,取得最小值 041coss此時, 415sinsin)120sin(10ADsinsin21cos231 sincos232110521415412321答:當時,可使總路程最少 10521ADs16.某興趣小組測量電視塔 AE 的高度

11、 H(單位 m),如示意圖,垂直放置的標桿 BC 高度 h=4m,仰角ABE=,ADE=(1)該小組已經(jīng)測得一組 、 的值,tan=1.24,tan=1.20,請據(jù)此算出 H 的值(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當調(diào)整標桿到電視塔的距離 d(單位 m),使 與 之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為 125m,問 d 為多少時,- 最大【答案】(1) tan31tan,tan,tan30AEAEADABADAB17.若實數(shù)、滿足,則稱比接近.xymxmymxym(1)若比 3 接近 0,求的取值范圍;21x x(2)對任意兩個不相等的正數(shù)、,證明:比接近;ab22a bab3

12、3ab2ab ab(3)已知函數(shù)的定義域.任取,等于和( )f x,D x xkkZ xRxD( )f x1 sin x中接近 0 的那個值.寫出函數(shù)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單1 sin x( )f x調(diào)性(結(jié)論不要求證明).【答案】解:(1) x(2,2); (2) 對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,有, 222a babab ab332abab ab因為, 22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab 所以,即a2bab2比a3b3接近; 2233|2| |2|a babab ababab ab2ab ab(3) ,kZ, 1sin ,(2

13、,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk f(x)是偶函數(shù),f(x)是周期函數(shù),最小正周期T,函數(shù)f(x)的最小值為 0, 函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減,kZ ,)2kk(,2kk18.在ABC中,已知3ABACBA BC .(1)求證:tan3tanBA;(2)若5cos5C ，求 A 的值.【答案】解:(1)3ABACBA BC ,cos=3cosAB ACABA BCB,即cos=3cosACABCB.由正弦定理,得=sinsinACBCBA,sincos=3sincosBAAB.又0 ABB，.sinsin=3coscosBABA即

14、tan3tanBA.(2) 5cos05CC ,tan=1A.=4A.19.已知,設(shè)函數(shù),3sin ,sinaxxsin ,cosbxx( )f xa b ,2x()求函數(shù)的零點;( )f x()求函數(shù)的最大值和最小值.( )f x【答案】()解:由題意:, 2( )3sinsin cosf xxxx,2x令,得 , ( )0f x sin( 3sincos )0 xxx所以,或 sin0 x 3tan3x 由,得 sin0 x ,2xx由,得. 3tan3x ,2x56x綜上,函數(shù)的零點為或 ( )f x56()解: 3131 cos2sin2sin 22232f xxxx因為,所以 ,2x

15、2 52,333x當,即時,的最大值為; 2233x2x ( )f x3當,即時,的最小值為 3232x1112x )(xf312 20.已知向量) 1,(sinxm,)21,cos3(xn,函數(shù)2)(2nmmxf.()求)(xf的最大值,并求取最大值時x的取值集合;()已知a、b、c分別為ABC內(nèi)角A、B、C的對邊,且a,b,c成等比數(shù)列,角B為銳角,且( )1f B ,求CAtan1tan1的值.【答案】解:()2)()(mnmxf221cossin31sin2xxx )62sin(2cos212sin23212sin2322cos1xxxxx 故1)(maxxf,此時Zkkx,2262,

16、得Zkkx,3, 取最大值時x的取值集合為,3|Zkkxx ()( )sin(2)16f BB,20 B,65626B, 262B,3B 由acb 2及正弦定理得CABsinsinsin2于是 CAACACCCAACAsinsinsincoscossinsincossincostan1tan1 2sin()12 3sinsin3ACBB 21.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是ACAC先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處下山,甲沿勻速ABBCAAC步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再從勻速步行min/50

17、mmin2ABBmin1到.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為,山路長為,經(jīng)測量,Cmin/130mACm12601312cosA.53cosC(1)求索道的長;AB(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?C3CBA【答案】本題主要考察利用正余弦定理解三角形.二次函數(shù)的最值.以及三角函數(shù)的基本關(guān)系.兩角和的正弦等基礎(chǔ)知識,考察數(shù)學閱讀能力和分析解決實際問題的能力. 解:(1), 1312cosA53cosC, ），（、20CA135sinA54sinC 6563sincoscossinsinsinsinCAC

18、ACACAB）（）（根據(jù)得 sinBsinCACABmCACAB1040sinsinB(2)設(shè)乙出發(fā) t 分鐘后,甲.乙距離為 d,則 1312)50100(1302)50100()130(222ttttd )507037(20022ttd即 13010400 t80 t時,即乙出發(fā)分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短. 3735t3735(3)由正弦定理得(m) sinBsinAACBC50013565631260sinsinBAACBC乙從 B 出發(fā)時,甲已經(jīng)走了 50(2+8+1)=550(m),還需走 710 m 才能到達 C 設(shè)乙的步行速度為 V ,則 min/m350710500v 3

19、507105003v為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi) C314625,431250法二:解:(1)如圖作BDCA于點D, 設(shè)BD=20k,則DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達點M, 此時甲到達N點,如圖所示. 則:AM=130 x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中 0 x8,當x=(min)時,MN最小,此時乙在纜車上與甲的距離最短.

20、3537(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用時:=(min). 1260501265若甲等乙 3 分鐘,則乙到C用時:+3= (min),在 BC 上用時: (min) . 12651415865此時乙的速度最小,且為:500=m/min. 865125043若乙等甲 3 分鐘,則乙到C用時:-3= (min),在 BC 上用時: (min) . 12651115565此時乙的速度最大,且為:500=m/min. 56562514故乙步行的速度應(yīng)控制在,范圍內(nèi). 12504362514 CBADMN22.已知,.(cos ,sin)(cos,sin)ab，0(1)若,求證:;(2)設(shè),若,求的值.|2abab(0,1)c abc,【答案】本題主要考查平面向量的加法.減法.數(shù)量積.三角函數(shù)基本關(guān)系式.誘導公式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力與推理論證能力 解:(