數(shù)列知識框架

1、高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列 考試內(nèi)容：數(shù)列.等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式.等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式.考試要求：(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并 能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí) 際問題.(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí) 際問題.§ 03.數(shù)列知識要點(diǎn)an _m+ an -|m性 質(zhì)1若 m + n = p+q® am +an =ap +aq若 m + n = p+q 貝

2、U aman =apaq。2若kn成A.P （其中kn W N ）則akn也為 A.P。若kn成等比數(shù)列（其中kn N ）,則akn成等比數(shù)列。3, sn , s2n sn,s3n s2n 成寸屋列。sn , s2n 一 sn , s3n - s2n 成等比數(shù)列。4n _1 ann_m anq = , q =a1am（m 豐 n）5看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法： an -anj =d（n 22,d為常數(shù)）2 an =an 1 an d （ n 2 ） an =kn +b （ n, k 為常數(shù)）.看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：an =an/q（n至2,q為常數(shù)，且第0） a2 =an

3、+ an（n 22 , anan+an #0）注：i. b=VaC,是a、b、c成等比的雙非條件，即b=VOC=a、b、c等比數(shù)歹!J.ii. b=VOC （ac>0） 一為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii. b=±后'一為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. b =±而且ac0一為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個.an =cqn（ c,q為非零常數(shù)）.正數(shù)列 an成等比的充要條件是數(shù)列 lOgxan （ X>1）成等比數(shù)列.s1 = a1 （n =1）數(shù)列 an的前n項(xiàng)和

4、Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an = ： o 2小snsn（n 之 2）注:an印i*n1d =nd+(a_d ) ( d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).等差 an前n項(xiàng)和Sn=An，Bnd n2+'ai- n 一 °可以為零也可不為零一為等差的充2 2 2要條件一若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若 d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.可與常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)2 .等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍sS2kSk,S3ks2k；c cs 奇 an

5、若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2ngN+),貝U S偶-$奇=nd，丁-;s偶 an書若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n -1(nN+), WJ S2n,=0n1 an ,且S奇S偶-£1 S偶"n_1二代入n到2n-1得到所求項(xiàng)數(shù).3 .常用公式：1+2+3+門=啦上)2 12 22 32n2=nn 1 2n 162 13 .23 33 ngn一 2注:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999, => an =10n-1; 5,55,555,nan =3(10n1194 .等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a,年增長率為r,則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，

6、公比為1+r.其中第n年產(chǎn)量為a(1+r)n，且過n年后總產(chǎn)量為：銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存a元，利息為r,每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過n個月后便成為a(1+r)n元.因此，第二年年初可存款：a(1 r)12 a(1 r)11 a(1 r)10 . a(1 r) =a1-r)1 -(1r . 1 -(1 r)分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；r為年利率.5 .數(shù)列常見的幾種形式：and2 = pan+qan (p、q為二階常數(shù))t用特證根方法求解.具體步驟：寫出特征方程x2 = Px+q (x2對應(yīng)an七，X對應(yīng)an+),并設(shè)二

7、根x1, x2若x1 #x2可設(shè)an.否xn、2X2 ,若x1=x2可設(shè)an =(c 用2n)xn ;由初始值 a1,a2確定c1 ,c2.an=Pan/4r (P、r為常數(shù))t用轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；逐項(xiàng)選代；消去常數(shù) n轉(zhuǎn)化為an節(jié) = Pan44qan的形式，再用特征根方法求an ； an=c1%Pn(公式法)，c1,c2由a1,a2 確定.轉(zhuǎn)化等差，等比： an 1 x =P(an x)=.an 1 = Pan Px _x=. x =.P -1選代法： an =Pan JL r =P(Pan/ r) r = -an=(a1 )PnJ_- =(a1 x)Pnx P -1P -1=Pn71

8、Pn 2 r+- 4Pr r .用特征方程求解：*n*n 4r爐目減，二an書-an = PanPan戶an卡=(P+1) an-Pan. an =Panr由選代法推導(dǎo)結(jié)果： c1=-, c2 =a1 +-, an =c2 Pn1 = (a1+-) Pn'+-.1 1 -P 2 1 P -1 n 211 P -11 -P6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn ,在df0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有 兩種方法：一是求使an之0,an書Y0,成立的n值；二是由Sn = n2+(a1-d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的 值.如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一

9、個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：1 L3L.(2n-1)工，2 42n兩個等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個數(shù)列的第一個相同項(xiàng)，公差是兩個數(shù)列公差d1, d2的最小公倍數(shù).2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an -an/')為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證2a0書=a0+ aq an 122(an -1 = anHn 也)n 匚 N 都成乂°一一、一，Zm 2 0 一一一3.在等差數(shù)列 an中，有關(guān)Sn的最

10、值問題：(1)當(dāng)a1>0,d<0時，滿足m 的項(xiàng)數(shù)mLam 書0一 .一 .一 Ze M0 一 使得sm取最大值.(2)當(dāng)a1<0,d>0時，潴足m 的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小值。在解含絕©m書至0對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。(三)、數(shù)列求和的常用方法1 .公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法：適用于其中 a。是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯位相減法：適用于留。其中 a。是等差數(shù)列，>是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列4. 倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論n(n 1)