講義課件教程

1、 第六章線性馬昱春計(jì)算機(jī)系myc1回顧nå c j x j=一般形式mx (min)ZGenerl formj =1nå aij x j£ (=³ ) bi(i = 12 L m )j =1x j³ 0(j = 12 L l )n variables，n³lmax Z =cj xj標(biāo)準(zhǔn)形式Augmenti non-negatived formì= bi=1× 2Laij xjïíx³=1×Lïîj2單純型法(Simplex Method)頂點(diǎn)若S=XAXb

2、,X0有解，則必可在的某個(gè)頂點(diǎn)上取得最大值。X是S的頂點(diǎn)的充要條件是X的非0元對(duì)應(yīng)的A的列向量線性無(wú)關(guān)BmaxZ0040ù00Bx=b210x=B-1 ê0=ê ï3=12;x4=8;xxíïïx5=16;x6=12úxx2604000x1 x2x3 x4xx63CB=c1,c2cm為基變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)向量bmaZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5+0x60 +maxZ042éêù0 1221002=CB=0ú=0816A=êúú

3、9;+=xx+1íïêêx1xï26找出一個(gè)初始可行解0ë400012,3X1=(0,0,12,8,16,12)，Z1=0bi Q x= min12812是：變量迭代 )=32224是是否最優(yōu)初等變換 B-1最優(yōu)解P0PjB-1Aj循否é0-0.05ù2100環(huán)621 ê-0.5ú001P =êúú轉(zhuǎn)移到另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)0ê（找更大的基本可行解）4001106ê1ú0ë000.205û3變量的變換Z?X2=(0,3,6

4、,2,16,0) Z2=94P0A2éêù0 122100ú變量的變換00ú8A=êê16x1 = 0 時(shí)， x2 為換入變量ê4ú012當(dāng)0ë00P0( 1 2 m )T再設(shè) Pj(1j 2j mj )T，5x=3-x 2³確定換出變量x=-x 2³b x= m in(1281 ) = 3i222 , 4x=³x=12-4x³x6=0 成為變量，與 x2交換CB=c1,c2cm為基變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)向量APP0é0-0.05ù

5、9;0 12210012210062ê0-0.05ú0ú108P =êúúú初等變換 B-1A0êêê44001106316êúú0120ë1000.205û000PjB-1Aj，于是CPjCBB-1Aj目標(biāo)函數(shù)： Z=C P0= CB-1bBB目標(biāo)函數(shù)有所åcjmaZxj x(ia1ij x j 2ibmL)0Z ( cjCBPj ),xj(j12n)L又因?yàn)镻jB-1Aj，于是CBPjCB 1A時(shí)j 同 Z(X1)CjC，令6jZ

6、( cjCBPj ),收斂性討論：jcjzj， Z j,若存在j>0,目標(biāo)函數(shù)可= (k/kj) 于是Aj進(jìn)入，Ak，由原頂點(diǎn)X轉(zhuǎn)到新頂點(diǎn)X若Pj= (1j mj)T02j目標(biāo)函數(shù)無(wú)上界，此線性問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解 若所有j0,目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)達(dá)到最大，X是問(wèn)題的解求極小問(wèn)題則若所有j0,目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)達(dá)到最大，X是問(wèn)題的解7Z ( cjCBPj ),定理 設(shè)X( 1 2 m 0 0 ) 是線性問(wèn)題maxZCX，AXb，X0的一個(gè)解.A1，A2，Am是X的正元對(duì)應(yīng)的基 如果j0，j1，2， ，n+m，則X是最大值點(diǎn) 其中jcjCBB-1Aj。證 設(shè)S是線性，任給YS，Z(Y)問(wèn)題的CY根據(jù)假設(shè)j0，即

7、jcjzj 0cjzj，j1，2， ,nm寫成矩陣形式就是C(CBB-1A1， CBB-1A2 , , CBB-1Aj )C CBB-1A于是CY CBB-1AY，CY CBB-1b而B-1bP0，CBP0CX從而CYCX， 即X是最大值點(diǎn)8其步驟總結(jié)如下：是是否最優(yōu)最優(yōu)解循環(huán)否結(jié)束轉(zhuǎn)移到另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)（找更大的基本可行解）nx = b' -åx (i = 1,2,L, m)a'iiijj j = m +1直到找出為止，是：變量迭代9nnz = z0 + å(cj - z j )x j = z0 + ål j x j j =m+1j =m+1找出一

8、個(gè)初始可行解問(wèn)題是：max zc1x1+c2x2+cn+mxn+m，約束條件：x1, x2 , , xn+m0。c1c2cn+mB-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m )a1a211bXB CBa31Z=CBP0j =cjCBPj10max300=Z=ïï+=xxíïï15= x0 =,=Zx（90，3，6，2，16+x 6=x 2 16 ,we can incraseto enlrge Z.3111110cBxBP0P1P2P60x36-6/20x42-20x516/43x21/4-Z-3/4(1) 計(jì)算 z0及c

9、jzj如果cjzj0，則不可能使目標(biāo)函數(shù)有所,問(wèn)題的最優(yōu)解是xb1 P0(1)， xb2 P0(2) ， , xbm P0(m) ，xj0，jb1 , b2 , , bm , 1 j n+m 目標(biāo)函數(shù)值即為 z0( 2 ) 如若不然，進(jìn)入的基Pj的選取應(yīng)滿足 cjzj0, 然而當(dāng)n很大時(shí)，增加了很多計(jì)算量，所以也 可以選第一個(gè)cj zj0確定了進(jìn)入基Pj后,計(jì)算的基Pk以確定( 3 )表中第k行第 j 列元素akj(0)取作主元素，對(duì)第 j 列進(jìn)行消元 把所得的結(jié)果寫入表，返回( 1 )這樣周而復(fù)始，直至達(dá)到最優(yōu)c1c2cn+mB-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m

10、 )11bXB CB112Z=CBP0j =cjCBPjmax Z =cj xj（四）、單純形表ìï= bi=1× 2Laij xj³í=1×Lïîxjc jc 1cccL LL L+ 1mmnbicPPPPXPLLBB+ 101mmnb110Ma1,m+1Ma1nMc1x1b1LLLLMMM1Mam,m+1Mbmcmxmbm0amnLLLL- å ci aijl j= c jZ00LLcibiP0保持非負(fù)b = min( bi> 0)akja13kj+Zmaxì2ïï

11、20=4：例 =+=xxíïï+xx26,3c0bicxPPPPPBB012360x3120x480x5160x611Z014c0icBxBP0P1P2P3P60x31212/20x488/20x5160x61112/4Z00c0bicBxBP0P1P2P3P600x3x620100-1/204x52161010-1/24000103x23010001/4Z15c0icBxBP0P1P2P3P60x36-1/6/220x42-1/16/403x5 x2161/4-3/4Z9c0bicBxBP0P1P2P3P60203x3 x1 x5 x22281441216-1/

12、1/4Z11/4cj0bicxBP0P1P2P3P60x32142x12-1/1/40x5843x2311/4Z13c0bicBxBP0P1P2P3P60x6420x1x40X1=4,x2=2得到最優(yōu)解35x-10Zmax=142Z1-117cj0bicxBP0P1P2P3P60x321-1/1/4420x1 x52843x2311/4Z13c0icBxBP0P1P2P3P60x30-120x14411X1=4,x2=2得到最優(yōu)解36x1-10Zmax=142Z1-3-1018X1=4,x2=2得到最優(yōu)解Z=2*4+3*2=14maxZ2x3x12ì 2x + 2x £12

13、12ï2*4+2*2=12x +x £ 8ïíï1x124+2*2=84*4=16£x £2ïïîx124*2=8<12³x219=max Zm2 ax Z 22£ì +x=3ï4£ 1ï+ x= í35ïï,x³ x 0 ³0î345c0icxPPPPPBB012352/40x420x51/3Z0020c0icBxBP0P1P2P3P50x422/40x51/3Z00c

14、0icBxBP0P1P2P3P525-5-4/30x42/56x211/21/31Z2-221故最優(yōu)解為x1=2/5,x2=1/5,目標(biāo)函數(shù)z=12522c0cBxBP0P1P2P3P5i3x123-4/56x21-13/5Z12/5-3-6/5ci0cBxBP0P1P2P3P50x42/35-5-42/56x21/31211Z2-2=maxZì1-+=xï4 ï íï+x=ï-ïï+=x7x³ 0x,.,îc-1bP2cBxBP0P1P3P6i0x445/7-121/-3/5/902x55/7

15、1-1/0-10/3-1x66/7-31-2164Z4/72-1023由于c1z10，但P1(3 2 ,1/2,3)T,所有元素都為負(fù)數(shù)，故問(wèn)題解cbi-1cBxBP0P1P2P3P60x445/7-121/-3/5/902x55/71-1/0-10/3-1x66/7-31-214Z4/72-10Z ( cjCBPj ),-1P6i0x4-3-11-1/22x5-10x2Z0進(jìn)入基的選擇若j0，則Aj進(jìn)入基陣可使目標(biāo)函數(shù)增大選擇最大的j? 當(dāng)問(wèn)題規(guī)模十分大時(shí),計(jì)算量可觀,而且有現(xiàn)象 不能保證迭代次數(shù)少?25例3 x1 + 2 x2max Zì 2 x1 + x2£ 4

16、63;ïx + xí12ï³xxî12260P1cBxBP0P2P3P4(1)0x320x411Z00c0icxPPPPPBB012341-2/510/0x3103x153Z7-3/527c0P1cBxBP0P2P3P4i0x3420x411Z00c0bicxPPPPPBB01234(3/3-2-52x23x1/31/1Z/31/328c0icBxBP0P1P2P3P40x323-2/10/33x11/551Z37-3/5c0icxPPPPPBB01234-52x210/35-2/1/3x1-11/31Z23/3-71/3X1=0,x2=4,m

17、aZ =29c0icBxBP0P1P2P3P420x2x40Z0選較小的j進(jìn)0cBxBP0P1P2P3P40211051330X1=0,x24 ma0cBxBP0P1P2P3P42x2100301-020因此并不一定要選擇較大的jBland法則 如果有多個(gè)基可以進(jìn)入,序數(shù)下標(biāo)最小的基作為進(jìn)入基. 每一次目標(biāo)函數(shù)的升高不是最快的,但是減少了計(jì)算量31的單純形法單純形法在進(jìn)行列消元時(shí)相當(dāng)于左乘以某一基矩陣B的逆所以計(jì)算B是關(guān)鍵若求得B1, 便可計(jì)算PjB1Aj，jCjZjCjCBB1Aj 因而計(jì)算j時(shí)CB B1是公共部分，可以先計(jì)算因?yàn)镃BB1Aj (CBB1) Aj CB( B1Aj )， 故在

18、原有的單純形表格中要增加一列CBB1,B1存于A中的m階矩陣的單元中APbP02éé0-0.05ù210012 02106úê0-0.05ú010ú100108162106P =êúú初等變換 B-1A=0ê41úêú04000120ë1000.205û3B-1( b A1 A2 An+m)( P0 P1 P2 Pn+m ) 1953年美國(guó)數(shù)學(xué)家G.B.克為了改進(jìn)單純形法每次迭代中 積累起來(lái)的進(jìn)位誤差，提出改進(jìn)單純形法。 其基本步驟和單

19、純形法大致相同，主要區(qū)別是在逐次迭代中 不再以消去法為基礎(chǔ)，而是由舊基陣的逆去直接計(jì)算新基陣的逆，再由此確定檢驗(yàn)數(shù)。這樣做可以減少迭代中的累積誤差，提高計(jì)算精度，同時(shí)也減少了在計(jì)算機(jī)上的量。對(duì)于線性問(wèn)題的單純形法計(jì)算步驟如下( a )計(jì)算B1，B1b( b )計(jì)算CBB , CBB1b1 , 2 , ,n+m.( c )計(jì)算jCjCBB1Aj，j若所有j0，計(jì)算結(jié)束由P0所確定的Z(X)便是所求的目標(biāo)函數(shù)最大值否則令cjzjm x cl zlcl zl0或遵循bland法.) PjB1Aj，計(jì)算相應(yīng)的，確定主元素及設(shè)為Pk，以Aj取代Ak，回a )基，33c1c2cn+mb£92&#

20、163;Z=CBP0j c j =CBB-1Ajïíï- 4 £0ïî³cj-0bicxBP0P1P2P3P6CBB-1B9/20x4090x502-1/200x6014Z434jCjCB1AjBB-1( b A1 A2 An+m )CBB-1XB CB( P0P1 P2 Pn+m )11maZx=1x6出，x3入35PjB1Ajcj-0bP1cBxBCBB-1P0P2P3P6i0x40131/30x5060-1-4x441-4Z3jCjCBB1Ajcj-0bA1A2A3A69201cj-0cBxBCBB-1P0x1x2x3

21、x6i-10x1x5101-24x13/11/3Z173601AAAcj000bicxB-1PP5x40131/30-1x5046401-43jCjCBB1Aj單純形法的進(jìn)一步討論 （一）、模型情況量：xjxjxj無(wú)約束變結(jié)唯一最優(yōu)無(wú)窮最優(yōu)1、組成= bm約束條件：解目標(biāo)函數(shù)： m無(wú)可行解2 、變量xj令 xj= -xj ，xj0xj不處理xj 無(wú)約束令x= xj xj, xj0 , xj0375單純形法的進(jìn)一步討論nx = b' -åj = m +1x (i = 1,2,L, m)a'iiijj的判別準(zhǔn)則:不同變量對(duì)應(yīng)的j =0，則存在無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解若存在38nnz

22、 = z0 + å(cj - z j )x j = z0 + ål j x j j =m+1j =m+1maxmin最優(yōu)解j 0j 0換入變量lk = max( l j > 0)jlk = min( l j < 0)j換出變量討論 mZax=ì+=ì4x£- ïï- xï-2 -³=ï5íí2ï -+ x3=x+xxï00=+miZnx67x+4= ìxï-+=xxïíï2 - =7³

23、,x5.1人工變量 § 標(biāo)準(zhǔn)化后找不到 入人工變量陣，采用人造基給方程加åa x + x= båa x £ bn+iijjiijji³ 0xn+i åaij xj - xn+iåaij xj= bi³ bi稱為剩余變量³ 0xn+i 由于所添加的剩余變量的技術(shù)系數(shù)為-1，不能初始基變量，為此引入一個(gè)人為的變 量（注意，此時(shí)約束條件已為“=”型），以便取得初始基變量，故稱為人工變量403、約束å px£=xxb加入松弛變量加入人工變量jjs條件：å pxbajjxs 再加上xa

24、å p³b先減去xjj例： minZ £1 ³3 ì-ïïí 2 -+=xxï3 ³41mZinì3+-=x-ïx+=xïíï- =³4、目標(biāo)函數(shù)：m x , min模型約束條件為 åpJ=x，b 需加入人工變 設(shè)J量 xa ，而得到一個(gè)m×m的矩陣，即基變量組合。因人工變量為虛擬變量，且存在于初始基本可行解中，需要將它們從基變量中替換出來(lái)。若基變量中不含有非零的人c- zj £，0 而還有人工工變量，表示

25、原問(wèn)題有解。若當(dāng)j變量（非零）時(shí)，則表示原問(wèn)題無(wú)可行解。42加入人工變量后，目的是找到一個(gè)向量，叫人工基。其目標(biāo)價(jià)值系數(shù)要確定，但不能影響目標(biāo)函數(shù) 的取值。一般可采用兩種方法處理：大M法和兩階段法。.大M法：即假定人工變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為M（任意大正數(shù)），如果是求極大值，需加-M；如果是求極小值，需加M。如基變量中還存在M，就不能實(shí)現(xiàn)極值。如上例：Z=+0x+x0+6M+x+M345743-c³ z0 來(lái)： Min計(jì)算過(guò)程如用最優(yōu)解jjcBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i0x4103-20100-1Mx61000-11-211x31-2010001Z-11-M00M03M

26、-1441cj-31100MMcBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i0x4111-21100011Mx63-4120-1103/2Mx71-2000011Z-3+6M1-M1-3M0M0010）Z = 2最優(yōu)解為45cBxBbP1P2P3P4P5P6P7b i-3x141001/3-2/32/3-5/31x210100-11-21x390012/3-4/34/3-7/3Z-20001/31/3M-1/3M-2/3cj-31100MMb icBxBbP1P2P3P4P5P6P70x412001-22-541x210100-11-21x31-2010001Z2-10001M-1M+13.兩階

27、段法：用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)時(shí)，只能用很大的數(shù)代替M,可能造成計(jì)算機(jī)上的錯(cuò)誤，故多采用兩階段法。第一階段：在原線性問(wèn)題中加入人工變量，構(gòu)造如下模型：L + Wmin0 nxìx11+L+ a n1+1 =axn+n1xb1ïMïMOí+L a+x=aïx m1ïîxxb+m1mnnnmm³1 L n x+46對(duì)上述模型求解（單純形法），若W=0,說(shuō)明問(wèn)題存在基本可行解，可以進(jìn)行第二個(gè)階段；否則，原問(wèn)題無(wú)可行解，停止運(yùn)算。 第二階段：在第一階段的最終表中，去掉人工變量，將目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)換成原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，作為第二階段計(jì)算的初始表（用單純形法計(jì)算）。mZin+= ìx例：-ï-+ x=x ï =íï-,3miZnxx7 + x= ìï -第一階段-+=xxïí-=ï, ³ 7 x,347cj0000011bicxBbP1P2P3P4P5P6P7B0x4111-211000111x63-4120-1103/21x71-2000011Z46-1-301000x4103-20100-11x61000-11-