第10講二元一次不等式組及簡單的線性規(guī)劃-簡單難度-講義

1、二元一次不等式組及簡單的線性規(guī)劃思考1:在平面直角坐標(biāo)系中，方程x y 6=0表示一條直線，對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,它與該直線的相對位置有哪幾種可能情形?在直線上；在直線左上方區(qū)域內(nèi);在直線右下方區(qū)域內(nèi)思考2:若點(diǎn)P (x, y)是直線左上方平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)， 那么x-y-6是大于0?還是小于0?為什么？因?yàn)?yy0 x y06=0所以 x一y一6 0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m 的取值范圍是()A. 1, +00)B. (一0, 1 C. (1, +oo)d. (一oo, 1)【分析】 根據(jù)二元一次不等式表示平面區(qū)域進(jìn)行求解即可【解答】解：若點(diǎn)(m, 1)在不等式2x+3y-50所表示的平面區(qū)域

2、內(nèi)，則滿足2m+3-50,解得m 1.故選：C2. (2017秋刈陽區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，以下各點(diǎn)位于不等式(x+2y-1)(x-y+3) 0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A. (0, 0)B. (-2, 0)C. (0, T) D. (0, 2)【分析】 分別將點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式左邊的式子，驗(yàn)證一下不等式是否成立即可【解答】解：A.當(dāng)x=0, y=0時(shí)，(x+2y-1) (x-y+3) = - 30,不滿足條件，B.當(dāng) x= -2, y=0 時(shí)，(x+2y1) (x-y+3) = ( 21) ( 2+3) =-30,不滿足條件，C.當(dāng) x=0, y=- 1 時(shí)，(x+2y 1) (x-y+3

3、) = ( - 2- 1) (1+3) =- 120,滿足條件，故選：D.3. （20187慶模擬）不等式組-2;?表示的點(diǎn)集記為A,不等式組0 0 ?0 4? ?+ 2 0? ?9A.一32表示的點(diǎn)集記為B,在A中任取一點(diǎn)P,則PCB的概率為（_7B.一32C.916_7D.一16【分析】分別畫出點(diǎn)集對應(yīng)的區(qū)域，求出面積,利用幾何概型的公式解答.【解答】解：分別畫出點(diǎn)集A, B如圖,(?+A對應(yīng)的區(qū)域面積為4X4=16,B對應(yīng)的區(qū)域面積如圖陰影部分面積為 /-12 - ?)? J ? + 2? 1 ?) I 22 / 2 3 3-I929由幾何概型公式得，在 A中任取一點(diǎn)P,則PC B的概率

4、為=一;16324. （2017秋?!充期末）不等式組（?-?+5)(?+ ?)0表小的平面區(qū)域是（A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形?+ 5 0?r- ?+ 5 0【分析】先將原不等式組化為： ?+?20或 ?+?0 0 ，再線性規(guī)劃的0 0? ?+ 5 0 0【解答】解：原不等式組化為： ?+? 0或 ?+ ?右0 0 0 ?C 30 0 ?C 3畫出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示是一個(gè)等腰梯形.?0 05. （2018?工西模：?H）若A為不等式組 ?20表示的平面區(qū)域，則a從-2連? ?0,對于A:當(dāng)x=-3, y=4時(shí)，-9+8+50,故滿足,對于B:當(dāng)x= - 3, y=-2

5、時(shí)，-9 - 4+5 0,故不滿足,對于 C: x= - 3, y=- 4, - 9- 8+50,故不滿足,對于D: x= - 3, y=-2時(shí)，0-6+5 0,故不滿足,7. （2017砌南學(xué)業(yè)考試）不等式2x+y-3W0表示的平面區(qū)域（用陰影表示）是A.【分析】作出不等式對應(yīng)直線的圖象，然后取特殊點(diǎn)代入不等式，判斷不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面區(qū)域.【解答】解：畫出不等式2x+y - 300對應(yīng)的函數(shù)2x+y3=0的圖象，取點(diǎn)（0, 0）,把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式2x+y-3&0成立，說明不等式2x+y - 300示的平面區(qū)域與點(diǎn)（0, 0）同側(cè)，所以不等式2x+y-3W0表示的

6、平面區(qū)域在直線2x+y-3=0的右下方，并含直線.故選：B.8. （2016?可南模擬）下列各點(diǎn)中，位于不等式（x+2y+1） （x-y+4） 0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是（）A. (0, 0)B. ( - 2, 0)C. (T, 0)D. (2, 3)【分析】分別將點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式，滿足不等式即可.【解答】解：A.當(dāng)x=0, y=0時(shí)，1X40不成立，B.當(dāng) x= -2, y=0 時(shí)，( 2+1) ( 2+4) = 20 成立C.當(dāng) x=-1, y=0 時(shí)，(1+1) (1+4) =00 不成立D.當(dāng) x=2, y=3 時(shí)，(2+6+1) (2-3+4) =9X 3=270 不成立,故選：B.9

7、. （2016展東模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 ?0 2|?2 2| ?我示的平面區(qū)域的面積是（A. 8v2B. 8C. 4V2D. 4【分析】轉(zhuǎn)化不等式為不等式組，畫出約束條件表示的可行域，結(jié)合圖形求解圖形的面積.?右2【解答】解：因?yàn)椴坏仁絴y-2| wx&2等價(jià)于 ? 2 ?,它的可行域?yàn)?-?0? 2?展2可行域是二角形，由 Ga、； 得父點(diǎn)A（2, 4）,?= 2,一.C的坐標(biāo)由-?= ? 2解得，為（2, 0）, B的坐標(biāo)（0, 2）,1可仃域二角形的面積為：-X 4X 2=4.2故選：D.10. （2016旗浦區(qū)一,K）已知 P為直線y=kx+b上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與原點(diǎn)均在直

8、線x-y+2=0的同側(cè)，則k, b滿足的條件分別為（）A. k=1, b2 C. 21, b2【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次不等式的關(guān)系， 結(jié)合不等式包成立進(jìn)行求解即可.【解答】解：: P為直線y=kx+b上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) P （x, kx+b）,二點(diǎn)P與原點(diǎn)均在直線x y+2=0的同側(cè),(x kx- b+2) (0 0+2) 0,即 2 (1 k) x+2b0 恒成立,即(1-k) x+2-b0恒成立，則1 -k=0,止匕時(shí)2 b0,得 k=1 且 b0的解集為x| - 3x 0的解集為B. x| x彳32D. x|x2. .11A. x| -3x2C. x| -3x

9、0的解集為一3Vx2,得至U a0,即（3x+1） （2x-1） 0,解得：-!x或x!32則不等式cx2+bx+a0的解集為x| - 1x或x1 32故選：B.12. （2018春存州期末）不等式（x-1） （x-2） 0的解集是（）A. x| x2,或 x01B. x|x2,或 x1C.x|1x2D. x| 1x0?或20?K0,解可得不等式20? ?1 0? K0或,20? 22或x2或乂1;故選：B.? 113. （2018?折江模擬）若實(shí)數(shù)x, y滿足?+ ? ?+0,則y的最大值是（1 0A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】畫出約束條件的可行域，即可判斷 y的最大值的位置，求解

10、即可.? 1 0 0【解答】解：實(shí)數(shù)x, y滿足?+? 1 0的可行域如圖:?s- ?+ 1 0可行域是三角形的區(qū)域，A的縱坐標(biāo)取得最大值,由?= 1 一一?+ 1 = 0,可行 x=1, y=2.故選:B.14. （2018春初州期中）若實(shí)數(shù)大值為（? 2?+?+ 1 01 ?- - 2 ?03?2 60,貝 z=y 2x的最A(yù). 11B.一2【分析】作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)，平移直線 y=2x結(jié)合圖象可得結(jié)論.? ?+ 100”1【解答】解：作出條件實(shí)數(shù)x, y滿足 .A2?0 2?+ 3?- 6 0,得（m+4） （m - 6） 0,得 m6 或 m017. （2018春？工陰市校級期中

11、）不等式組 ?+? 0所表示的平面區(qū)域的面 ?018. （2018油通模擬）已知實(shí)數(shù) x, y滿足?2?0 4 0【解答】解：作出實(shí)數(shù)x, y滿足?+2? 4 00對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，? ?2 1 0 0則由圖象知x0,由不等式（k1） xy+k 20恒成立得 k （x+1） 2+y+x,即 k?+?+2=1+-+1,?+1?+1?+1設(shè)2=西，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn) Q （ - 1, -1）的斜率，由圖象知BQ的斜率最大，,2?+ ?2 2 = 0 由珍 2?2 4- 0得 B（0，2）， ?+2?- 4=0此時(shí)z的最大值為z=3,即 k4,即實(shí)數(shù)k的最小值為：4.故答案為：4.?

12、 1 0 019. （2018碇鄴區(qū)校級模擬）設(shè)變量x, y滿足約束條件?+?+ 1 0,則目標(biāo) ? ?+ 3 0函數(shù)z= - 2x+y的最大值是 5 .【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù) z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由 z= - 2x+y 得 y=2x+z,平移直線y=2x+z,則由圖象可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=2x+z的截距最大，.一.?+?+ 1 = 0 , 一此時(shí)z最大，由刃- n，解得B（-2, 1）, ?F ? + 3 = 0此時(shí)z=5, 故答案為：5.? 6 0 0 ?+ 2 0 ? 0 ? 0.解答題(共

13、3小題)3?0?20. (2018春？9家庵區(qū)校級期末)設(shè)x、y潴足約束條件一(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并求該平面區(qū)域的面積;(2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a0, b0)的最大值為4,求【分析】(1)利用約束條件畫出可行域，然后求解可行域的面積即可.(2)求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，得到ab的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解最小值即可.3?0 ?- 6 0由3?真解得 C(4, 6), A (2, 0), B (0, 2) ?- ? + 2 = 0可行域的面積為：1X2X6+1X2 X4=10. 22(2)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a0, b0)的最大值為4,可知，z=ax+by經(jīng)過C時(shí),

14、3.取得最大值，可得4a+6b=4? a+2b=11 2 _?3?1 2 井37?=2+3? 2?一+4 2? 3?當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=1時(shí)取得最小值4.? 4?+ 3 021.變量 x, y 滿足3?+ 5?2 25 1(1)設(shè)z=-+2? ?求z的最大值；(2)設(shè)z=x2+y2 - 4x+2y+3,求z的取值范圍.?【分析】(1)先回出滿足條件的平面區(qū)域，求出A, B, C的坐標(biāo)，根據(jù)z=2+j?勺幾何意義，從而求出z的最小值;(2) z= (x-2) 2+ (y+1) 2-2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(2, -1)的距離的平方，結(jié)合圖形求出即可.? 4?+ 3 1?= 1由3?+ 5?

15、- 25 = 0解行,22、A(1,石),?= 1由? 4?+ 3=0，斛行 C(1,1),?2 4?+ 3=0由30 可得由3?+ 5?- 25 = 0件?+2? ?B (5, 2),(1) z=?T=2+?z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn) O連線的斜率,2 12觀祭圖形可知Zmin=2+k0B=2k=；5 5(2) z=x2+y2 - 4x+2y+3= (x-2) 2+ (y+1) 2-2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)P (2, - 1)的距離的平方,結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到P (2, -1)的距離中，PB距離最大，z=25+4-20+4+3=10Zmax=10.z=x2+y2- 4x+2y

16、+3= (x-2) 2+ (y+1) 2-2 的最小值為：(%4 )2=17.81所以z的取值范圍是：方，10.22.某廠使用A、B兩種原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn) 1噸甲產(chǎn)品需A原料2噸及B原料1噸，純利潤100萬元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需A原料1噸及B原料4噸，純利潤80萬元，現(xiàn)有A原料6噸及B原料10噸，問如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？最大利潤為多少？【分析】先設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸，乙產(chǎn)品為y噸，列出約束條件，再根據(jù) 約束條件畫出可行域，設(shè)z=100x+80y,再利用z的幾何意義求最值，只需求 出直線z=100x+80y過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，從而得到 z值即可.【解答】解：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x

17、噸，乙產(chǎn)品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤為 z=100x+80y,?20, ? 0則滿足條件的約束條件為 2?+ ? 6滿足約束條件的可行域如下圖所小:?+ 4?0 10z=100x+80y可化為y=-5xJz,平移直線y=-5xz,由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)4 804 80過P (3, 4)時(shí)z取最大值，-2?+ ?= 6 ，一一聯(lián)立?+ 4?= 10，斛行 x=2, y=2;.z 的最大值為 z=100X 2+80X2=360 (萬元).歸納總結(jié)1、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域f（f（x, y）0（1）滿足二元一次不等式（組）f （X, y） 0或 /:C的x和y的取值構(gòu)g（x, y）0成有序?qū)崝?shù)對

18、（x, y）,所有這樣的有序?qū)崝?shù)對（x, y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解因?yàn)橛行驅(qū)崝?shù)對（x， y） 可以看成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)所以，二元一次不等式（組）的解集是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合（ 2） 在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax By C 0 （AB 0） 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax By C 0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域當(dāng)點(diǎn)P（ x1， y1）在直線Ax By C 0上時(shí)，Axi By C 0 ;當(dāng)點(diǎn)P（x1，y1）不在這條直線上時(shí)，則 Ax1 By1 C 0 或 Ax1 By1 C 0 于是直線Ax By C 0 把平面分成兩部分，此直線是這兩部分平面區(qū)域的邊界

19、.若其中一部分平面的點(diǎn)用P（xi, yi）表示,則 Ax1 By1 C 保持相同的符號；若另一部分平面上的點(diǎn)用Q （x2， y2） 表示，則Ax2 By2 C 保持相同的符號且與前者符號相反所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（x0， y0） ， 由 Ax0 By0 C 的正負(fù)即可判斷Ax By C 0（ 0） 表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域特別地，當(dāng)C 0時(shí)，常有原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)畫不等式表示的平面區(qū)域是線性規(guī)劃的入門知識，也是必備知識，其要點(diǎn)是“以線定界、以點(diǎn)（原點(diǎn)）定域”，同時(shí)還要注意哪條線應(yīng)畫成實(shí)線，哪條線應(yīng)畫成虛線2、簡單的線性規(guī)劃問題(1) 一般地說，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解(x, y)叫可行解，由所有可行解組 成的集合叫做可行域.在可行域內(nèi)存在使得線性目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的可 行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.(2)線性目標(biāo)函數(shù)z ax by(b 0)的幾何意義：,是直線ax by z 0在y軸 b上的截距.(3)生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸納為線性規(guī)劃問題.在線性規(guī)劃的實(shí)際問 題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這 些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二