第三課時正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第三課時正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌 握正切函數(shù)的性質(zhì).2.能利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有 關(guān)問題.通過利用正切函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī) 律，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推 理素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知識探究新知探究情境引入學(xué)習(xí)了 >,二sin a , y = cos x的圖象與性質(zhì)后，明確了 y二sin x , y = cos a的圖象是“波浪”型,連續(xù)不斷的,且都是周期函數(shù),都有最大（小）值.問題類比y=sinx, y=cosx的圖象與性質(zhì).（l）y=tanx是周期函數(shù)嗎？有最大（?。┲祮幔浚?）正切函數(shù)的圖象是連續(xù)的嗎？提示（l» =

2、tanx是周期函數(shù)，且7二加，無最大,最小值正切函數(shù)的圖象在定義域上不是連續(xù)的.,知識梳理函數(shù)>'=tan X的圖象和性質(zhì)圖象與性質(zhì)是函數(shù)的靈魂解析式y(tǒng) = tanx正切曲線： )1 -F，1 2i2.的圖象Y Y°r定義域xkWR,且xwJ+E, kGZ值域R周期7T奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間(E1, E+耿WZ)都是增函數(shù)對稱中心修 O)(k£Z)拓展深化微判斷I1 .函數(shù)y=tanx在其定義域上是增函數(shù).(X)提示y = tan a在區(qū)間攵兀-,E +上是增函數(shù)，但在其定義域上不是增函數(shù).2 .函數(shù)y=tan 2x的周期為兀(X)提示y = tan 2%的

3、周期為，3 .正切函數(shù)y=tan x無單調(diào)遞減區(qū)間.(J)4 .函數(shù) y=2tanx, xw。，的值域是°，+°°)-( 微訓(xùn)練l.tan A-l的解集為() »(k£Z) J(k£Z) , J一兀 J9D/xIE+Wxv兀+，(kWZ),解析 Vtanxl z 由圖象知，? + kn(k e Z).故選D.答案D2 .函數(shù) y=2tan(一工)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)，乂是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析y = 2tan ( - x) = - 2tan x ,為奇函數(shù)答案A3 .與函數(shù)y=tan(2x+y的圖象不相交的一條

4、直線是()Jr ttIT Lrr解析+ 攵£Z),故選 D.4 O乙答案D微思考11 .正切曲線是中心對稱圖形嗎？若是，對稱中心是什么？是軸對稱圖形嗎？提示)，=tan a-是中心對稱圖形，對稱中心為| y ,。)伐£ Z),不是軸對稱圖形.2 .正切函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)是否正確？為什么？提示 不正確，因為正切函數(shù)不連續(xù),只能說在每個區(qū)間(履-?，履+外伙WZ) 上為增函數(shù).題型剖析課堂互動題型一正切函數(shù)的定義域、值域問題【例1】 函數(shù))=3tanW的定義域為(2)函數(shù)尸taA2km5百)的值域為.解析由今q考+ E , kGZ ,47r得 x¥ - ？ -

5、4E，&e Z ,即函數(shù)的定義域為HvW -與-4E , kWZ.(2)<w = tanx/由正切函數(shù)的圖象知 £ -/,原函數(shù)可化為y = u2 - 2u , mW -小,小,二次函數(shù)y =- 2m = （m - I）2 - 1圖象開口向上,對稱軸方程為u= 1 ,當(dāng)二 1 時，Vmin = ,當(dāng)二-小時,>'max = 3 + 24,原函數(shù)的值域為- 1 , 3+ 2峋.4兀L答案（l）dW不一4攵兀，k£Z （2）-1, 3 + 2小規(guī)律方法（1）求定義域時,要注意正切函數(shù)自身的限制條件,另外解不等式時, 要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)

6、線.處理正切函數(shù)值域時,應(yīng)注意正切函數(shù)自身值域為R，將問題轉(zhuǎn)化為某種函數(shù) 的值域求解.【訓(xùn)練11 求函數(shù)x+ 1 +lg（l tan x）的定義域.ftanx+ 1 NO ,解由題意得即-1Wtan x< 1.1 - tan x>0 ,在（4口內(nèi)，滿足上述不等式的%的取值范圍是c又產(chǎn)tanx的周期為兀，所以函數(shù)的定義域是履-E +加WZ）.題型二求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求函數(shù)y=tan（%+；）的單調(diào)區(qū)間.解 y = tanj +- tan| |v - J ,由-5+ E（k£Z）得-兀+ 4女兀人37r + 4女兀，攵£Z ,所以函數(shù)y = tanl W加

7、勺單調(diào)遞減區(qū)間是（-兀+軟兀，3兀+ 4E）（攵GZ）,無遞增區(qū)間.規(guī)律方法 尸tan（sr +夕）（由>0）的單調(diào)區(qū)間的求法是把cox + （p看成一個整體，解-三 + lai<cox +3: + kn , kGZ即可.當(dāng)co<0時，先用誘導(dǎo)公式把co化為正值再求單調(diào)區(qū)間.【訓(xùn)練2】求函數(shù)y=3tan 2x+"的單調(diào)區(qū)間.解 令 kn -+ 工<k兀 + jZ.4乙口 nk7i 3 兀 kn Ji- w<v<7 + g ， kGZ. ，函數(shù) ），=3tan（2x + ；）的單調(diào)增區(qū)間為管考,竽+飄£Z）,無遞減區(qū)間.題型三利用正切函數(shù)的

8、單調(diào)性比較大小【例3】比較大小:(1 )tan 32°18兀 (2)tan-,tan 215°；釣解析 (l)tan 215° = tan( 180° + 35。)= tan 35。，丁當(dāng) 0。<90。時，y = tanx 單調(diào)遞增，32°<35° z二tan 32°<tan 35° = tan 215°.18兀(2)tan:(28兀 tan丁= tan(47r-y) = tan(-y)f)=tanf - 3k - I'j = tan-落,Vy二tan x在-,當(dāng)上單調(diào)遞增,且-

9、y< - 1,(-引 vtan(-)即 ta/fZtanl2871答案(1)< (2)<規(guī)律方法運用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小的步驟 運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).運用單調(diào)性比較大小關(guān)系.【訓(xùn)練3 比較下列正切值的大小:(l)tan 1 320。與 tan 70°；1771 .( Tt(2)tan-與 tan(一寸解 (l)tan 1 320° = tan(360° X3 + 240°)=tan 240° = tan 600 ,因為函數(shù)y=tw在（0 ,扯為增函數(shù)，所以 tan 60°<tan

10、 70° ,即 tan 1 320°<tan 70°.17兀 （2）tan 丁 因為產(chǎn)tanx在（號，（J上為增函數(shù), 所以 tan（ - |>tan - g |.即 tan藉4an- 題型四正切函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用 【例4】設(shè)函數(shù)/U） = tan一T.（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期，對稱中心； （2）作出函數(shù)/（x）在一個周期內(nèi)的簡圖.解（1） ; c。二;，7r n最小正周期 T = = -r = 2n.CO 12令 - 1=竽伙WZ），得=E +學(xué)k£Z）, ©的對稱中心是（E +學(xué)，oj（ez）.人x 兀 n.1 2兀

11、人X 71 7U mil 7兀 （2）/一耳二。，貝）工=1_；令5-? = 1，貝憶'二不；人X 兀 11 ml 兀 人X 兀兀 EI 5兀號-y-a，則戶。令二十力則戶于 。2一3二 2，人二-3, 函數(shù)y=tan（f -獅圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)是傳,0）,在這個交點左，右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是a- -l，x- ,從而得到函數(shù)y二4工）在一個 Wr"O周期（4,期內(nèi)的簡圖（如圖）.y/y=ian傳爭xW(T 亨)規(guī)律方法 熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決正切函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵，正 切曲線是被相互平行的直線x = + E , AWZ隔開的無窮多支曲線組成,y =

12、 tan x 的對稱中心為倍,oj , kGZ.【訓(xùn)練4】 畫出/U） = tanlxl的圖象，并根據(jù)其圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、周期性、奇 偶性.解於）=tan化為兀'）二tanx 1 工"攵兀 + 專，x20 ( kGZ ) r 乙-tan x , xrk7i + 專 f x<0 ( Z £ Z ),根據(jù)y = tanx的圖象，作出於）=tanlxl的圖象，如圖所示,由圖象知，/不是周期函數(shù)，是偶函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為0 , % （E +梟E + ,乙乙乙逐步落實兀）（&£N）；單調(diào)減區(qū)間為（-。0 , （E -尹，E -5（% =。，-1,-2,

13、）.素養(yǎng)達(dá)成一、素養(yǎng)落地1 .通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).2 .正切函數(shù)尸tan x有無數(shù)多條漸近線，漸近線方程為戶E+宏k£Z,相鄰兩 條漸近線之間都有一支正切曲線，且單調(diào)遞增.3 .（1）正切函數(shù)y=tanx的定義域是卜kGZ:,值域是R（2）正切函數(shù)y=tanx的最小正周期是兀，函數(shù)y=Atan（cox+（p）（幺3工0）的周期為T 7TcoV（3）正切函數(shù)在（一方+e, 3+a）（kez）上遞增，不能寫成閉區(qū)間.正切函數(shù)無單調(diào) 減區(qū)間.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1 .函數(shù)），=2tan（2x+§的定義域為（）A.xlxW 帝B.xLtW5C.xx-+kn,

14、 kGZD.xLtW*+；E, kGZ解析 由2x + ? + H，女ez，得人學(xué)a+：攵兀，&WZ，故函數(shù)的定義域為如孚工J 41乙 乙1乙+ gk兀,kGZ.答案D),kGZ(f 71,1 兀A.(k兀2 ,I 2（t 3兀 兀）C.gr一工，依+，kGZ(t 兀 ,1 3兀、D.(k兀-a，k兀+彳) kGZar 1 7C7T 7CZc=3斛析由-5 + kn<x + <2 + E , k W Z ,得-調(diào)遞增區(qū)間是(-苧+ a, W+履)，z.37r彳 + AttVx<w + kn ,k£Zz故/的單B.（E,攵兀+兀），kGZ答案C4 .比較大小：

15、tan；tan|.解析 因為 tan1>0 , tan5<0 ,所以 tany>tan|.答案>5 .若tan|；2x*Wl,則x的取值范圍是解析 由題意可得g + kn<lx -仁W +履，Z ,解之得-3+權(quán)兀4<笄+, kGZ.兀 1/ + 兀-4 .5-2 1 2 K 6 案 答6 .求函數(shù)），=1,。2%的定義域、值域和周期，并作出它在區(qū)間兀，兀內(nèi)的圖象.解由+ k兀，女WZ ,得工工亨+兀，攵WZ , 4 * 4即函數(shù)的定義域為gw%/ , kGZ,鞏或提高值域為（-8 , + 8）,周期為丁吾,對應(yīng)圖象如圖所示:課后作業(yè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.已

16、知 x£0, 2 兀,y=qtan x+7cos x的定義域為（）A.o, 3B，兀C.兀,當(dāng)）D（寺，2兀tan xO z解析 由題意知 - COSGO,、x£ 0 , 2k,函數(shù)的定義域為兀音），故選C答案C2.關(guān)于函數(shù)y=tan（2A-j）,下列說法正確的是（）A.是奇函數(shù)B.在區(qū)間（0,肌單調(diào)遞減嘿，0）為其圖象的一個對稱中心D.最小正周期為兀解析 利用排除法和代入法 4 ,故D錯誤，當(dāng)x 4時，），=tan（f -野二tan 0 =0 ,故選C答案C3.已知於尸tan（2x+W，則使段）力小成立的x的集合是（）AJ支兀'kGZB.711兀）§十5

17、攵兀,五十5%兀），kGZC.三十E,，kGZ_N4o/71 .7TD. x十E, g+女兀，kGZ解析 因為 f(x) = tan(2x + ：),所以於）25化為tan（2x 十步小,即1+ k兀W2x + ;+ 攵兀，k£Z ；解得志+ /兀+聲，2 £ Z ,故使於）與于成立的X的集合是711 t 兀 1 ,五+ 女兀， + /兀1，kGZ.答案A4 .函數(shù)尸2tan（ 3x+g的最小正周期是（）71A67TC,2D.兀解析71 兀答案5 .函數(shù)尸tanx+sinxItanx-sinxl在區(qū)間（去 篇內(nèi)的圖象是（）x , y = 2tan x<0 ；當(dāng) x =

18、 tt 日寸，y = 0；當(dāng)兀工<日寸 f tan x>sin x f y = 2sin xvO .故選 D.答案D二、填空題6.比較大?。簍an(一第5兀 tarry , tan得471 tan亍，又產(chǎn)tan x在/兀)上是增函數(shù), 所以 tan竿vtan手，即 tan(- |<tan 答案V7 .已知點M( 3, 1),若函數(shù))=tan%(x£( 2, 2)的圖象與直線y=l交于點4, 則 MA=.解析 令尸tan5=1 ,解得x=1 +4k , k£Z ,又xW(-2,2),所以x=l ,所以函數(shù),y=tanjx與直線y = 1的交點為41,1),又

19、 M(-3, - 1),所以MA =吊(1+3產(chǎn)+ (1 + 1，= 24.答案2小8 .已知函數(shù)/(x) = tan(x+如(l9l<?的圖象的一個對稱中心為6，。)，則夕的值為解析 由于修,。)是函數(shù)於)圖象的對稱中心，所以W + 9 = %，依Z ,所以限%-1 f /：ez f 由于刷,故取 k = o f ,(p= - 5 1 g-答案款V三、解答題9 .畫出函數(shù)尸Itanxl的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性.解 由y = Itan xl得，tan x x兀 +，( k £ Z ),y=兀-tan x , - 5 + knx<kn ( k

20、63; Z )其圖象如圖：由圖象可知，函數(shù)y = kan川是偶函數(shù).函數(shù)y = ltanxl的周期丁 二兀,函數(shù)y = Itan xl的單調(diào)遞增區(qū)間依,E +5)("G工)，單調(diào)遞減區(qū)間為,兀-I,空)伙WZ).10 .已知函數(shù)於AasiiG+g), g(x) = tan|乙一a>0),它們的周期之和為期，且 招=g(5 局=一小*e)+1，求這兩個函數(shù)的解析式并求g(x)的單調(diào)遞增 區(qū)間.解根據(jù)題意，可得k = 2,解得a=X 1故於)二sin(2x +5, 1 .b = K ,g(x)= gtan(2x 一胃.令 E - ?<2x - ?<hr + 百，Z &#

21、163; Z z 乙J乙,曰 kn 7C E 5tu ,一吃-五0.+五，*£Z，所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（竽-Y5，與+.）收.能力提升11 .下列關(guān)于函數(shù)），=tan（x+»的說法正確的是（）A.在區(qū)間（一去引上單調(diào)遞增B.最小正周期是兀C.圖象關(guān)于點（；，0）成中心對稱D.圖象關(guān)于直線x=專成軸對稱兀 5兀7 6".,- 人兀 兀兀AE/Q5兀， TC解析 令 E - 5<（ + §<k兀+ 5，kGZ，解得依-<x<kn + ,kGZ 1 不滿足上述關(guān)系式，故A錯誤；易知該函數(shù)的最小正周期為兀，故B正確；令x + ?

22、= T , kGZ ,解得x = 4 - , kGZ，任取攵值不能得至ljx = ?,故c錯誤；正 切函數(shù)曲線沒有對稱軸，因此函數(shù)產(chǎn)tanQ + 知的圖象也沒有對稱軸，故D錯誤.故選B.答案B12.已知函數(shù)/U) = 3tan一W.(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)試比較/與乂引的大小.H(x 兀= _ 3tan - 6工函數(shù)於)的最小正周期為7二 4兀.人 71 X 7171令E-57-7471 + 5, kGZ ,4 兀4 ,8 兀,一得4E -7<xv4兀 + 不，kWZ ,函數(shù) y = 3tan，左工函數(shù)於)=-3tanl(J -施單調(diào)減區(qū)間為4兀8兀4%兀-y , 4E + -y |,kGZ.（2）/（兀）=3tanl兀-3km丘，/3 兀 1（71 3 兀（5 琦AT> = 3ta<6 - T） = 3ta"-說| 二八兀 5兀兀 0*/0<12<24<2，且 > =】a. 兀5兀，tan丘臣11同，5兀-3tan藥 c 兀C 5兀 - 3tan-p> - 3tan同，3兀1創(chuàng)新猜想13.(多選題)已知函數(shù)於) = ta