概率論與數理統(tǒng)計期末考試試題及解答

1、概率論與數理統(tǒng)計期末試題、填空題（每小題 3分，共15分）1 .設事件A,B僅發(fā)生一個的概率為 0.3,且P(A) P(B) 0.5,則A, B至少有一個不發(fā) 生的概率為.答案：0.9解：P(AB AB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 0.9.2 .設隨機變量X服從泊松分布，且 P(X 1) 4P(X 2),則P(X 3) 答案：11-e 6解答：2P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e2由 P(X 1) 4P(X 2)知 e

2、 e 2 2e一 一 2,一，即 21 0 解得 1,故11P(X 3) -e63.設隨機變量X在區(qū)間（0,2）上服從均勻分布,則隨機變量Y X2在區(qū)間（0,4）內的概率,.密度為fY（y） 答案：fY(y)Fy(y) ： fX(, y)2,y_1_4, y，4,0 ,其它.解答：設Y的分布函數為 FY(y), X的分布函數為Fx(x),密度為fX(x)則FY(y) P(Y y) P(X2 _y) P( .y x .y) Fx(.y) Fx( y) 因為 X -U (0, 2),所以 FX ( Jy) 0 ,即 FY (y) FX (7y)fY(y)(y)21fx (6)爾, 0 y 4,0

3、,其它.所以另解 在（0,2）上函數y x2嚴格單調，反函數為h(y) , yfY(y)4,0 ,其它.4.設隨機變量 X,Y相互獨立，且均服從參數為的指數分布,P(X 1)答案:, Pmin(X,Y)2, Pmin( X,Y)1 =1 1e-4解答:P(X 1)Pmin(1 P(XX,Y) 11)1e 2,故5.設總體X的概率密度為f(x) I0,Pmin( X,Y)P(X 1)P(Y4 e .11)Xi,X2,Xn是來自X的樣本，則未知參數答案:解答：似然函數為L(X1 ,L ,Xn；)解似然方程得的極大似然估計為1)x , 0 x 1,其它的極大似然估計量為1nln x11)xi(ln

4、Ln ln(1)n(xL,xn )1)In xi1.d ln Ldln xi 101.In xi.、單項選擇題(每小題 3分，共15分)1 .設A, B,C為三個事件，且 A, B相互獨立，則以下結論中不正確的是(A)若P(C) 1,則AC與BC也獨立.(B)若P(C) 1,則AUC與B也獨立.(C)若P(C) 0,則AUC與B也獨立.(D)若C B,則A與C也獨立.答案：(D).A), (B), (C)解答：因為概率為1的事件和概率為 0的事件與任何事件獨立，所以(都是正確的，只能選(D)可見A與C不獨立.2 .設隨機變量X N(0,1), X的分布函數為 (x),則P(|X | 2)的值為

5、 (A) 21(2).(B) 2 (2) 1.(0 2.(D) 1 2 .(答案：(A)2)解答：X N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(|X| 2) 1 P( 2 X 1(2)( 2) 1 2 (2) 1 21(2)應選(A)3 .設隨機變量 X和Y不相關，則下列結論中正確的是(A) X 與 Y 獨立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY .(D) D(XY) DXDY .答案：（B）解答：由不相關的等價條件知，xy 0 cov （x, y） 0D（X Y） DX DY+2cov （x, y）應選（B）.4 .設離散型隨機變量 X和Y的聯(lián)合概率分布

6、為(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)若X,Y獨立，則9的值為18(A)(C)2,916(A)(D)1,951818答案:(A)故應選P(X2, Y2)P(X 2)P(Y 2)(3(A).5.設總體X的數學期望為 ，Xi,X2,L ,Xn為來自X的樣本，則下列結論中正確的是（A） Xi是的無偏估計量.（B） Xi是的極大似然估計量.（C） Xi是 的相合（一致）估計量.（D） Xi不是 的估計量.（）答案：（A）解答：EXi，所以Xi是 的無偏估計，應選（A）.三、（7分）已知一批產品中 90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.0

7、5 , 一個次品被誤認為是合格品的概率為0.02 ,求(1) 一個產品經檢查后被認為是合格品的概率；(2) 一個經檢查后被認為是合格品的產品確是合格品的概率解：設A '任取一產品，經檢驗認為是合格品B'任取一產品確是合格品則(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)0.9 0.95P(A)0.8570.9977 .四、(12分)從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是 2/5.設X為途中遇到紅燈的次數，求X的分布列、分布函數、數學

8、期望和方差.解：X的概率分布為P(Xk)3 kk0,1,2,3X0123即P2754368125125125125X的分布函數為F(x)027125811251171251x 0, 0x1,1 x 2,2x3, x 3.五、EXDX1825(10分)設二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D (x,y)|x 0, y0, x y 1上服從X Y的分布函數與概率均勻分布.求(1) (X,Y)關于X的邊緣概率密度；(2) Z密度.六、(1) (X,Y)的概率密度為解:1yfx(X)f(x,y) 2,空0,其它.f (x, y)dy(2)其中2x, 0 x 1,其它利用公式fZ(z)f (x, z x) 2,

9、 0,其它Z的分布函數為zfz (z)fz(y)dy或利用分布函數法Fz(z) P(Z z) P(Xf(x, zx)dx1,02,0,1,x z 1.其它.fz(z)fz(z)zdx02xz2z故Z的概率密度為fz(z)0,z0 2ydy,1,z)2z, 0 z0,其它.1,D10, z 1, 1.0,2dxdy,1,1.0,1.1,fz(z)Fz (z)2z,0 ,1,其它.(10分)向一目標射擊，目標中心為坐標原點,已知命中點的橫坐標一 一一 2 一, _-互獨立，且均服從N(0,2 )分布.求(1)命中環(huán)形區(qū)域 D (x, y)|1X和縱坐標Y相22.x y 2的,.概率；（2）命中點到

10、目標中心距離 Z Jx2 Y2的數學期望d 22e1(1) PX,Y) Df (x, y) dxdy1e42y8 dxdy22 Le 8 rdrd1r2Td(218)r2e 81e*(2) EZ E(病Y2)2y8 dxdyrer28 rdrdr28 r2dr.2 rree 8 dr2七、（11分）設某機器生廠的零件長度（單位：cm） X N（,）,今抽取容量為16的樣2本，測得樣本均值 x 10,樣本萬差s 0.16. （1）求的置信度為0.95的置信區(qū)2同；（2）檢驗假設H0 : 20.1 （顯著性水平為0.05）.（附注）t0.05（16） 1.746, t0.05（15） 1.753, t0.025（15） 2.132,0.05(16) 26.296,2.05(15) 24.996,0.025(15) 27.488.解：（1）的置信度為1下的置信區(qū)間為(Xt /2(n1)s, n ,X 10,