劉徽的無限思想及其解釋

1、.劉徽的無限思想及其解釋 佚名：該文包括兩方面的內(nèi)容。一是從無限分割過程、不可分量可積性、有限過程等幾個(gè)方面重新考察了劉徽的無限思想，力圖澄清此課題的研究中存在的假設(shè)干誤解。二是從中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，劉徽的思想淵源特別是他受墨家、道家和玄學(xué)思想的影響等方面對(duì)劉徽利用無限思想處理問題的方式進(jìn)展解釋。在中國古代數(shù)學(xué)史上，劉徽的無限思想占有非常重要的地位。近年來關(guān)于劉徽無限思想的本身已有很多研究，對(duì)其思想淵源亦有一些闡述，但仍有一些問題有待于進(jìn)一步的討論。本文擬在前人工作的根底上，重新考察劉徽的無限思想，并通過分析他所受的哲學(xué)思想的影響，來解釋劉徽利用無限思想來處理問題的方式。劉徽注中的無限過程劉徽直

2、接用到無限過程的只有陽馬術(shù)注和割圓術(shù)1。1.1陽馬術(shù)注中的無限過程劉徽在證明從一般情形下的一個(gè)塹堵斜割長方體后所得的直三棱柱中分割出來的陽馬一棱垂直于底的四棱錐和鱉臑各面為直角三角形的四面體，其體積之比為2比1的定理吳文俊稱之為劉徽原理時(shí)，采取這樣的步驟：首先，把塹堵的三度分割成兩半，成為一些小的陽馬、塹堵和鱉臑，然后重新組合，便得到在原塹堵的四分之三中陽馬和鱉臑所占體積之比為2比1，那就只要考慮余下的四分之一部分中情況了，由于這四分之一部分又是二個(gè)與原塹堵構(gòu)造完全一樣的塹堵，于是劉徽又可以進(jìn)展同樣的分割，然后重新組合這些更小的形體，這樣他又證明了在這四分之一部分的四分之三中，陽馬和鱉臑的體積

3、之比為2比1，這個(gè)過程可以不斷地進(jìn)展下去，他說“半之彌少，其余彌細(xì)，至細(xì)曰微，微那么無形，由是言之，安取余哉？3無限進(jìn)展分割的結(jié)果最后得到一個(gè)“至細(xì)“無形的東西，它劉徽認(rèn)為可以舍棄不要了!瓦格納認(rèn)為劉徽實(shí)際上使用了極限方法，但在觀念上還遇到很大困難4。不知是不是瓦氏誤解了反問句的意思，其實(shí)這反問是正面的肯定。我們認(rèn)為在劉徽的觀念里把分割到最后得到的“至細(xì)“無形的東西棄而不取不存在什么困難。這不僅因?yàn)閯⒒赵谌魏蔚胤蕉紱]有表現(xiàn)出他對(duì)自己的處理有什么疑慮，而且這還可以從他的思想淵源上得到解釋。首先，劉徽受墨家的思想影響很深5。墨家“非半弗著斤的命題，認(rèn)為分割的不斷進(jìn)展最后得到一個(gè)“端，而“端是沒有大

4、小、量度為零、但又不是什么都沒有的東西。由于劉徽要考慮的是分割到最后所得到的東西的體積，所以，從他受墨家思想的影響看，劉徽把那個(gè)最后得到的東西的棄而不取實(shí)際只是不取其體積，不存在什么觀念上的困難。其次，從道家思想傳統(tǒng)看，也不存在劉徽對(duì)自己的處理產(chǎn)生疑心的思想背景。劉徽這里用的“微和“無形兩個(gè)概念，在劉徽之前已有親密的關(guān)系。?荀子·賦?說“知“精微而無形6，瓦氏本人也注意到今傳本河上公?老子注?有“無形曰微之語7。郭書春指出8劉徽此語脫胎于?莊子·秋水?“河伯曰：世之議者皆曰,至精無形。北海假設(shè)曰,夫精，小之微也；夫精粗，期于有形者也；無形者,數(shù)之所不能分也；不可圍者,數(shù)所不

5、能窮也9一段。這里，不僅“微和“無形通過概念“精聯(lián)絡(luò)起來，而且充分表達(dá)了道家強(qiáng)調(diào)精微細(xì)小到極點(diǎn)就“無形，“無形就沒有詳細(xì)事物的規(guī)定性的思想。?莊子?說“無形者，數(shù)所不能分也，認(rèn)為“無形便不能用數(shù)量來表示它的大小，從小這一方面來說，就是小到?jīng)]有大小、沒有體積可言。既然如此，劉徽把分割至最后得到的“至細(xì)“無形的東西的體積視為零，也就順理成章了。處在王弼等玄學(xué)家提倡“貴無的時(shí)代，萬物始于“無而復(fù)歸于“無的思想在當(dāng)時(shí)影響甚劇，劉徽對(duì)自己這種處理問題的方式，是不存在疑心其是否合理的思想背景的。1.2割圓術(shù)中的無限過程劉徽用割圓術(shù)證明“半周半徑相乘得積步的圓面積公式時(shí)，從內(nèi)接正六邊形“六觚開場割圓，依次得

6、到內(nèi)接正十二邊形“十二觚、正二十四邊形“二十四觚、，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以致于不可割，那么與圓周合體而無所失矣10，認(rèn)為割圓到最后得到一個(gè)和圓重合的正無窮多邊形。他把這個(gè)和圓重合的多邊形“觚之細(xì)者分割成無限多個(gè)小三角形有人認(rèn)為劉徽是把多邊形分割成箏形，這似是而非。誠然，在求正6邊形面積時(shí)，劉徽分割成3個(gè)箏形來處理，求正12邊形面積時(shí)他也是分割成6個(gè)箏形來處理，等等；但是劉徽說“以一面乘半徑，觚而裁之，這個(gè)“觚是不可再割的極限狀態(tài)下與圓重合的觚，“一面乃是此觚之一邊，它乘半徑，當(dāng)然不會(huì)是另一個(gè)由兩個(gè)更小的三角形組成的箏形的面積，否那么此觚就還可再割了。而從行文來看，也是按此觚之一邊來

7、“裁的，此一邊已是分割到最后所得的一邊。至于6邊形分成3個(gè)箏形來處理之類，實(shí)為詳細(xì)計(jì)算之方便，由于每個(gè)三角形的面積的是其底邊與圓半徑乘積的一半，于是，劉徽就可以合并求和而得到這個(gè)正無窮多邊形的面積公式，從而也就得到了圓的面積公式。利用邊數(shù)增加的圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，當(dāng)邊數(shù)增加到無窮多時(shí)，這個(gè)正無窮多邊形就和圓重合，這種處理并非始于劉徽。公元前5世紀(jì)的安提豐Antiphon討論化圓為方問題時(shí)，先作一個(gè)內(nèi)接多邊形，例如一個(gè)正方形，然后作每一邊的中垂線各交圓于一點(diǎn)，把每一點(diǎn)和與之相鄰的正方形的頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，于是得到一個(gè)正八邊形,按照這樣的方式不斷進(jìn)展下去，最后他得到一個(gè)多邊形，其邊和圓弧重合，圓便為

8、它所窮盡了11。梁宗巨12、王青建13認(rèn)為劉徽把邊數(shù)不斷增加的正多邊形看成和圓越來越接近,以致最后與圓重合的思想,和安提豐的思想相一致。值得注意的是安提豐的方法在古希臘被認(rèn)為邏輯不縝密而遭到了鞭撻，亞里士多德甚至認(rèn)為安提豐的作法不值一駁14,攸多克索Eudoxus，公元前4世紀(jì)改造安氏的方法，防止了無限概念的直接使用，符合希臘人對(duì)邏輯嚴(yán)密性的要求，其方法一直為古代西方數(shù)學(xué)所采用，并對(duì)近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響；但是劉徽對(duì)他的方法那么沒有表現(xiàn)出什么不滿意，從現(xiàn)有材料看，甚至整個(gè)中國古代都沒有人疑心過劉徽割圓術(shù)的合理性。劉徽的態(tài)度可以從以下方面得到解釋。首先，劉徽的這種處理是比較符合直觀的。從6邊形

9、到12邊形、到24邊形、，在這樣越來越接近圓面積的趨勢中，圓以多邊形代替,所失的面積會(huì)越來越少，這樣他就很自然的會(huì)覺得多邊形和圓會(huì)越來越接近重合。我們知道，講求直觀是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。郭書春認(rèn)為劉徽割圓術(shù)受司馬遷“漢興，破觚而為圓之說的影響，而其實(shí)物原型乃是工匠把帶有棱角的原材料加工成圓形15。劉徽從工匠的實(shí)際工作的中受到啟發(fā)，獲得其方法，是與中國古代數(shù)學(xué)講務(wù)實(shí)際的特點(diǎn)相吻合的，而在這樣的傳統(tǒng)下，由于它來源于實(shí)際，所以更不容易被疑心。劉徽對(duì)符合直觀的方法比較信賴，還從他的其它注中能得到映證。?九章?“勾股章葛纏木問:“今有木長二丈,圍之三尺。葛生其下，纏木七周，上與木齊。問葛長幾何?16劉徽

10、用筆管纏青線模擬葛纏木，然后解開來看,覺察每周之間都相間成勾股弦筆管的周長和線兩圈之間的間隔 分別為股和勾，線一周的長為弦，由此他解釋了?九章?以木長為股，木圍的七倍為勾劉徽說在這里?九章?的術(shù)把勾和股顛倒了，然后求弦便得到葛的長度的術(shù)的合理性。假如說葛纏木問還真可以把曲的拉直的話,那么要把曲池拉直就只能憑想象了。劉徽注曲池上下底面都是環(huán)田的立體體積公式時(shí)說要把它“引而伸之，實(shí)際會(huì)得到一個(gè)楔形體，曲池的底面的內(nèi)外周長所謂“中外周便變?yōu)樾ㄐ误w的底面的長，而廣、高或深不變，于是他把曲面體化成了平面多面體了。但是，在他的思想中如何“引而伸之，那么語焉不詳。這樣化曲為直，應(yīng)該說其理論的根據(jù)是缺乏的。劉

11、徽沒有對(duì)這樣的作法表示疑心，也說明他對(duì)那種從直觀中獲得的知識(shí)的信任，進(jìn)而也更說明他對(duì)自己大膽利用無限思想來處理問題是放心的當(dāng)然,要用無限分割的方法，解決這兩個(gè)問題是很困難的。其次，從墨家傳統(tǒng)看，劉徽的處理也比較好理解。?墨經(jīng)?中“無窮不害兼，說在盈否的命題，按郭書春的解釋，具有這樣的意思：一個(gè)含有無窮多個(gè)部分的整體，只要一個(gè)部分都不缺，就不會(huì)影響這個(gè)整體17，雖然我們不能肯定這個(gè)解釋是否一定符合?墨經(jīng)?作者的原意，但后世學(xué)者從這樣一個(gè)表述籠統(tǒng)的命題中獲得某種思想是可能的，何況這個(gè)解釋與?墨經(jīng)?其它地方所表現(xiàn)的無限思想也不相矛盾。按照這個(gè)解釋，在圓不可割狀態(tài)下與之重合的無窮多邊形，被分解為無窮多

12、個(gè)三角形求和，是完全沒有問題的；這無窮多個(gè)三角形只要一個(gè)不落就對(duì)無窮多邊形、因此也就對(duì)圓的面積不會(huì)有影響。此外，割圓術(shù)割圓到最后到達(dá)不可再割的極限狀態(tài)，從道論傳統(tǒng)看，到達(dá)無限的狀態(tài)是不可言論、沒法追究的，因此劉徽對(duì)割圓術(shù)滿足于直觀也就足夠了。劉徽大膽地直接用無限過程來處理數(shù)學(xué)問題，而沒有什么顧慮，這與古希臘學(xué)者大不一樣。這一方面是由于劉徽時(shí)期及其以前不存在疑心無限觀念的傳統(tǒng)，另一方面這也與中國古代數(shù)學(xué)注重實(shí)際，講求直觀的傳統(tǒng)相一致。劉徽在無限過程的運(yùn)用上，其思想和墨、道兩家是一脈相承的。劉徽的不可分量的思想除無限分割外，劉徽還利用不可分量可積的思想處理問題。在他的觀念里，線可以看成是由一系列點(diǎn)

13、組成的，面可以看成是由一系列線組成的，體可以看成是由一系列面組成的18。他在注圭田等腰三角形術(shù)時(shí)說的“中平之?dāng)?shù)，就是組成圭田的平行于底廣的一系列線段的平均值；在注環(huán)田圓環(huán)或夾在二半徑間的圓環(huán)部分術(shù)時(shí)說的“中平之周也是組成環(huán)田的一系列同心圓弧的平均值；而在注城、垣、溝、塹、渠都是底為等腰梯形的直棱柱的體積公式時(shí)所說的“中平之廣那么是組成底面梯形的一系列平行于梯形底邊的線段的平均值。劉徽把立體看成是由一系列面積組成的，這實(shí)際是他根據(jù)比較兩個(gè)立體任意等高處的截面積來確立它們的體積是否相等的思想根底。祖暅之在劉徽工作的根底上研究球體積問題，他說“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，那么積不容異19。他一方面說“

14、疊棊成立積，另一方面又說“冪面積勢怎么怎么，認(rèn)為要根據(jù)截面積“冪來確定立體體積的情況。雖然“棊和“冪詳細(xì)是怎樣的關(guān)系，尚難說定；不過，由于“棊也正如郭世榮認(rèn)為的存在于觀念之中20，所以并不阻礙我們認(rèn)為祖暅之把立體看成是由面積疊合而成的。祖氏的話透露出面積為體的思想思想來源于對(duì)實(shí)際中把有一定厚度的薄的東西一層層地疊合成厚的東西的工作的抽象，同時(shí)也反映了劉徽疊面成體的思想來源。這樣一來就出現(xiàn)了這樣的問題：組成面積的線段是不是有一定數(shù)量的寬度，組成體積的面是不是有一定數(shù)量的厚度呢?劉徽對(duì)此沒有明說，考慮到他的割圓術(shù)和陽馬術(shù)注中表現(xiàn)出的無限分割思想，我們認(rèn)為這些線段或截面是被當(dāng)做沒有詳細(xì)數(shù)量的寬度或厚

15、度的來對(duì)待的。否那么由這些具有一定數(shù)量的寬度或厚度的線段或面積，是不能構(gòu)成真正理想的三角形或圓錐這一類圖形的。這樣一來那么又出現(xiàn)了這樣的問題：我們?nèi)缃穸颊f零加零還是零，劉徽能毫不遲疑地認(rèn)為這樣一些線段或面積可以積為面或體嗎？我們認(rèn)為，這在劉徽那里，并不會(huì)存在什么困難。前面已經(jīng)說過這種觀念來源于對(duì)實(shí)際經(jīng)歷的抽象，這是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。從墨家和劉徽自己處理圓及陽馬術(shù)問題的觀念看，無限分割最后會(huì)得到一種沒有詳細(xì)數(shù)量的量度的東西，它是原來圖形的組成部分,這當(dāng)然有助于形成和承受點(diǎn)積為線、線積為面、面積為體的思想。而墨家“儇秪的命題，認(rèn)為環(huán)在地上滾動(dòng)與地都接觸，把環(huán)上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，這也是很容

16、易促成承受線由點(diǎn)組成的思想的。再者，從道論和魏時(shí)王弼“貴無的哲學(xué)角度看，這種思想也是容易承受的。道論認(rèn)為“有能從“無中生出來，又會(huì)復(fù)歸于“無，道“無這樣無限小的東西和有限的東西具有一定的可比性，有限和無限是能溝通起來的。在這種情況下，點(diǎn)積為線、線積為面與面積為體是可以理解的。劉徽的這種觀念還能由司馬彪的思想得到映證。?莊子·天下?記載惠施有“無厚不可積也，其大千里的命題。錢寶琮的解釋為“積累線段不能成面，積累面不能成體21。這是一種不可分量不可積的觀念。司馬彪給這個(gè)命題作注時(shí)說“物言形為有，形之外為無，無形與有相為表里。故形物之厚，盡于無厚，無厚與有同一體也。其有厚大者，其無厚亦大。

17、高因廣立，有因無積22。說“有厚和“無厚的關(guān)系如同表里，他似乎是從物體“形物也就是“有厚的邊界來考慮“無厚的，這樣就形象地把“有厚和“無厚聯(lián)結(jié)起來，進(jìn)而他認(rèn)為“無可以積為“有。司馬彪卒于晉惠帝末年，時(shí)年六十有余23，可見他生于245年前后，和劉徽大致同時(shí)而稍晚。這反映出當(dāng)時(shí)認(rèn)為“無厚的東西可以積為“有厚之物的思想，不僅比較符合直觀，而且是在當(dāng)時(shí)“貴無的玄學(xué)思想氣氛之下比較容易形成和承受的一種觀念。從有限過程看劉徽的無限思想3.1劉徽的求微數(shù)法?九章算術(shù)?“少廣章的開平方術(shù)有“假設(shè)開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之24的話，開立方術(shù)也有類似的話。劉徽作注也相應(yīng)發(fā)表了一些看法。對(duì)此，有人認(rèn)為中算家懂

18、得存在開方不盡的新數(shù)，這種數(shù)稱為“面，相當(dāng)于定義了一個(gè)無理數(shù)。這種觀點(diǎn)證據(jù)是缺乏的，但推翻了傳統(tǒng)認(rèn)為的“以面命之是“以定法加借算或“不加借算的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。李國偉論證了“面的使用并沒有硬性規(guī)定限制在不可開的情形，開盡與開不盡的區(qū)別，除了反映有些是平方數(shù)、有些不是平方數(shù)外，似乎還沒有引導(dǎo)出對(duì)更深層次差異的認(rèn)識(shí)25。確實(shí)，“面只是利用對(duì)開方的幾何解釋定義的一個(gè)方根，這從劉徽給開平方作注時(shí)說的：“求方冪之一面也26，和給開立方術(shù)作注時(shí)說的：“立方適等，求其一面也27，可以明白地看出來。而劉徽針對(duì)“開之不盡的情況所說的“令不加借算而命分，那么常微少；其加借算而命分，那么又微多。其數(shù)不可得而定。故惟以面命之

19、，為不失耳28，也只是說明劉徽認(rèn)識(shí)到“加不加借算命分都得到的不是準(zhǔn)確值，只有就用被開方數(shù)的方根表示才是準(zhǔn)確的，至于是不是一定不存在其他任何準(zhǔn)確的表示，那么語焉不詳反正他沒有找到。假如說?九章?只是認(rèn)識(shí)到開方存在著不同的情況的話，劉徽和他的前人那么對(duì)這些情況進(jìn)展了討論。前人提出“以借算加定法而命分的方法,劉徽認(rèn)為“雖粗相近,不可用也29，他又考慮到“不加借算而命分和“加借算而命分都不準(zhǔn)確，總是比準(zhǔn)確值要么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)，“其數(shù)不可得而定，這說明劉徽比前人更深一層地認(rèn)識(shí)到要準(zhǔn)確表示“不可開數(shù)的方根的困難。接著他提出一種更為準(zhǔn)確的表示方根近似值的方法，即求微數(shù)法:“不以面命之，加定法如前，求其微

20、數(shù)。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其二退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)，那么朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，缺乏言之30。這里有兩點(diǎn)值得注意，一是劉徽求微數(shù)法是“不以面命之的一個(gè)方法，劉徽既以為“惟以面命之，為不失耳，那么他自己當(dāng)不以求微數(shù)法為完全準(zhǔn)確的方法。其次，他認(rèn)為求微數(shù)一直求下去被棄的數(shù)就會(huì)越來越小，求出來的方根就會(huì)越來越接近真實(shí)值。但是他并沒有無限進(jìn)展下去，而是在還余下一個(gè)“缺乏言之的數(shù)時(shí)就停了下來，所以有人說求微數(shù)法是用十進(jìn)分?jǐn)?shù)無限逼近方根，這是不對(duì)的。劉徽既棄掉一個(gè)“缺乏言之的數(shù)，又認(rèn)為求微數(shù)法不是完全準(zhǔn)確的方法，當(dāng)然求微數(shù)法就不可能是無限逼近方根的。也就是說劉徽的求微數(shù)法雖然可以無限地進(jìn)

21、展下去，但他只進(jìn)展到能到達(dá)所需精度的有限步就停了下來?？梢?，劉徽雖然對(duì)開方不盡的問題理解比前人深化，但中國古代數(shù)學(xué)太注重于實(shí)際的傳統(tǒng)確實(shí)是限制了對(duì)理論問題作更深層次的討論，因此也阻礙了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)然，能否發(fā)現(xiàn)無理數(shù)還與劉徽“一者數(shù)之母的觀念有親密關(guān)系。郭書春認(rèn)為劉徽“一者數(shù)之母的觀念“使他可以毫無顧忌地求任何數(shù)的準(zhǔn)確值或準(zhǔn)確近似值,甚至開方不盡時(shí),求十進(jìn)分?jǐn)?shù)，這樣就關(guān)上了“徹底認(rèn)識(shí)無理數(shù)的大門31。李國偉那么認(rèn)為“通過徹底追尋公度的單位，才會(huì)體認(rèn)出不可公度的矛盾,“假如劉徽真正能徹底堅(jiān)持一者數(shù)之母的主張,也許就能明確的界定出不可公度量的特性32。應(yīng)該指出，這兩種觀點(diǎn)并沒有本質(zhì)性的對(duì)立，只是

22、考慮問題的角度不同而已。讓我們來考察一下劉徽的思維取向吧?！耙徽邤?shù)之母的主張，不是從來就有的。中國古代廣泛存在著“一以統(tǒng)眾的思想，如?管子·輕重?提出“天下之?dāng)?shù)，盡于輕重33，把古代統(tǒng)治者所推行的政治和經(jīng)濟(jì)措施，全用“輕重“輕重原指錢幣的輕重，此書“輕重已廣泛用于表示各種數(shù)量關(guān)系34二字統(tǒng)御起來；而道論更是把一切都置于道的統(tǒng)領(lǐng)之下，至王弼他一方面說“演天地之?dāng)?shù)，所賴者五十。其用四十有九，其一不用也；不用而用以通之，非數(shù)而數(shù)以之成，即易之太極也35，認(rèn)為“一是統(tǒng)一包括數(shù)在內(nèi)的一切的“太極而“一本身不是數(shù)；一方面又說“一，數(shù)之始而物之極也，“一，少之極也36，雖然這里已隱約含有“一為萬物

23、之母而且“一也可以是數(shù)的思想，但這是一種非常模糊的觀念。劉徽在這種“一以統(tǒng)眾的思想氣氛之下，從前人的思想和自己的數(shù)學(xué)理論中提煉和升華出“一者數(shù)之母的原理來,這條原理,一旦在他的工作中得到大量的驗(yàn)證,而沒有遇到什么困難,是很難想到要疑心它的。中國古代數(shù)學(xué)以實(shí)用為目的的傳統(tǒng)，大大削弱了探求理論根底的動(dòng)力，而“一者數(shù)之母作為古代數(shù)學(xué)的原理，正好消除了到達(dá)其目的時(shí)可能出現(xiàn)的顧忌。事實(shí)上,在求微數(shù)這個(gè)比較容易引導(dǎo)出無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的問題上，中國數(shù)學(xué)和希臘數(shù)學(xué)的思維取向幾乎是倒過來了，我們似不能指望劉徽在這個(gè)問題上完全擺脫其傳統(tǒng)的陰影。因?yàn)橐獜拈_方程序的連續(xù)不斷進(jìn)展中尋求矛盾，這本身就是一個(gè)需要擺脫無限過程才比

24、較好解決的問題，也就是說這里需要的是如何推導(dǎo)出與“一者數(shù)之母矛盾的命題來。而要研究開方程序的無限進(jìn)展到底會(huì)出現(xiàn)什么情況，需要消耗大量的精力去檢驗(yàn)、考察開方到位數(shù)很多的情形，而在這些有限情況下獲得的結(jié)論并不能保證在無限的情況下也能成立。至于對(duì)那種難以捉摸的對(duì)無限情況的想象，那么更容易讓人把握不住應(yīng)該抓到什么來作為本質(zhì)的根底的東西從而引出矛盾來。所以我們認(rèn)為“一者數(shù)之母的命題，對(duì)劉徽來說它消除了求微數(shù)法的后顧之憂，而從整個(gè)中國數(shù)學(xué)史的開展角度看，它那么阻礙了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)然，正如李氏已經(jīng)提到的，要導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，還可能有別的途徑，關(guān)鍵在于誘導(dǎo)出邏輯上的矛盾來。然而這既不是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，在

25、中國思想史上也不占重要的地位。劉徽明顯受墨、道、儒家的影響，但他似未受名家思想的影響。司馬彪在給名家的一些命題作注時(shí)，往往帶有道家和玄學(xué)的色彩，有時(shí)甚至是支持與名家相反的觀點(diǎn)。如他給“輪不展地作注時(shí)說“地平輪圓，那么輪之所行者跡也37，反而說輪是和地面接觸的，輪過留下“跡；又我們上面講到的他注惠施“無厚不可積也的命題時(shí)說了一大通，也是支持其反面的觀點(diǎn)。把求微數(shù)的過程無限地進(jìn)展下去，并不能找到什么方法用一個(gè)有限的公式來表示這個(gè)結(jié)果，況且要把那些微數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉完畢，也是不可能的。所以假如沒有有效的歸謬法，設(shè)想劉徽要把這個(gè)過程無限地進(jìn)展下去，也不會(huì)得出明確的結(jié)論來。下面討論的劉徽弧田術(shù)注也是這種

26、情形。3.2弧田術(shù)注劉徽弧田術(shù)注中的分割過程過去常常被認(rèn)為是一個(gè)無限的過程。郭書春認(rèn)為只是“極限思想在近似計(jì)算中的應(yīng)用38，這是比較正確的。雖然劉徽可以無限地進(jìn)展下去，但他沒有那么做，這也表達(dá)出他受以實(shí)用為目的的傳統(tǒng)的影響。不過，和求微數(shù)法相似的是，假如無限分割下去，不僅這種計(jì)算沒法結(jié)束，而且他也恐怕不知有什么用了。這和割圓術(shù)是大不一樣的，按照割圓術(shù)的思想，他把無限過程進(jìn)展到底然后分割合并，可以得到簡明的公式；而把弧田術(shù)注的分割無限進(jìn)展到底，他是沒法得到簡化的公式的，由于對(duì)那些大小不一的三角形他只能一個(gè)一個(gè)的相加，但這是沒法加完的，所以他永遠(yuǎn)也得不到一個(gè)真正準(zhǔn)確的值。從這一點(diǎn)來說，劉徽只進(jìn)展到

27、能得到所需精度的有限步，確實(shí)是明智之舉?；√镄g(shù)注和求微數(shù)法都是把一個(gè)可以無限進(jìn)展的程序只進(jìn)展了有限步就停了下來。這兩個(gè)問題的情形和割圓術(shù)及陽馬術(shù)注都不一樣，后兩個(gè)問題的程序無限進(jìn)展到底能把問題簡化，而前兩個(gè)問題隨著程序的進(jìn)展，計(jì)算會(huì)越來越復(fù)雜，而假如程序進(jìn)展到了無窮步，由于沒有方法把各個(gè)步驟的計(jì)算列舉完畢，這對(duì)解決實(shí)際問題是毫無俾益的，但這對(duì)研究無限卻很有意義。事實(shí)上，假如劉徽充分考慮一下他認(rèn)為求微數(shù)程序的不斷進(jìn)展所得到的數(shù)會(huì)越來越接近方根的真實(shí)值，與他認(rèn)為求微數(shù)法不是完全準(zhǔn)確的方法之間是不是存在某種矛盾，也許會(huì)得到一些意想不到的啟示，可是劉徽卻并沒有把程序進(jìn)展到底。可見他之于無限，也只是把它

28、作為處理問題的手段和方法，而沒有把它本身作為研究的對(duì)象。劉徽仍然沒有擺脫中國古算講務(wù)實(shí)際的傳統(tǒng)的影響，在他的方法能滿足實(shí)際需要之后，去討論無限的更深層問題的動(dòng)因就大大減弱了。加之比較成熟的歸謬法也沒有開展起來，因此劉徽沒能從求微數(shù)法中引導(dǎo)出不可公度的思想來，這是缺乏為怪的。結(jié)語我們看到，劉徽不疑心無限觀念的合理性，也沒有回避無限過程的使用。他認(rèn)為連續(xù)不斷的分割能進(jìn)展到底最后到達(dá)不可再分割的狀態(tài)。劉徽超越前人的地方是他天才地將無限過程成功地運(yùn)用于數(shù)學(xué)證明，特別是他的陽馬術(shù)注展示了他所具有的非凡的高難技巧。在劉徽那里，不可分量構(gòu)成幾何圖形和“無厚可積的觀念獲得了合法地位，并成為他成功地用于處理面積

29、、體積問題的某些方法的根底。劉徽的無限思想有很直觀的一面，這是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。劉徽在一些地方應(yīng)用無限過程而在另一些地方不用，而都能心安理得，這說明他的工作態(tài)度根本上是：采用甚么方法取決于不同問題的需要。劉徽的無限思想又表現(xiàn)出他深受哲學(xué)思想影響的一面。墨家的深化影響，使他對(duì)無限分割能進(jìn)展到底而到達(dá)不可再分割的狀態(tài)并得到一種不可分的東西的觀念表示滿意。不可分量可積的觀念和無限分割到最后所得到的東西，其體積被他視為零的思想，那么由墨家和道家的無限思想特別是道家那里，無限狀態(tài)乃是一種不能言論、不容置疑的狀態(tài)共同提供了思想根底。在劉徽以前，道家、墨家等都不疑心無限觀念，名家雖然認(rèn)識(shí)到不可分量可積的觀

30、念中存在矛盾，但他們采取調(diào)和的態(tài)度，而并沒想到要否認(rèn)無限觀念的存在?？梢哉f，在劉徽以前，既不存在疑心無限概念中存在問題的思想背景，也沒有產(chǎn)生在更深層次上討論這類問題的有效方法。劉徽不去疑心無限中存在什么問題，這是可以理解的。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的

31、觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特

32、征見景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。在中國古代數(shù)學(xué)史上，對(duì)開方問題的討論沒有開展出無理數(shù)的觀念來，其原因是非常復(fù)雜的。研究數(shù)的性質(zhì)不是中國古算的任務(wù)，中國古算講務(wù)實(shí)際的傳統(tǒng)，影響到劉徽的求微數(shù)法的立足點(diǎn)與通往發(fā)現(xiàn)不可通約量的途徑正好相反。研究求微數(shù)過程的無限進(jìn)展，有助于加深對(duì)不可公度的認(rèn)識(shí)，但要由此確認(rèn)無理數(shù)的存在是困難的。對(duì)于由開方過程來確認(rèn)無理數(shù)是否存在這樣的問題，沒有富于成效的歸謬法，是難于解決的。而歸謬法不僅不是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，而且還是中國古代哲學(xué)思維的薄弱環(huán)節(jié)。在這樣的