同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案第四章微分方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第四章 微分方程授課序號(hào)01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第四章 第一節(jié) 微分方程的概念課的類(lèi)型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)微分方程的基本概念教學(xué)難點(diǎn)特解，通解參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。 教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：1、微分方程：含有未知函數(shù)及其它的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系式稱(chēng)為微分方程（其中自變量、未知函數(shù)可以在方程中不出現(xiàn)，

2、但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須出現(xiàn)）.2、微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階.一階微分方程的一般形式為 .二階微分方程的一般形式為 . 階微分方程的一般形式是: 其中為自變量，是未知函數(shù).在方程中必須出現(xiàn)，而其他變量可以不出現(xiàn).3、微分方程的解：把函數(shù)代入微分方程能使方程稱(chēng)為恒等式，我們稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解. 更確切地說(shuō)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，有則稱(chēng)函數(shù)為微分方程(10)在區(qū)間上的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù). 一般地，微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱(chēng)為微分方程的特解. 含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相

3、等的解稱(chēng)為微分方程的通解（一般解）. 4、微分方程的初值問(wèn)題：許多實(shí)際問(wèn)題都要求尋找滿(mǎn)足某些附加條件的解，此時(shí)，這類(lèi)附加條件就可以用來(lái)確定通解中的任意常數(shù)，這類(lèi)附加條件稱(chēng)為初始條件，也稱(chēng)為定解條件.帶有初始條件的微分方程稱(chēng)為微分方程的初值問(wèn)題.二、定理與性質(zhì)：三、主要例題：例1 一曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，且在該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為， 求這曲線(xiàn)的方程.例2 列車(chē)在平直線(xiàn)路上以 (相當(dāng)于)的速度行駛， 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度. 開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住? 列車(chē)在這段時(shí)間里行駛了多少路程?例3 已知放射性物質(zhì)鐳的裂變規(guī)律是： 裂變速度與余存量成比例. 記在某一時(shí)刻鐳的余存量為克，試確定鐳在任意時(shí)刻

4、的余存量.例3 設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻. 根據(jù)冷卻定律：物體溫度的變化率與物體和當(dāng)時(shí)空氣溫度之差成正比，設(shè)物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，則可建立起函數(shù)滿(mǎn)足的微分方程 (1)其中為比例常數(shù). 這就是物體冷卻的數(shù)學(xué)模型.例4設(shè)一質(zhì)量為的物體只受重力的作用由靜止開(kāi)始自由垂直降落. 根據(jù)牛頓第二定律：物體所受的力等于物體的質(zhì)量與物體運(yùn)動(dòng)的加速度成正比，即，若取物體降落的鉛垂線(xiàn)為軸，其正向朝下，物體下落的起點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)開(kāi)始下落的時(shí)間是，物體下落的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，則可建立起函數(shù)滿(mǎn)足的微分方程 其中為重力加速度常數(shù). 這就是自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.例5試指出下

5、列方程是什么方程，并指出微分方程的階數(shù). 例6 求曲線(xiàn)族滿(mǎn)足的微分方程，其中為任意常數(shù).例7 驗(yàn)證函數(shù)(C為任意常數(shù))是方程的通解, 并求滿(mǎn)足初始條件的特解.授課序號(hào)02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第四章 第二節(jié) 一階微分方程課的類(lèi)型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)可分離方程，一階線(xiàn)性方程教學(xué)難點(diǎn)方程類(lèi)型判別參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求掌握變量可分離的方程及一階線(xiàn)性方程的解法。會(huì)解齊次方程方程，了解用變量代換求方程的思想。教 學(xué)

6、 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：1、設(shè)有一階微分方程, 如果其右端函數(shù)能分解成, 即有, 從而能夠?qū)懗?（1）的微分方程稱(chēng)為可分離的微分方程.2、如果一階微分方程中的函數(shù)可化為，則稱(chēng)此方程為齊次方程. 齊次方程通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為可分離變量方程求解. 3、形如 (2)的方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程. 其中函數(shù)，是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 一階線(xiàn)性方程的當(dāng) 方程(2)成為 (3)這個(gè)方程稱(chēng)為一階齊次線(xiàn)性方程. 相應(yīng)地，方程(2)稱(chēng)為一階非齊次線(xiàn)性方程.二、定理與性質(zhì)：定理1 （一階非齊次線(xiàn)性方程的解的結(jié)構(gòu)）一階非齊次線(xiàn)性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程的通解與一階非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解之和.三、主要例題

7、：例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.例3 求滿(mǎn)足的特解.例4 已知 當(dāng)時(shí)，求例5 求微分方程的通解.例6 求解微分方程 滿(mǎn)足初始條件的特解.例7 求解微分方程例8 利用變量代換法求方程的通解.例9 求方程的通解.例10 求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解. ， .例11 求方程的通解.授課序號(hào)03教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第四章 第三節(jié) 二階微分方程課的類(lèi)型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)可降階微分方程，二階線(xiàn)性齊次，簡(jiǎn)單非齊次教學(xué)難點(diǎn)二階線(xiàn)性非齊次參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等

8、高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的解法。會(huì)求自由項(xiàng)形如、的二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：型型型2、函數(shù)組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè)為定義在區(qū)間上的個(gè)函數(shù)，如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)個(gè)函數(shù)在上線(xiàn)性相關(guān)，否則稱(chēng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，或者說(shuō)要使在區(qū)間上恒成立，則必有.4、 二階線(xiàn)性方程二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的一般形式是， (1)其中、是常數(shù)，是自變量的函數(shù)，函數(shù)稱(chēng)為方程(1)的自由項(xiàng). 當(dāng)時(shí), 方程(1)成為. (2)這

9、個(gè)方程稱(chēng)為二階齊次線(xiàn)性微分方程. 相應(yīng)地，方程(1)稱(chēng)為二階非齊次線(xiàn)性微分方程.二、定理與性質(zhì)：定理1 如果函數(shù)與是方程(2)的兩個(gè)解, 則 (3)也是方程(2)的解，其中是任意常數(shù) 定理2 如果與是方程(2)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，就是方程(2)的通解，其中是任意常數(shù).定理3 設(shè)是方程(1)的一個(gè)特解，而是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則 就是二階非齊次線(xiàn)性微分方程(1)的通解.*定理4 設(shè)與分別是方程與 的特解，則是方程 的特解.二階齊次線(xiàn)性方程的解：特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)是重根是重共軛復(fù)根求解二階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次微分方程通解的步驟：（1）寫(xiě)出特征方程，并求出特征根；（2）求出對(duì)應(yīng)齊次方

10、程的通解；（3）根據(jù)與特征根關(guān)系確定特解形式并代入原方程后確定其中系數(shù), 從而得到；，其中按不是、是單、是重特征根而選取，為次待定系數(shù)的多項(xiàng)式. （4）寫(xiě)成.三、主要例題：例1 求方程滿(mǎn)足的特解.例2 求微分方程的通解.例3 求微分方程 的特解. 例4 求微分方程的通解.例5 求微分方程滿(mǎn)足初始條件 的特解.例6 證明在內(nèi)線(xiàn)性相關(guān). 例7 對(duì)于二階線(xiàn)性微分方程 ，驗(yàn)證是它的解, 并證明是原方程的通解，而是原方程的解但不是通解.例8 已知是某二階齊次線(xiàn)性微分方程的三個(gè)特解.（1）求此方程的通解；（2）求此微分方程滿(mǎn)足的特解.例9 已知是二階變系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的三個(gè)特解，試寫(xiě)出該方

11、程的通解.例10 求方程的通解.例11 求方程的通解.例12 求方程的通解.例13 求微分方程 滿(mǎn)足初始條件 的特解.例14求方程的通解.例15求下列微分方程的通解. (1) (2)例16 已知一個(gè)四階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的四個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解為求這個(gè)四階微分方程及其通解.例17 下列方程具有什么樣形式的特解?(1) (2) (3) 例18 求方程的一個(gè)特解.例19 求方程的通解.例20 求解定解問(wèn)題.授課序號(hào)04教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第四章 第四節(jié) 微分方程的實(shí)際案例課的類(lèi)型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)一階二階實(shí)際案例教學(xué)難點(diǎn)一階二階

12、實(shí)際案例參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求會(huì)用微分方程解一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問(wèn)題。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：三、主要例題：一、一階微分方程的實(shí)際案例例1 設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻. 試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律.例2 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)速度為零, 求降落傘下落速度與時(shí)間的關(guān)系.例3設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A, 河寬, 兩岸為平行直線(xiàn), 水流速度為, 有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O, 設(shè)鴨子(在靜水中)的游速為, 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O, 求鴨子游過(guò)的跡線(xiàn)的方程.例4 如果設(shè)某商品在時(shí)刻的售價(jià)為, 社會(huì)對(duì)該商品的需求量和供給量分別是的函數(shù). 一般情況下,商品供給量是價(jià)格的單調(diào)遞增函數(shù), 商品需求量是價(jià)格的單調(diào)遞減函數(shù), 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為 (2)其中均為常數(shù), 且當(dāng)供給量與需求量相等時(shí), 由(1)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格并稱(chēng)為均衡價(jià)格.二、二階微分方程的實(shí)際案例例5 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受力的作用沿軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng). 設(shè)力僅是時(shí)間的函數(shù): 在開(kāi)始時(shí)刻時(shí) 隨著時(shí)間的增大,