初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(51)待定系數(shù)_第1頁
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文檔簡介

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(51)待定系數(shù)法甲內(nèi)容提要1. 多項式恒等的定義:設(shè)f(x)和g(x)是含相同變量x的兩個多項式,f(x)g(x)表示這兩個多項式恒等.就是說x在取值范圍內(nèi) ,不論用什么實數(shù)值代入左右的兩邊,等式總是成立的.符號“”讀作“恒等于”,也可以用等號表示恒等式.例如:(x+3)2=x2+6x+9, 5x26x+1=(5x1)(x1), x339x70=(x+2)(x+5)(x7).都是恒等式.根據(jù)恒等式定義,可求恒等式中的待定系數(shù)的值.例如:已知:恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x2).求:a+b+c ; ab+c.解:以x=1, 代入等式的左右兩邊,得a+b+c4.以x

2、=1,代入等式的左右兩邊,得ab+c0.2. 恒等式的性質(zhì):如果兩個多項式恒等,則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.即 如果 a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn那么 a0=b0 , a1=b1, , an1=bn1 , an=bn.上例中又解: ax2+bx+c=2x22x4. a=2, b=2, c=4. a+b+c4, ab+c0.3. 待定系數(shù)法:就是先假設(shè)結(jié)論為一個含有待定系數(shù)的代數(shù)式,然后根據(jù)恒等式定義和性質(zhì),確定待定系數(shù)的值.乙例題 例1. 已知: 求:A,B,C的值.解:去分母,得x2x+2=A(x3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3).根據(jù)

3、恒等式定義(選擇x的適當(dāng)值,可直接求出A,B,C的值),當(dāng)x=0時,26A.A.當(dāng)x=3時,815B.B.當(dāng)x=2時,810C.C.本題也可以把等號右邊的代數(shù)式,整理成為關(guān)于x的二次三項式,然后用恒等式性質(zhì):“左右兩邊同類項的系數(shù)相等”,列出方程組來解.(見下例).例2. 把多項式x3x2+2x+2表示為關(guān)于x1的降冪排列形式.解:用待定系數(shù)法:設(shè)x3x2+2x+2=a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d 把右邊展開,合并同類項(把同類項對齊),得x3x2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性質(zhì),比較同類項系數(shù),得 解這個方程組,得x3x2+

4、2x+2=(x1)3+2(x1)2+3(x1)+4.本題也可用換元法:設(shè)x1=y, 那么x=y+1.把左邊關(guān)于x的多項式化為關(guān)于y 的多項式,最后再把y換成x 1.例3. 已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求: a和b的值.解:設(shè)4x4+ax3+13x2+bx+1(2x2+mx1)2(設(shè)待定的系數(shù),要盡可能少.)右邊展開,合并同類項,得4x4+ax3+13x2+bx+14x4+4mx3+(m24)x22mx+1.比較左右兩邊同類項系數(shù),得方程組; 或.解得.例4. 推導(dǎo)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解:設(shè)方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)的三個根分別為x1,x2,x3.

5、原方程化為x3+.x1,x2,x3是方程的三個根.x3+(xx1) (xx2) (xx3).把右邊展開,合并同類項,得x3+=x3( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3.比較左右同類項的系數(shù),得一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系是:x1+x2+x3=,x1x2+x1x3+x2x3,x1x2x3.例5. 已知:x3+px+q 能被(xa)2整除.求證:4p3+27q2=0.證明:設(shè)x3+px+q(xa)2(x+b).x3+px+q=x3+(b2a)x2+(a22ab)x+a2b. 由得b=2a,代入和得 4p3+27q24(3a2)3+27(2a3)2=4(27a6)

6、+27(4a6)=0.(證畢).例6. 已知:f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x225的因式,也是q (x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求:f (1)的值.解:g (x),q (x)都能被f (x)整除,它們的和、差、倍也能被f (x)整除.為了消去四次項,設(shè)g (x)q (x)kf (x), (k為正整數(shù)).即14x228x+70k (x2+bx+c)14(x22x+5)k (x2+bx+c)k=14, b=2, c=5.即f (x)=x22x+5.f (1)=4 .例7. 用待定系數(shù)法,求(x+y)5 的展開式解:展開式是五次齊次對稱式,可設(shè)(x+y)5a(x5+

7、y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,b,c是待定系數(shù).) 當(dāng)x=1,y=0時,得a=1;當(dāng)x=1,y=1時,得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16當(dāng)x=1,y=2時,得31a14b+4c=1.得方程組解方程組,得(x+y)5x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.丙練習(xí)511.已知.求a,b的值.2.已知:.求:A,B,C的值.3. 已知:x46x3+13x212x+4是完全平方式.求:這個代數(shù)式的算術(shù)平方根.4. 已知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求證:ad=bc.5. 已知:x39x2+25x+13=a(x+1)(x2)(x

8、3) =b(x1)(x2)(x3) =c(x1)(x+1)(x3) =d(x1)(x+1)(x2).求:a+b+c+d的值.6. 試用待定系數(shù)法,證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達定理).7. 用x2的各次冪表示3x310x2+13.8. k取什么值時,kx22xyy2+3x5y+2能分解為兩個一次因式.9. 分解因式:x2+3xy+2y24x+5y+3;x4+1987x2+1986x+1987.10. 求下列展開式: (x+y)6; (a+b+c)3.11. 多項式x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解的結(jié)果是( ) (A) (x+y)(yz)(xz) . (B) (

9、x+y)(y+z)(xz).(C) (xy)(yz)(x+z). (D) (xy)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若S=(x1)4+4(x1)3+6(x1)2+4x3.則S等于( )(A) (x2)4 . (B) (x1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4. (1988年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)13 已知:的值是恒為常數(shù)求:a,b,c的值.參考答案練習(xí)511. a=,b= 2. A=1,B=2,C=3 3. (x23x+2)4.由 (x2+p)(ax+) 5. 1 7. 3(x2)3+8(x2)24(x2)38. 先整理為關(guān)于x的二次三項式,并把常數(shù)項分解因式,再用待定系數(shù)法。9. (x+y +1)(x+

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