圓錐曲線專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線的綜合問(wèn)題直線和圓錐曲線問(wèn)題解法的一般規(guī)律 “聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”【一】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看，可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)(2)從代數(shù)角度看，可通過(guò)將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來(lái)判斷1.設(shè)直線l的方程為AxByC0，圓錐曲線方程f(x，y)0.由，消元。如消去y后得ax2bxc0.若a0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合若a0，設(shè)b24ac.a 0時(shí)

2、，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；b 0時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；c 0時(shí)，直線和圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn)2.“點(diǎn)差法”的常見(jiàn)題型 求中點(diǎn)弦方程、求(過(guò)定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問(wèn)題必須提醒的是“點(diǎn)差法”具有不等價(jià)性，即要考慮判別式0是否成立3直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長(zhǎng)|P1P2| 或|P1P2| .(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用軸上兩點(diǎn)間距離公式)4圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解在橢圓1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜

3、率k；在雙曲線1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k；在拋物線y22px (p0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k.題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題 【例1】已知拋物線C：y24x，過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè).(1)若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：直線MQ經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F；(2)若，求|PQ|的最大值思維啟迪(1)可利用向量共線證明直線MQ過(guò)F；(2)建立|PQ|和的關(guān)系，然后求最值解析：(1)證明設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21

4、)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直線MQ經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F.(2)解由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，xxyy2(x1x2y1y2)2412216，當(dāng)，即時(shí)，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.探究提高圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值變式訓(xùn)練1 (2012四川)如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn) A(1,0)、

5、B(1,0)構(gòu)成MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程(2)設(shè)直線yxm(m0)與y軸相交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q，R，且|PQ|0，而當(dāng)1或1為方程(*)的根時(shí)，m的值為1或1.結(jié)合題設(shè)(m0)可知，m0且m1.設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，則xQ，xR為方程(*)的兩根因?yàn)閨PQ|PR|，所以|xQ|1，且2，所以113，且1，所以1b0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又橢圓過(guò)點(diǎn)P，將其代入求得c21，故a24，b23，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、聯(lián)立則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m20，當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過(guò)定點(diǎn)，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.題型三 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 【例3】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA

7、與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由思維啟迪可先假設(shè)l存在，然后根據(jù)與C有公共點(diǎn)和與OA距離等于4兩個(gè)條件探求解析解方法一(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在方法二(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且有從而a216.所以

8、橢圓C的方程為1.(2)同方法一探究提高解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，往往是先假設(shè)所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗(yàn)說(shuō)明假設(shè)是否正確變式訓(xùn)練3 (2012江西)已知三點(diǎn)O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足|()2.(1)求曲線C的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)(2x02)在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l.問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P(0，t)(t0)，使得l與PA，PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E，且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2

9、y2，化簡(jiǎn)得曲線C的方程：x24y.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)(t0)滿足條件，則直線PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲線C在Q處的切線l的方程是yx，它與y軸的交點(diǎn)為F.由于2x02，因此11.當(dāng)1t0時(shí)，1，存在x0(2,2)，使得，即l與直線PA平行，故當(dāng)1t0時(shí)不符合題意當(dāng)t1時(shí)，1，所以l與直線PA，PB一定相交分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD，xE，則xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|，又SQAB4，于是.對(duì)任意x0(2,2)，要使為常數(shù)，即只需t滿足解得t1.此時(shí)2，故存在t1，使得QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2.該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)

10、A(，0)19.圓錐曲線中的函數(shù)思想 思想與方法典例：(12分)已知橢圓1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是B，求|PB|的最小值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)審 題 視 角(1)引入?yún)?shù)PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解(2)建立|PB|關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值規(guī) 范 解 答(1)證明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.當(dāng)x1x2時(shí)，由，得.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)N(1，n)，kPQ，線段PQ的垂直平分線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，

11、該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A(，0)當(dāng)x1x2時(shí)，線段PQ的中垂線也過(guò)定點(diǎn)A(，0)綜上，線段PQ的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)A(，0)(2)解由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，故點(diǎn)B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)時(shí)，|PB|min.溫 馨 提 醒(1)本題是圓錐曲線中的綜合問(wèn)題，涉及到了定點(diǎn)問(wèn)題以及最值問(wèn)題求圓錐曲線的最值問(wèn)題是高考考查的一個(gè)重要問(wèn)題，通常是先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象、函數(shù)的有界性或基本不等式等求最值，本題是建立二次函數(shù)、利用二次函數(shù)的圖象求最值(2)本題的第一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，表達(dá)不出線段PQ的中垂線

12、方程，原因是想不到引入?yún)?shù)表示PQ的中點(diǎn)第二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，易忽視P點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍實(shí)質(zhì)上是忽視了橢圓的范圍.思想方法感悟提高方 法 與 技 巧1解決直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，如果直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可將直線方程ykxc代入橢圓方程1整理出關(guān)于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC 0，可利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求弦長(zhǎng)(弦長(zhǎng)為)2圓錐曲線綜合問(wèn)題要四重視：(1)重視定義在解題中的作用；(2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用失 誤 與 防 范1在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與

13、拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況2中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證0或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練1直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為()A1 B1或3 C0 D1或0解 析由得ky28y160，若k0，則y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k0或k1.2AB為過(guò)橢圓1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為它的焦點(diǎn)，則FAB的最大面積為()Ab2 Bab Cac Dbc解 析設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)、(x1，y1)，則SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.3過(guò)拋物線y22px (p0)

14、的焦點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于()A5 B4 C3 D2解 析記拋物線y22px的準(zhǔn)線為l，作AA1l，BB1l，BCAA1，垂足分別是A1、B1、C，則有cos 60，由此得3，選C.4(2011山東)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解 析x28y，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2.由拋物線的定義知|MF|y02.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，

15、故42.5設(shè)拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則|_.解 析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1x22，且x4y1，x4y2，兩式相減整理得，所以直線AB的方程為x2y70.將x2y7代入 x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由拋物線定義得|y1y2210.6已知橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|_.將x代入橢圓方程得yp，由|PF1|PF2|4|PF2|4|PF1|4.7直線ykx2與拋物線y28x交于不同兩點(diǎn)A、B，且AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

16、為2，則k的值是_設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由題意得即k2.8(10分)橢圓1 (ab0)與直線xy10相交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ(O為原點(diǎn))(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍(1)證明由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則x1、x2是方程的兩實(shí)根x1x2，x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)

17、10.式代入式化簡(jiǎn)得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的結(jié)論，將a表示為e的函數(shù)由eb2a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為，9(12分)給出雙曲線x21.(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點(diǎn)，求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程；(3)過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點(diǎn)Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說(shuō)明理由解(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1x2

18、)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直線斜率k4.故求得直線方程為4xy70.(2)設(shè)P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四點(diǎn)共線，得，由可得，整理得2x2y24xy0，檢驗(yàn)當(dāng)x1x2時(shí)，x2，y0也滿足方程，故P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程是2x2y24xy0.(3)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y2x1.考慮到方程組無(wú)解，因此滿足題設(shè)條件的直線m是不存在的練出高分B組專項(xiàng)能力提升1已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且

19、AB的中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解 析kAB1，直線AB的方程為yx3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0)，c3，c29.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25，雙曲線E的方程為1.2已知拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于()A3 B4 C3 D4解 析設(shè)直線AB的方程為yxb.由x2xb30x1x21，得AB的中點(diǎn)M.又M在直線xy0上，可求出b

20、1，x2x20，則|AB|3.3如圖，已知過(guò)拋物線y22px (p0)的焦點(diǎn)F的直線xmym0與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2，則m6m4的值是() A1 B. C2 D4解 析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，m，將xmym代入拋物線方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面積S|y1y2|(m)42，兩邊平方即可得m6m42.4直線ykx1與橢圓1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_方程1表示橢圓，m0且m5.直線ykx1恒過(guò)(0,1)點(diǎn)，要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，應(yīng)有：1，m1，m的取值范圍是m1且m5.5已知雙曲線1 (a1，b0)的焦距為2c，離心率為e，若點(diǎn)(1,0)與(1,0)到直線1的距離之和sc，則e的取值范圍是_解 析由題意知sc，2c25ab，.又，2e25，4e425(e21)，4e425e2250，e25，e.6若過(guò)拋物線y22px (p0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則