直線參數(shù)方程t的幾何意義參考模板

1、利用直線參數(shù)方程t的幾何意義1、 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段的數(shù)量，P() P0P=t P0P=t 為直線上任意一點(diǎn). (2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3) 若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3 則P1P2中點(diǎn)P3的參數(shù)為t3,P0P3= (4)若P0為P1P2的中點(diǎn)，則t1t20，t1·t2<02、 直線參數(shù)方程的一般式過點(diǎn)P0()，斜率為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）點(diǎn)擊直線參數(shù)方程：

2、yh0hP0hP()Q 一、直線的參數(shù)方程問題1：（直線由點(diǎn)和方向確定） 求經(jīng)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程. 設(shè)點(diǎn)P()是直線上任意一點(diǎn)，（規(guī)定向上的方向?yàn)橹本€L的正方向）過點(diǎn)P作y軸的平行線，過P0作x軸的平行線，兩條直線相交于Q點(diǎn). 1)當(dāng)與直線同方向或P0和P重合時(shí)，yh0hP()P0hQP0P|P0P| 則P0QP0Pcos Q PP0Psin2)當(dāng)與直線反方向時(shí)，P0P、P0Q、Q P同時(shí)改變符號P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立設(shè)P0Pt，t為參數(shù)，又P0Q， tcos Q P =t sin 即是所求的直線的參數(shù)方程 P0Pt，t為參數(shù)，t的

3、幾何意義是：有向直線上從已知點(diǎn)P0()到點(diǎn) P()的有向線段的數(shù)量，且|P0P|t| 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的下方；1 / 5yh0hP0hP()特別地，若直線的傾斜角0時(shí)，直線的參數(shù)方程為 當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的右側(cè)； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合；yh0hPP0h 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的左側(cè)；問題2：直線上的點(diǎn)與對應(yīng)的參數(shù)t是不是一 對應(yīng)關(guān)系？ 我們把直線看作是實(shí)數(shù)軸， 以直線向上的方向?yàn)檎较颍远c(diǎn)P0 為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長為單位長， 這樣參數(shù)t便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P建立了 一一對應(yīng)關(guān)

4、系.問題3：P1、P2為直線上兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2 ， 則P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1問題yh0hP1P0hP24：若P0為直線上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，P1、P2所對應(yīng)的 參數(shù)分別為t1、t2 ，則t1、t2之間有何關(guān)系？ 根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義， P1Pt1，P2Pt2，P0為直線 上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2, t1t2<0 一般地，若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)， 所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3，P3為P1、P2的中點(diǎn) 則t3 （P1P3P2P3, 根據(jù)直線參數(shù)

5、方程t的幾何意義， P1P3= t3t1, P2P3= t3t2, t3t1=(t3t2,) ）性質(zhì)一：A、B兩點(diǎn)之間的距離為，特別地，A、B兩點(diǎn)到的距離分別為性質(zhì)二：A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，若是線段AB的中點(diǎn)，則，反之亦然。 在解題時(shí)若能運(yùn)用參數(shù)t的上述性質(zhì)，則可起到事半功倍的效果。應(yīng)用一：求距離例1、直線過點(diǎn)，傾斜角為，且與圓相交于A、B兩點(diǎn)。（1）求弦長AB.（2）求和的長。解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)），代入圓方程，得，整理得（1）設(shè)A、B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，所以，所以（2）解方程得，所以，應(yīng)用二：求點(diǎn)的坐標(biāo)例2、直線過點(diǎn)，傾斜角為，求出直線

6、上與點(diǎn)相距為4的點(diǎn)的坐標(biāo)。解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)）， （1）設(shè)直線上與已知點(diǎn)相距為4的點(diǎn)為M點(diǎn)，且M點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t，則，所以，將t的值代入（1）式，當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 點(diǎn)評：若使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。應(yīng)用三：解決有關(guān)弦的中點(diǎn)問題例3、過點(diǎn)，傾斜角為的直線和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)。解：直線過點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），因?yàn)橹本€和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中，得：，整理得，設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為，由韋達(dá)定理得，由M為線