立體幾何線線垂直專題(史上)

1、P ABCD的底面是菱求證：平面PAC 平立體幾何垂直總結1、線線垂直的判斷：線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷：(1)如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。(3) 一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。(4)如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面。3、面面垂直的判斷：一個平面經過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直

2、的常用方法：例1、(等腰三角形三線合一) 如圖，已知空間四邊形 ABCD中，BC AC,AD BD , E是AB 的中點。求證：(1) AB 平面CDE; (2)平面CDE 平面ABC。證明：(1) BC AC CE AB 同理，AD BD DE AB AE BEAE BE又CE DE EAB 平面 CDE(2)由(1)有AB平面CDE又; AB 平面ABC,.平面CDE 平面ABC例2、(菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一)已知四棱錐PCAB形.PB PD , E為PA的中點.(I)求證：PC /平面BDE ; ( H)例3、（線線、線面垂直相互轉化）已知ABC中ACB 90 , SA

3、面 ABC,AD SC,求證:AD 面 SBC.證明：: ACB 90。BCAC又SA面ABCSA BCBC面SACBC AD 又 AD,SCBCC AD面SBC例4、（直徑所對的圓周角為直角）如圖2所示，已知PA垂直于圓。在平面,AB是圓。的直徑，C是圓O的圓周上異于A、B的任意一點，且PA AC,點E是線段PC的中點.求證：AE 平面PBC.證明：: PA 。0所在平面，BCfe。的弦，. BC PA.又; AB是00的直徑，ACB是直徑所對的圓周角，BC AC.v PA。AC A, PA 平面 PAC , AC 平面 PAC. BC 平面 PAC , AE 平面 PAC ,AE BC .

4、v PA AC，點E是線段PC的中點. AE PC .v PCpBC C, PC 平面 PBC , BC 平面 PBC. AE 平面 PBC .例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD1等腰梯形，AB/ CD /DAB = 60 , AE BD, CB= CA CF 求證：BDL平面 AED證明 因為四邊形ABCD1等腰,$形，AB/ CD / DA比60 ,所以/ ADC= / BC氏 120 又CB= CD所以/ CD比30 ,因止匕/ AD氏900 ,即ADL BD又 AE, BD 且 AEA AD= A, AE, AD?平面 AEQ所以BD，平面AED例6、（勾股

5、定理的逆定理）如圖 7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC-ABG中， AB以等腰直角三角形，/ BAC 90 ,且A五AA, D、E、F分別為BA、GC BC的中點.求證：（1） DE/平面 ABC （2） BF，平面 AEF例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD- ABGD中，AC平面BCD證明：連結ACv BD，AC - AC為AC在平面AC上的射影BD A1CAiC平面BGD 同理可證AiC BCi練習；1、如圖在三棱錐P ABC中，AB= AC D為BC的中點，PU平面ABC垂足。落在線段AD上.證明：AP，BQ一，一一 1 一一 ，一，_ 2、直三棱柱ABO AB1G中，AC=

6、BC= /AA, D是棱AA的中點，DG，BD證明:DG，BG3.如圖，平行四邊形 ABG時，/ DA氏60 , A五2, AD= 4.將 GBD& BD折起至1 EBD的位置，使平面EBDL平面ABD 求證：AB DE； (2)求三棱錐EABD勺側面積.4、在正三棱柱 ABG A1B1cl中，若AB=Z AA1 1,求點A到平面A1BC的距離。5、如圖所示，在四棱錐 P ABC外,底面ABC典矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB PC的中點，PA= AD求證：(1) CD! PQ(2) EF，平面 PCD6、如圖759(1),在RtzXABC中，/ C= 90 , D, E分別為AC

7、AB的中點，點F為線段求證:(2)求證:DEE/平面AiFXBE.CD上的一點,將 ADEgDE折起到AA iDE的位置，使 AF，CD如圖(2).ACB.(3)線段AiB上是否存在點Q,使AC，平面DE或明理由.P(菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一)已知四棱錐P ABCD的底面是PB PD , E為PA的中點.(I)求證：PC /平面BDE ; ( H)求證：平面 A平面BDE .立體幾何垂直總結1、線線垂直的判斷：線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內所有直線 補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條 2、線面垂直的判斷：(1)如果一直

8、線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。(3) 一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。(4)如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面3、面面垂直的判斷：一個平面經過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法：例1、(等腰三角形三線合一)如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC AC,AD BD , E是AB 的中點。求證：(1) AB 平面CDE; (2)平面CDE 平面ABC。證明：(1) BC AC CE AB 同理，AD BD DE AB

9、AE BEAE BE又CE DE E . ab 平面 CDE(2)由(1)有AB 平面CDE又v AB 平面ABC ,；平面CDE 平面ABC 例2、菱形.PACDCAB例3、（線線、線面垂直相互轉化）已知ABC中ACB 90 , SA面 ABC,AD SC,求證:AD 面 SBC.證明：. ACB 90。 BC AC又 SA 面 ABC SA BCBC 面 SACBC AD 又SC AD，SC BC C AD 面 SBC例4、（直徑所對的圓周角為直角）如圖2所示，已知PA垂直于圓。在平面，AB是圓。的直 徑，C是圓O的圓周上異于A、B的任意一點，且PA AC,點E是線段PC的中點.求證：AE

10、 平面PBC.證明：: PA 。0所在平面，BCfe。的弦，. BC PA.又; AB是。0的直徑，ACB是直徑所對的圓周角，.二BC AC.v PApAC A, PA 平面 PAC , AC 平面 PAC. BC 平面 PAC , AE 平面 PAC ,AE BC .V PA AC，點E是線段PC的中點. AE PC . PCBC C, PC 平面 PBC , BC 平面 PBC. AE 平面 PBC .例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD1等腰梯形，AB/ CD /DAB= 60 , AE BD, CB= C* CF 求證：BDL平面 AED證明 因為四邊形ABC

11、英等腰,$形，AB/ CD / DA氏60 ,所以/ AD(C= / BC氏 120 又 CB= CD 所以 / CD&300 ,因止匕/ AD氏90 ,即ADL BD又 AE_L BD 且 AEA AD= A, AE, AD?平面 AEQ所以BD1平面AED例6、（勾股定理的逆定理）如圖 7 7 5所示，已知直三棱柱 ABC-ABG中， ABC等腰直角三角形，/ BA:90 ,且A五AA, D、E、F分別為BA、GC BC的中點.求證：（1） DE/平面 ABC （2） BF，平面 AEF垂足O落在線段AD上.證明：AP，BC；例7、（三垂線定理）證明：在正方體 ABCD- ABGD中，AC

12、平面BGD證明：連結ACv BDXAC AC為AC在平面AC上的射影BD A1cAC平面BGD同理可證AiC BCi練習;1、如圖在三棱錐P ABC中，A五AC D為BC的中點，PU平面ABC2、直三棱柱 ABO ABC 中，AC= BC= /aA, D是棱 AA 的中點，DG，BD(1) 證明：DC，BC證明 由題設知，三棱柱的側面為矩形.由于 D為AA的中點，故DC= DG.1又 AG= AA,可得 DG+DG= CG,所以 DGDG又 DG，BD DGP BD= D,所以 DG,平面 BCD因為BG?平面BCD所以DGBG3.如圖，平行四邊形 ABGM, /DA&600 , AB= 2,

13、 AD= 4.將 GBD& BD折起至1! EBD的位置，使平面EBDL平面ABD(1)求證:AB DE(2)求三棱錐EABD勺側面積.(1)證明：在4ABD中，v AB= 2, AD= 4, / DAB= 60設F為ADi的中點,連接FB,.ABF為等邊三角形，/AF回 60 ,又D曰BF= 2,. BFD為等腰三角形. / FD氏 30 ,故/ AB氏 90 .AB BD又平面EBDL平面ABQ平面EBD?平面ABA BD AB?平面ABD.ABJ面 EBD . DE?平面 EBD - ABI DE(2)【解析】由(1)知 AB，BQ . CD/ AB, . CEK BQ 從而 DH BD

14、_1_-在 RtzXDBE中，v DB= 24 D昌 DC= AB= 2,，SzDB- 2DB- D 2 .13. AB,平面 EBD BE?平面 EBD AB,BE v BE= BG= AD= 4,二 Saabe= 1aB- BE= 4. v DEL BD,平面 EBDL平面 ABD ED，平面 ABD而 AD?平面 ABD1EDIAR ；Sde= 2AD- DE= 4.綜上，三棱錐 EABD勺側面積 S= 8+2/3.4、在正三棱柱 ABC AiBiCi中，若AB=Z AAi 1,求點A到平面AiBC的距離。6如圖所示，在四棱錐P ABC沖，底面ABCD1矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分

15、別是ARPC的中點，PA= AD求證：(i) CD!PD；(2) EF，平面 PCD證明 (i)PA，底面 ABCD CD!PA又矩形 ABCDfr, CD! AD,且 Am PA= A, CDL平面 PAD CD PD(2)取PD的中點G,連接AG FG又二 G F分別是PD PC的中占i_ _ .GF2CD -GFAE,二四邊形 AEFG是平行四邊形，.AG/ EF . PA= AR G是 PD的中點，；AG!PR - EF PR. CDL平面 PAR AG 平面 PAD ； CD! AG . . EF CD. PDA CA D, . EF，平面 PCD 6、如圖759(i),在RtABC中，/ C= 90 , D, E分別為AC AB的中點，點F為線段CD上的一點，將 ADE仟DE折起到AA iDE的位置，使 AF，CD如圖(2).求證：AF，BE.(3)線段AiB上是否存在點Q,使AC，平面DEQ明理由.求證:【規(guī)范解答】(i)因為D, E分別為AC AB的中點,所以DEE/分又因為D曰平面ACB,所以DE/平面分(2)由已知得ACL BC且DE/ BC所以DEL AC.所以 DEL AiD, DEL CD.所以DE1平面分又AiF?平面ADC所