西北工業(yè)大學(xué)自動控制原理p

1、3.3.3欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)計算1欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法欠阻尼系統(tǒng)的極點(diǎn)可以用如圖 3-10 所示的兩種形式表示。l 直角坐標(biāo)表示l= s ± jw= -xw ± j 1 - x 2w（3-8）1,2dnnl “極”坐標(biāo)表示ì cos b = xìl= w níí（3-9）îsin b =1 - xî Ðl = b22欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)的拉氏變換為由式（3-5），可得系統(tǒng)w 2s + 2xw11C(s) = F (s)R(s) =n=-ns 2 + 2xw s + wss(s + xw

2、 ) + (1 - x )w2222nnnns + xwx1- x 2w1=-n-ns(s + xw ) + (1- x )w(s + xw ) + (1- x )w222222n1- x 2nnn系統(tǒng)階躍響應(yīng)為h(t) = 1 - e-xwnt cos(1 - x 2 w t )- x e-xwnt sin(1 - x 2 w t )=nn1 - x 21 - x 2 w t )+ x sin( 1 - x 2 w t ) =nnö1 - x 2 cos(e-xwnt1 -1 - x 2æe-xwnt1 - x 2-c1 - x 2脈沖響應(yīng)為ç- x wt +

3、ar ÷2at1n（3-110）siç÷nxèø系統(tǒng)é-1ù1 - x 2 wnwnk(t) = h (t) = L F(s) = L ê¢-1ú(s + xw ) + (1 - xw222)n1 - x 2 úûêëne-xwn t sin (1- x 2 w t )wn=（3-11）n1- x 2典型欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖 3-11 所示。響應(yīng)曲線位于兩條包絡(luò)線1 ± e-xwnt1 - x 2 之間，如圖 3-12 所示。包絡(luò)線收斂速率取

4、決于xw （特征根實(shí)部之模），n響應(yīng)的阻尼振蕩頻率取決于 1 - x 2w （特征根虛部）。響應(yīng)的初始值 h(0) = 0 ，初始斜率nh¢(0) = 0 ，終值h(¥) = 1。圖 3-11 典型欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)3欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)計算l 峰值時間t p ：令 h¢(t) = k (t) = 0 ，利用式（3-11）可得sin ( 1- x 2 w t ) = 0n1 - x 2 w t = 0, p , 2p , 3p , Ln即有由圖 3-1，并根據(jù)峰值時間定義，可得pt p =（3-12）1 - x 2 wnl 超調(diào)量s 0 0 ：將式（3-12）

5、代入式（3-10）整理后可得-xph(t p ) = 1 + e1-x 2= h(t p ) - h(¥) ´100= e-xp1-x 2s ´100（3-13）h(¥)可見，典型欠阻尼系統(tǒng)的超調(diào)量s 0 0 只與阻尼比x 有關(guān)，兩者的關(guān)系如圖 3-13 所示。l 調(diào)節(jié)時間ts ：用定義求解欠阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間比較麻煩，為簡便計，通常按階躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入 5誤差帶的時間計算調(diào)節(jié)時間。令e -xwnte-xwnt1 +-1= 0.051 - x 21 - x 2可解得ln 0.05 + 1 ln(1 - x 2 )3.5t = -2»sxwxw

6、nn（ 0.3 < x < 0.8 ）（3-14）式（3-12）式（3-14）給出了典型欠阻系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的計算公式?？梢?，典型欠阻尼系統(tǒng)超調(diào)量s 0 0 只取決于阻尼尼比x ，而調(diào)節(jié)時間ts 則與阻尼比x 和自然頻率wn 均有關(guān)。按式（3-14）計算得出的調(diào)節(jié)時間ts 偏于保守。xw n 一定時，調(diào)節(jié)時間ts 實(shí)際上隨阻尼比x 還有所變化。圖 3-14 給出當(dāng) T = 1 wn 時，調(diào)節(jié)時間ts 與阻尼比x 之間的關(guān)系曲線。可看出，當(dāng)x = 0.707 （ b = 45° ） 時， ts » 2T ，實(shí)際調(diào)節(jié)時間最短， s 0 0 = 4.32 0 0 &#

7、187; 5，超調(diào)量又不大，所以一般稱x = 0.707 為“最佳阻尼比”。4典型欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及極點(diǎn)分布之間的關(guān)系根據(jù)式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以進(jìn)一步討論系統(tǒng)動態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)分布間的規(guī)律性。當(dāng)wn 固定，x 增加（ b 減小）極點(diǎn)在 s 平面按圖 3-15 中所示的圓弧軌跡（I）移動，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量s 減??；同時由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸， xwn 增加，調(diào)節(jié)時間ts 減小。圖 3-16(a)給出wn =1，x 改變時的系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程。當(dāng)x 固定，wn 增加極點(diǎn)在 s 平面按圖 3-15 中所示的射線軌跡（II）移動，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量s

8、不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，xwn 增加，調(diào)節(jié)時間ts 減小。圖 3-16(b)給出了x =0.5( b = 60° )，wn 變化時的系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程。一般實(shí)際系統(tǒng)中（如圖 3-6 所示），T0 是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)增益極點(diǎn)在 s 平面按圖 3-15 中所示的垂K 是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。 K 增大直線（III）移動，阻尼比x 變小，超調(diào)量s 會增加。圖 3-16(c)給出T0 = 1， K 變化時系統(tǒng)階躍響應(yīng)的過程。綜合上述討論：要獲得滿意的系統(tǒng)動態(tài)性能，應(yīng)該適當(dāng)選擇參數(shù)，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于 b = 45° 線附近，使系統(tǒng)具有合適的超調(diào)量，并根據(jù)

9、情況盡量使其遠(yuǎn)離虛軸，以提的快速性。掌握系統(tǒng)動態(tài)性能隨參數(shù)及極點(diǎn)位置變化的規(guī)律性，對于分析和設(shè)計系統(tǒng)是十分重要的。圖 3-16 (a) wn = 1 , x 改變系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖 3-16 (b) x = 0.5 , wn 改變系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖 3-16 (c) T = 1 ， K 改變系統(tǒng)階躍響應(yīng)例 3-5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-17 所示。（1）當(dāng)開環(huán)增益 K = 10 時，的動態(tài)性能指標(biāo)；（2）確定使系統(tǒng)阻尼比x = 0.707 的 K 值。解 （1）當(dāng) K = 10閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)100F(s) =1 + G(s)s 2 + 10s + 100與系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式比較，得10w = 10

10、0 = 10x = 0.5n2 ´10t=p=p= 0.363p1 - x 2 w1 - 0.52 ´10ns = e-xp1-x 2= e -0 5p / 1-0 52= 16.3 3.53.5t = 0.7xw0.5 ´10sn相應(yīng)的階躍響應(yīng)如圖 3-18 所示。10K(2)F(s) =，與系統(tǒng)傳遞+ 10s + 10Ks 2函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式比較，得ìw n=10K10ïíx =ïî210K100 ´ 2令x = 0.707 ，得 K= 54 ´10例 3-6 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-19 所示。求

11、開環(huán)增益 K 分別為 10，0.5，0.09性能指標(biāo)。的動態(tài)解 當(dāng) K =10， K 0.5為欠阻尼狀態(tài)，當(dāng)K =0.09為過阻尼狀態(tài)，應(yīng)按相應(yīng)的公式計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)，列表計算，見表 3-4。圖 3-20（a）,（b）分別給出了不同 K 值時的系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線?？梢?，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)可以使系統(tǒng)動態(tài)性能有所，但動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能對 K 的要求相互的程度有限；而且，一般只能綜合考慮，取折中方案。用后面介紹的速度反饋或比例加微分可以進(jìn)一步提的動態(tài)性能。K = 10, 0.5, 0.09圖 3-20極點(diǎn)的分布及階躍響應(yīng)表 3-4例 36 的計算結(jié)果K計算100.50.09開環(huán) 傳遞

12、函數(shù)G (s) =101s(s + 1)G (s) =0.52s(s + 1)G (s) = 0.093s(s + 1)閉環(huán) 傳遞函數(shù)F (s) =101s 2 + s + 10F (s) =0.52s 2 + s + 0.5F (s) =0.093s 2 + s + 0.09特征參數(shù)ìwn = 10 = 3.16ïïx =1= 0.158í2 ´ 3.16ïïîb = arccosx = 81°ìwn = 0.5 = 0.707ïïx =1= 0.707í2 &#

13、180; 0.707ïïîb = arccosx = 45°ìïwn =0.09 = 0.3íïx =1= 1.67î2 ´ 0.3特征根l1,2 = -0.5 ± j3.12l1,2 = -0.5 ± j0.5ì l1 = -0.1ì T1 = 10íl = -0.9í = 1.11î 2îT2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及階躍響應(yīng)分別如圖 3-21(a), (b)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)例 3-7K1, K 2 , a 的值。解結(jié)構(gòu)

14、圖可得K1 K 2F(s) =s 2 + as + K2與系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式比較，得K = wü22ný（3-15）a = 2xwn þ由階躍響應(yīng)曲線有K1 K 2h(¥) = 2 = lim sF(s)R(s) = lim= K（3-16）s 2 + as + K1s®0s®02=p= 0.75ì tïp1 - x 2wín= 2.18 - 2 = 0.09 = e-xp /ïs 01-x 2ïî02ìx = 0.608íw（3-17）聯(lián)立求解得= 5

15、.278î n將式（3-17）代入式（3-15）得ìK = 5.2782 = 27.852íî a = 2 ´ 0.608 ´ 5.278 = 6.42因此有 K1 = 2,K 2 = 27.85,a = 6.42 。關(guān)于系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的討論，方法與一階系統(tǒng)類似，在此不再贅述。表 3-5中給出了不同阻尼比下系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)公式及曲線，供查閱。動態(tài)性能指標(biāo)ìpïtp = 1.01ï1 - x 2wnï-xp 1-x 2ís 0 0 = e= 60.4 0 0ï3.5