新 基本不等式的證明（課堂PPT）

1、1基本不等式的證明基本不等式的證明 無錫輔仁高中無錫輔仁高中 魏魏 民民2問問 題題 情情 境境 1 1 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，有，有 恒成立，即恒成立，即 . 探究：探究： 1. 分別用分別用 代替上面不等式中的代替上面不等式中的x、y， 會(huì)得到什么式子會(huì)得到什么式子 ？ 2. 對(duì)上述實(shí)數(shù)對(duì)上述實(shí)數(shù)a、b，須有何限制條件？，須有何限制條件？ 20 xy,ab222xyxy3. 上述不等關(guān)系中，何時(shí)取到上述不等關(guān)系中，何時(shí)取到“=”？2abab0,0abab當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)3問問 題題 情情 境境 2 2 如圖如圖, AB為半圓的直徑為半圓的直徑, C為圓周上一動(dòng)點(diǎn)為圓周上一動(dòng)點(diǎn), H為垂足為

2、垂足. 設(shè)設(shè)AH=a, HB=b,半弦半弦CH不大于半徑不大于半徑COOHBCACHAB把把 稱為稱為a, b的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)， 把把 稱為稱為a, b的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù).2abab探究：探究：1試指出圖中哪些線段的長(zhǎng)度分別等于試指出圖中哪些線段的長(zhǎng)度分別等于a, b的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 和幾何平均數(shù)？和幾何平均數(shù)？ 2能否比較出兩者的大小關(guān)系？能否比較出兩者的大小關(guān)系？ ,2abCOCHab2abab2ababab4數(shù)：數(shù)：形：半弦不大于半徑形：半弦不大于半徑2abab 20ab5如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”）. 2abab這個(gè)不等式稱為

3、這個(gè)不等式稱為基本不等式基本不等式. 0,0ab 剛才，我們從數(shù)和形兩個(gè)角度找到也證剛才，我們從數(shù)和形兩個(gè)角度找到也證明了基本不等式明了基本不等式. 那么那么, 這個(gè)基本不等式還有其他哪些證明這個(gè)基本不等式還有其他哪些證明方法呢方法呢?6證明不等式本質(zhì)上就是比較大小，證明不等式本質(zhì)上就是比較大小，那么比較大小最常用的方法是什么呢？那么比較大小最常用的方法是什么呢？ 比較法，作差比較法，作差(或作商或作商)7說明：比較法證明不等式的步驟：說明：比較法證明不等式的步驟： 作差（或作商）作差（或作商）， 變形：變形：通分、通分、因式分解、配方等因式分解、配方等， 判斷差式的符號(hào)判斷差式的符號(hào)， 結(jié)論

4、結(jié)論. 2abab22122abab21()2ab2abab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”).082736求證求證: 剛才在做差后的配方變形是不少同學(xué)沒有想到的，剛才在做差后的配方變形是不少同學(xué)沒有想到的， 確實(shí)有些不等式的證明用比較法還是很困難的確實(shí)有些不等式的證明用比較法還是很困難的例如例如,請(qǐng)看請(qǐng)看92abab22abab2242abaabb2202aabb要證要證 ， 只要證只要證 ，只要證只要證 ，只要證只要證 ，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以原不等式成立因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以原不等式成立,20ab只要證只要證 .當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”.102abab2 a

5、bab02aabb20ab要證要證 ,只要證只要證 ,只要證只要證 ,只要證只要證 .因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以原不等式成立因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”.11條件條件難入手難入手結(jié)論結(jié)論顯然成立顯然成立結(jié)論結(jié)論變形變形再變?cè)僮兒?jiǎn)單點(diǎn)簡(jiǎn)單點(diǎn)再簡(jiǎn)單點(diǎn)再簡(jiǎn)單點(diǎn)再變?cè)僮?73614182abab20ab12條件條件難入手難入手結(jié)論結(jié)論不過，有的同學(xué)覺得還是習(xí)慣于傳統(tǒng)的不過，有的同學(xué)覺得還是習(xí)慣于傳統(tǒng)的從已知條件出發(fā)推導(dǎo)出要證的結(jié)論從已知條件出發(fā)推導(dǎo)出要證的結(jié)論.1320,ab20,abab 2,abab 2abab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=

6、”).證明：證明：綜合法：綜合法：從已知或從已知或事實(shí)事實(shí)出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出要證的出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出要證的不等式不等式.14 分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蚍治龇ǖ膬?yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，易于明確，易于發(fā)現(xiàn)思路發(fā)現(xiàn)思路. 綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清楚，綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清楚，形式簡(jiǎn)潔形式簡(jiǎn)潔. 證證明明不等式時(shí)常常用分析法尋找解題思不等式時(shí)常常用分析法尋找解題思路，再用綜合法寫出證明過程路，再用綜合法寫出證明過程 15如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”）. 2abab這個(gè)不等式稱為這個(gè)不等式稱為基本不等式基本不等式.

7、0,0ab基本不等式的變式：基本不等式的變式：2abab0,0ab16例例 證明下列不等式證明下列不等式 （1） (a0)； 12aa思考思考1：第（第（1）題若將）題若將a0 改為改為a0) ； 12aa12aa (a1). 131aa思考思考2：第（第（2）題若將）題若將 a 1改為改為a 1，求求 的取值范圍的取值范圍. 11aa19課課 堂堂 小小 結(jié)結(jié)在應(yīng)用基本不等式時(shí)，要注意哪些問題在應(yīng)用基本不等式時(shí)，要注意哪些問題? 不等式的證明有哪幾種常用的方法呢？不等式的證明有哪幾種常用的方法呢？基本不等式成立的條件是基本不等式成立的條件是a0，b0，及當(dāng)且僅當(dāng)及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立比較法比較法，分析法分析法，綜合法綜合法2ab