絕對值與相反數(shù)(基礎)知識講解

1、絕對值與相反數(shù)(基礎)【學習目標】1 .借助數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的概念；2 .知道間 的絕對值的含義以及互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置關系；3 .會求一個數(shù)的絕對值和相反數(shù)，并會用絕對值比較兩個負有理數(shù)的大?。? .通過應用絕對值解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.【要點梳理】要點一、相反數(shù)1 .定義：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.要點詮釋：(1) “只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.(2) “0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.(3)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).(4)求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它

2、的前面添上“-”號即可.2 .性質：(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等(這兩個點關于原點對稱).(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0.要點二、多重符號的化簡多重符號的化簡，由數(shù)字前面“-”號的個數(shù)來確定，若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，如-(-4)=4;若有奇數(shù)個時，化簡結果為負，如-+-(-4)=-4.要點詮釋：(1)在一個數(shù)的前面添上一個“ + ”，仍然與原數(shù)相同，如+ 5 = 5, + ( 5) =- 5.(2)在一個數(shù)的前面添上一個“”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如(3)就是3的相反數(shù)，因此，一(-3) =3.要點三、絕對值1.定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離

3、叫做這個數(shù)的絕對值，例如 +2的絕對值等于2,記作|+2|=2 ; -3的絕對值等于3,記作|-3|=3 .要點詮釋：(1)絕對值的代數(shù)意義： 一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即對于任何有理數(shù) a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2)絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.(3) 一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.2.性質：（1） 0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù).（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負性，

4、即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.要點四、有理數(shù)的大小比較1.數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 avb.（2,法則比較法：疝。兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質符號分類，情況如下:兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0:正數(shù)大于0負數(shù)與0:負數(shù)小于0要點詮釋：利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小的步驟：（1）分別計算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大?。海?）判定兩數(shù)的大小.3 . 作差法：設a、b為任意數(shù)，若 a-b >0,則a>b;若a-b = 0,則a=b;若a-b <

5、 0, a vb;反之成立.a .aa4 .求商法：設a、b為任息正數(shù)，右一 1,則a b；若一1,則a b；若一1,則 bbba b；反之也成立.若 a、b為任意負數(shù)，則與上述結論相反.5 .倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念1 1 . （2016?益陽）-二一的相反數(shù)是（）2016A. 2016B . - 2016 C . D. 一 一20162016【思路點撥】 解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數(shù)的特征“只有符號不同”，所以只要將原數(shù)的符號變?yōu)橄喾吹姆?，即可求出其相反?shù).【解析】解:12016只有符號不同2016的相反數(shù)是12016故選

6、：C.【總結升華】 求一個數(shù)的相反數(shù)，只改變這個數(shù)的符號，其他部分都不變.舉一反三：【變式】（2015以水）若a與1互為相反數(shù)，則|a+1|等于（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B類型二、多重符號的化簡V 2.化簡：(1) - + - (+3) ;(2) -(- | -3| ).【答案與解析】解：(1)原式=-+ - 3= - - 3=3 ;(2)原式=- - - (-3) = +3= - - 3=3 .【總結升華】運用多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個負號.若有偶數(shù)個，則結果為正；若有奇數(shù)個，則結果為負.類型三、絕對值的概念33,求下列各數(shù)的絕對值.O11

7、- , -0.3 , 0,3 -11【思路點撥】11, -0.3 , 0,31在數(shù)軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數(shù)字就是各數(shù)的絕對值.還可以用絕對值法則來求解.【答案與解析】、一 一一 11 " 11萬法1：因為11到原點距離是11個單位長度，所以11 11.因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以|-0.3| =0.3.因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0| =0.1 一31個單位長度，所以2一, 1，一， -一因為 31到原點的距離是2方法2:因為 11 0,所以211211211.2因為-0.3 <0,所以 |-0.3| =-(-0.3)=0.3 .因為0

8、的絕對值是它本身，所以|0| =0因為3。2【總結升華】求一個數(shù)的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解(如方法1),一種是利用絕對值的代數(shù)意義求解 (如方法2),后種方法的具體做法為：首先判斷這個數(shù)是 正數(shù)、負數(shù)還是零.再根據(jù)絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數(shù)，還是零.從而求出該數(shù)的絕對值. 類型四、比較大小.比較下列有理數(shù)大小:-1 和 0;(2)-2和 |-3|;1 一 1 和 一 ；(4)10.1321111【答案】(1)0大于負數(shù)，即-1V0;(2)先化簡|-3| =3,負數(shù)小于正數(shù),所以-2 <3,即-2v|-3 ;（3）先化簡(4)先化簡

9、 | 11,0.10.1,這是兩個負數(shù)比較大?。阂驗?1 1, 0.1 0.1,而1 0.1,所以1【解析】（2）、（3）、（4）先化簡，再運用有理數(shù)大小比較法則.【總結升華】 在比較兩個負數(shù)的大小時，可按下列步驟進行： 先求兩個負數(shù)的絕對值， 再比 較兩個絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.舉一反三：【高清課堂：絕對值比大小 356845 典型例題2】【變式】比大?。?6_3-3- ；-|-3.2|-（+3.2）;0.00011000;6 7 ''1.38c-1.384 ;-兀-3.14 .【答案】>二;>><類型五、絕

10、對值非負性的應用 揖 一 _ 5.已知 |2-m|+|n-3|=0,試求 m-2n 的值.【思路點撥】由I a| > 0即絕對值的非負性可知，|2-m | > 0, | n-3 | > 0,而它們的和為 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 =0,所以 m= 2, n = 3.【答案】解：因為 |2-m|+|n-3|= 0且|2-m| >0, |n-3| >0所以 |2-m| =0, |n-3| =0即 2-m=0, n-3 = 0所以 m= 2, n=3故 m-2n=2-2 X3=-4 .【解析】由I a | &

11、gt; 0即絕對值的非負性可知，| 2-m | >0, | n-3 | > 0,而它們白和為0.所 以 I 2-m | = 0, |n-3| =0.因此，2-m=0, n-3 =0,所以 m= 2, n=3.【總結升華】 若幾個數(shù)的絕對值的和為0,則每個數(shù)都等于 0,即|a|+|b|+ +|m|=0時，貝U a= b= -= m= 0.類型六、絕對值的實際應用Ce.正式足球比賽對所用足球的質量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質量檢測結果，用正數(shù)記超過規(guī)定質量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質量的克數(shù).檢測結果（單位：克）：-25 ,+10,-20, +30, +15,-40.裁判員應該選擇哪

12、個足球用于這場比賽呢？請說明理由.【答案】因為| +10 | < | +15 | < | -20 | V | -25 | V | +30 | V | -40 | ,所以檢測結果為+10的足球的質量好一些.所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽.【解析】根據(jù)實際問題可知，哪個足球的質量偏離規(guī)定質量越小，則足球的質量越好.這個偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大.【總結升華】 絕對值越小，越接近標準.【變式】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調和油，根據(jù)質量要求，凈含量（不含包裝）可以有0.002L的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負數(shù).檢查結果如下表：+0.0018