新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+練習(xí)

1、第二章：實(shí)數(shù)知識(shí)梳理【無(wú)理數(shù)】1 .定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)；注：它必須滿足“無(wú)限”以及“不循環(huán)”這兩個(gè)條件。2 .常見(jiàn)無(wú)理數(shù)的幾種類型：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有 的一些數(shù)，如：2- , 3等；（2）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)（看似循環(huán)而實(shí)則不循環(huán)）：如：2.010 010 001 000 01-（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0）等。（3）無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的和差結(jié)果都是無(wú)理數(shù)。如：2-是無(wú)理數(shù)（4）無(wú)理數(shù)乘或除以一個(gè)不為0的有理數(shù)結(jié)果是無(wú)理數(shù)。如2 ,（5）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如 72%；'5,"9等；應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，如：J9等；無(wú)理數(shù)也不一定帶根號(hào)，

2、如：）3有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)則是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。例：（1）下列各數(shù)： 3.141、0.33333、 J507、兀、 $2.25、 2 .0.3030003000003（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加 2）、其中是有理數(shù)的有;是無(wú)理數(shù)的有。（填序號(hào)）（2）有五個(gè)數(shù):0.125125- ,0.1010010001- ,- ,J4 ,處2其中無(wú)理數(shù)有 （）個(gè)【算術(shù)平方根】：1 .定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2 a,那么，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算

3、術(shù)平方根，記為：“八”, 讀作，“根號(hào)a"，其中，a稱為被開(kāi)方數(shù)。例如 32=9,那么9的算術(shù)平方根是3,即J9 3。特別規(guī)地，0的算術(shù)平方根是0,即J0 0,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根2 .算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：（1）若V'a有意義，則被開(kāi)方數(shù) a是非負(fù)數(shù)。（2）算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)。3 .算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：互；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：iva。例：（1）下列說(shuō)法正確的是（）A. 1的立方根是1 ;(2)下列各式正確的是()A、場(chǎng) 9B、

4、3.14(3)式3)2的算術(shù)平方根是 B . J42 ; ( C)、v'81 的平方根是3 ;(D)、0沒(méi)有平方根;3.14C、27913 D、用 33 22(4)若 Jx有意義，則 JX1 0,求c的取值范圍。(5)已知 ABC的三邊分別是a,b,c,且a,b滿足a 3 (b 4)2(6)(提高題)如果x、y分別是4-小的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求 x - y的值.平方根：1 .定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2 a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根；，我們稱x是a的平方(也 叫二次方根)，記做：xJa(a 0)2 .性質(zhì)：(1) 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；(2) 0只有一

5、個(gè)平方根，它是 0本身； (3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根例(1)若寸'7的平方根是土 2,則x=; J16的平方根是 (2)當(dāng)x 時(shí)，J3 2x有意義。(3) 一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和m-4,則m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？3. «a)2(a 0)與d/的性質(zhì)1 1) (<a)2 a(a 0)如：47)2 7(2) Ta2 |a|中，a可以取任意實(shí)數(shù)。如 后 |5| 57r3)2 |-3| 3例：1.求下列各式的值(1)肝(2)期17)2(3) (-J49) 22 .已知，(a 1)2 a 1,那么a的取值范圍是 。 3.已知2<x< 3化簡(jiǎn)J(2-x)2 |x 3

6、| 。【立方根】1.定義：一般地，如果以個(gè)數(shù) x的立方等于a,即x3=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)記 為嗚，讀作，3次根號(hào)a。如23=8,則2是8的立方根，0的立方根是0。2.性質(zhì)：正數(shù)的立方根的正數(shù)；0的立方根是0;負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。立方根是它本身的數(shù)有0,1, -1.例：(1) 64的立方根是 若需 2.89,3 ab 28.9,則b等于(3)下列說(shuō)法中：3都是27的立方根， 浮 y ,J64的立方根是2,3，8 24。其中正確的有 ()A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè) D、4個(gè)【估算】用估算法確定無(wú)理數(shù)的大小：對(duì)于帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的近似值得確定，可以通過(guò)平方運(yùn)算或立方運(yùn)算并

7、采用“夾逼法”，即兩邊無(wú)限逼近，逐級(jí)夾逼來(lái)完成。首先確定其整數(shù)部分的范圍，再確定十分位，百分位等小數(shù)部分。“精確到”與“誤差小于”的區(qū)別：精確到1m,是指四舍五入到個(gè)位，答案唯一；誤差小于1m,答案在其值左右1m內(nèi)都符合題意，答案不唯一。方法點(diǎn)撥：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)平方根(立方根)及開(kāi)平方(開(kāi)立方)的定義，進(jìn)而采取兩邊夾逼的辦法求解。例：估算下列各數(shù)的大小(1) 7327(誤差小于 0.1)(2) J327(精確到 0.1)(3) 3/3345(誤差小于 1)用估算的方法比較數(shù)的大小用估算法比較兩個(gè)數(shù)的大小，一般至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)，且在比較大小時(shí)，一般先采用分析法，估算出無(wú)理數(shù)的大致范圍

8、，再作具體比較當(dāng)比較兩個(gè)帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的大小時(shí)可用如下結(jié)論：(1)若a> b>0,VaVb(2)若 a>b,貝U3G3/b或 a3b3(3)若a、b都為正數(shù)，且a> b時(shí)，則s2>b2例：通過(guò)估算比較下列各組數(shù)的大小比較兩個(gè)數(shù)的大小：方法一：估算法。如 3V <10 < 4方法二：作差法。如 a>b則a-b> 0.方法三：乘方法如比較26與3m的大小。例：比較下列兩數(shù)的大小(1). 10-325、2與3, 5定義：(1)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒(méi)有最大的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)；絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0,最大的負(fù)整數(shù)是-1。 (2)實(shí)

9、數(shù)也可以分為正實(shí)數(shù)、0負(fù)實(shí)數(shù)。1a(a 0)實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a;實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是一(aw 0)；實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|=,它的幾何意義aa(a 0)是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。實(shí)數(shù)的大小比較法則： 實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0, 0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。(在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù))。對(duì)于一些帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)，我們可以通過(guò)比較它們的平方或者立方的大小。實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則和運(yùn)算順序與有理數(shù)的一實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系： 每個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)

10、是一一對(duì)應(yīng)的(1)每個(gè)實(shí)數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。(2)數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示已個(gè)實(shí)數(shù)。例：(1)下列說(shuō)法正確的是()；A、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示；B、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)；C、1和2之間的無(wú)理數(shù)只有 V? ; D、不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)。(2) a, b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是()11>a0 bA、7a bB、vabD、vba(3)比較大小(填“>”或“ <”).3 Tic ,J3 v20 ,7<6 6J7 ,(4)數(shù)"2, 3的大小關(guān)系是()A. .732B. 3'72 C.2.73D.327(5)將下列各數(shù):2

11、,3f-8,<3, 1 J5,用 “v” 連接起來(lái);(6)若 a 3,Jb 2,且 ab 0,則：a b =【二次根式】定義：形如ja(a 0)的式子叫做二次根式，a叫做被開(kāi)方數(shù)注意：(1)從形式上看二次根式必須有二次根號(hào)“ J ”,如J9是二次根式，而 J9 =3,3顯然就不是二次根式。(2)被開(kāi)方數(shù)a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式。若 a是數(shù)，則這個(gè)數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；若 a是代數(shù)式，則這個(gè)代 數(shù)式的取值必須是非負(fù)數(shù)，否則沒(méi)有意義。例：下列根式是否為二次根式(1) V-3 V73f(3) -Ti(4) J2；3二次根式的性質(zhì)：性質(zhì)1： Tab 7ajb(a 0,b 0)積的算術(shù)平方根等于積中各

12、因式的算術(shù)平方根的積，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)也可以對(duì) 二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。性質(zhì)2：擔(dān) iR.(a 0,b 0)商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根。、, b b最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)中不含分母，也不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。例：1化簡(jiǎn):(1) 12 15(2) V27a4b2(b 0).lx整理范本2.計(jì)算:.1. 0.523 1 1 84.273 0.1253116._ 2 一一33.已知：x 7121, y 10.064 ,求代數(shù)式Jx 2Jx 10y 3/ 245y 的值。6.(提高題)觀察下列等式：回答問(wèn)題:1 1 -X2 2 1116n表示的

13、等式，并加以驗(yàn)證。（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請(qǐng)猜想（2）請(qǐng)按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫(xiě)出用課后練習(xí)一、重點(diǎn)考查題型：1.-1的相反數(shù)的倒數(shù)是 2.已知| a+3|+M1 =0,則實(shí)數(shù)（a+b）的相反數(shù)3 .數(shù)一3. 14與一J!的大小關(guān)系是 4.和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的是 5 .和數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)A距離等于2. 5的B所表示的數(shù)是 6 .在實(shí)數(shù)中幾一5 ,0,由 -3. 14,出 無(wú)理數(shù)有 個(gè)7 . 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（A）非負(fù)數(shù)（B）非正數(shù)（C）負(fù)數(shù) （D）正數(shù)8 .若 x< 3,貝b x+3 | =。9 .下列說(shuō)法正確是（）（A）有理數(shù)都是實(shí)數(shù)（B

14、）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)（B）帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)（D）無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)10 .實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大?。?1) c-b 和 d-a(2) bc 和 ad二、考點(diǎn)訓(xùn)練：*1.判斷題：(1)如果a為實(shí)數(shù)，那么一a一定是負(fù)數(shù)；()(2)對(duì)于任何實(shí)數(shù)a與b,|a b|=|b a|恒成立；()(3)兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是無(wú)理數(shù)；()(4)兩個(gè)無(wú)理數(shù)之積不一定是無(wú)理數(shù)；()(5)任何有理數(shù)都有倒數(shù)；()(6)最小的負(fù)數(shù)是一1;()(7) a的相反數(shù)的絕對(duì)值是它本身；()(8)若|a|=2,|b|=3 且 ab>0,貝U a b=-1;()2.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里

15、| 3| , 21. 3, 1 . 234,ctg45° ,1.2121121112 中無(wú)理數(shù)集合2 ,m，(也-a/3 )0, 3 2負(fù)分?jǐn)?shù)集合整數(shù)集合 非負(fù)數(shù)集合*3.已知 1<x<2,則 |x 3|+(1-x)2 = 4,下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)?-3,業(yè)-1, 3,- 0. 3,3 1,互為相反數(shù)： 互為倒數(shù)： 互為負(fù)倒數(shù)： *5.已知x、y是實(shí)數(shù)，且(X-2 ) 2和| y + 2 |互為相反數(shù)，求x , y的值6.a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2,|a+b|求;+4m-3cd=2m +1*7.已知,一 、2.2(

16、a - 3b) +| a 4|a+2=0,求 a + b =三、解題指導(dǎo):1.卜列語(yǔ)句正確的是（A、無(wú)盡小數(shù)都是無(wú)理數(shù)B、無(wú)理數(shù)都是無(wú)盡小數(shù)2.2.C、帶報(bào)號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（A、整數(shù)B、有理數(shù)零是（C、D、無(wú)理數(shù)A、最小的有理數(shù)B、絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)4.如果a是實(shí)數(shù)，下列四種說(shuō)法:（1） a 2和| a |都是正數(shù)，（2） |不帶報(bào)號(hào)的數(shù)一定不是無(wú)理數(shù)oC、最小的自然數(shù)=a,那么a一定是負(fù)數(shù),D、最小的整數(shù)1（3）a的倒數(shù)是a , （4） a和一a的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè),幾個(gè)是正確的有*5.比較下列各組數(shù)的大小: 2 >/3 _Vl2(2)a<b<0 時(shí)，

17、a 6.若a,b滿足|4-a2|+ a+ba+22a+3b=0,則a的值是*7.實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O是原點(diǎn)，且|a|二|c|(1) 判定a+b,a+c,c-b的符號(hào)(2) 化簡(jiǎn) |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8.數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)一1,若AB = 3,則點(diǎn)B所表示的數(shù)為9 .已知 x<0,y>0,且 y<|x| ,用"<"連結(jié) x, x, 一 |y| , y。10 .最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11 .絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12 .

18、把下列語(yǔ)句譯成式子：(1) a是負(fù)數(shù); (2) a、b兩數(shù)異號(hào)； (3) a、b互為相反數(shù)(4) a、b互為倒數(shù); (5)x與y的平方和是非負(fù)數(shù) ;(6) c、d兩數(shù)中至少有一個(gè)為零 ; (7) a、b兩數(shù)均不為0。*13.數(shù)軸上作出表示也，3 ,一寸5的點(diǎn)。四.獨(dú)立訓(xùn)練：1 . 0的相反數(shù)是, 3- ji的相反數(shù)是,38的相反數(shù)是; ji的絕對(duì)值是, 0的絕對(duì)值是,木-木的倒數(shù)是2 .數(shù)軸上表示一3. 2的點(diǎn)它離開(kāi)原點(diǎn)的距離是 。A表示的數(shù)是一:，且AB=J ,則點(diǎn)B表示的數(shù)是。232 223 -3/3 ,m1也)o-y ,0. 1313- -,2cos6(0i 31,1. 101001000(兩 1 之間依次多一個(gè)0),其中無(wú)理數(shù)有,整數(shù)有,負(fù)數(shù)4 .若a的相反數(shù)是27,貝U | a|=； 5.若|a| =y2 ,貝U a=5 .若實(shí)數(shù)x, y滿足等式（x+3） 2+ | 4-y | =0,則x + y的值是6 .實(shí)數(shù)可分為（）A、正數(shù)和零B、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)C、負(fù)數(shù)和零 D、正數(shù)和負(fù)數(shù)*7.若2a與1 a互為相反數(shù)，則a等于a=8.當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，yja = -a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A、原點(diǎn)右側(cè) B、原點(diǎn)左側(cè) C、原點(diǎn)或原點(diǎn)的右側(cè)D、原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)aba b*9.代