2020年中考復(fù)習(xí)初中幾何模型總結(jié)

1、、中點(diǎn)模型【模型1】倍長1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點(diǎn)遇平行線延長相交【模型2】遇多個中點(diǎn),構(gòu)造中位線1、直接連接中點(diǎn);2、連對角線取中點(diǎn)再相連【例1】在菱形ABCD和正三角形 BEF中， ABC = 60° G是DF的中點(diǎn)，連接 GC、GE.(1) 如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，若 AB = 10, BF = 4,求GE的長；(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，線段 GE、GC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你的猜想，并給 予證明；(3) 如圖3 ,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時，(2)問中的關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明.【解答】(1)延長EG交CD于點(diǎn)H ,易證明

2、CHG CEG ,貝U GE = J書(2)延長CG交AB于點(diǎn)I ,易證明厶BCE FIE ,則 CEI是等邊三角形,GE= . 3 GC ,且 GE 丄 GC(3)FJ【例2】如圖，在菱形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上一點(diǎn)，連接 DE、EF ,且AE= AF , DAE= BAF.(1) 求證：CE= CF;(2) 若 ABC = 120°點(diǎn)G是線段 AF的中點(diǎn)，連接 DG、EG,求證：DG丄EG.【解答】(1) 證明 ABE也厶ADF即可；(2) 延長DG與AB相交于點(diǎn) H ,連接HE ,證明 HBE EFD即可BA交EF延長線于G點(diǎn),【例3】如圖，在凹四邊形 ABCD

3、中，AB= CD, E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),CD 交 EF 于 H 點(diǎn)，求證： BGE= CHE.【解答】 取BD中點(diǎn)可證，如圖所示:二、角平分線模型【模型1】構(gòu)造軸對稱【模型2】角平分線遇平行構(gòu)等腰三角形【例4】如圖，平行四邊形 ABCD中，AE平分 BAD交BC邊于E, EF丄AE交邊CD于F點(diǎn)，交AD邊于H ,延長BA到G點(diǎn)，使 AG= CF ,連接GF.若BC= 7, DF = 3, EH = 3AE,貝U GF的長為.【解答】延長 FE、AB 交于點(diǎn) I ,易得 CE = CF, BA= BE,設(shè) CE= X,貝U BA= CD = 3+ x, BE = 7 x,3+ X =

4、7 X, X= 2, AB= BE = 5, AE =E魚，作 AJ BC,連接 AC,求得 GF = AC = 3 -HI【結(jié)論】 OAC OBD , AEB = AOB = COD （即都是旋轉(zhuǎn)角）;OE 平分 AED【例5】D導(dǎo)角核心圖形：八字形(2014重慶市A卷)如圖，正方形 ABCD的邊長為6,點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD 上，且 DE 2CE,連接BE.過點(diǎn)C作CF丄BE,垂足是F ,連接OF ,則OF的長為三、手拉手模型【條件】OA = OB, OC= OD , AoB = CoD【答案】6 ；55【例6】如圖, ABC中, BAC= 90°AB = AC

5、,AD丄BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E在AC邊上，連接 BE, AG丄BE于F ,交BC于點(diǎn)求 DFG .C【答案】45°【例7】如圖，在邊長為6 2的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長線一點(diǎn)，BE = DG ,連接EG , CF丄EG交EG于點(diǎn)H ,交AD于點(diǎn)F ,連接CE、BH .若BH = 8 ,則FG =.【答案】5 2【模型1】【條件】【結(jié)論】四、鄰邊相等對角互補(bǔ)模型如圖，四邊形 ABCD 中，AB= AD , BAD + BCD = ABC + ADC = 180°AC平分 BCD【模型2】【條件】如圖，四邊形 ABCD 中，AB= AD , BAD = BC

6、D = 90°【結(jié)論】 ACB = ACD = 45° BC + CD = 2 ACABD【例8】如圖,矩形 ABCD 中，AB = 6, AD = 5, G 為CD中點(diǎn)，DE = DG , FG丄BE于F ,貝U DF為【答案】9 、55B作BN丄AM ,【例10】如圖，正方形 ABCD的面積為B64, BCE是等邊三角形,F是CE的中點(diǎn),BF交于點(diǎn)G,【例9】如圖，正方形 ABCD的邊長為3,延長CB至點(diǎn)M ,使BM = 1 ,連接AM ,過點(diǎn)垂足為N, O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，連結(jié) ON,貝U ON的長為.則DG的長為【答案】4.3 + 4五、半角模型【模型1】B

7、CD = ABC + ADC = 180° EAF =【條件】 如圖，四邊形 ABCD中，AB= AD , BAD + 1 BAD, 點(diǎn)E在直線 BC上，點(diǎn)F在直線 CD上2【結(jié)論】BE、DF、EF滿足截長補(bǔ)短關(guān)系【模型2】【條件】如圖，在正方形 ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足 EAF = 45° AE、AF分別與對角線BD交于點(diǎn)M、N .【結(jié)論】 BE+ DF = EF; S ABE S ADF S AEF ； AH = AB; C ECF 2AB ; BM2+ DN2= MN2；© ANMDNF BEMAEFBNADAM （由 AO :

8、 AH = AO : AB = 1 : 2 可得到 ANM和厶AEF相似比為1 :2 ) S AMN S四邊形MNFE ； 厶 AOMADF ; AONs ABE; 厶AEN為等腰直角三角形， AEN = 45° AFM為等腰直角三角形， AFM = 45° A、M、F、D四點(diǎn)共圓，A、B、E、N四點(diǎn)共圓，M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓.【模型2變形】【條件】在正方形 ABCD中，已知E、F分別是CB、DC延長線上的點(diǎn)，且滿足 EAF = 45°【結(jié)論】BE + EF = DF【模型2變形】【條件】在正方形 ABCD中，已知E、F分別是BC、CD延長線上的點(diǎn)，且滿足

9、EAF = 45°【結(jié)論】DF + EF = BE【例11】如圖， ABC和厶DEF是兩個全等的等腰直角三角形， BAC = EDF = 90°, DEF的頂點(diǎn)E與厶ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于點(diǎn)Q.若AQ = 12, BP= 3,貝U PG =.【解答】連接AE,題目中有一線三等角模型和半角模型 設(shè) AC = 乂，由厶 BPCCEQ 得BP = BE CE = CQ，3/ ( 2X)= £/ (X + 12),解得 X= 12設(shè) PG = y,由 AG2

10、+ BP2= PG2 得 32+ (12 - 3-x)2= x2,解得 X= 5【例12】如圖，在菱形 ABCD中，AB = BD,點(diǎn)E、F在AB、AD上，且AE = DF .連接BF與DE交于點(diǎn)G,連接 CG與BD交于點(diǎn)H ,若CG = 1 ,貝U S四邊形BCDQ =【解答】U34六、一線三等角模型【條件】 EDF = B = C,且 DE = DF【結(jié)論】 BDE CFD【例13】如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn)，EB = 3, GC = 4,連接EF、FG、GE恰好構(gòu)成一個等邊三角形，則正方形的邊為 【解答】如圖，構(gòu)造一線三等角模型， EFH FGI

11、則 BC = BF + CF = HF BH + FI CI = GI - BH + HE CI = .3七、弦圖模型【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段【結(jié)論】 新構(gòu)成了同心的正方形【例14】如圖，點(diǎn)GGE為正方形 ABCD邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長線上,AF = AB, AC與FD交于點(diǎn)G, FAB的平分線交FG于點(diǎn)H ,過點(diǎn)D作HA的垂線交HA的延長線于點(diǎn)I.若 AH = 3AI, FH = 2 2,則DG =【例 15】如圖， ABC 中， BAC= 90°, AB = AC,AD丄BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，連接BE,作AG丄BE于F ,交BC于點(diǎn)G,連接EG,求證

12、：AG + EG= BE.H【解答】過點(diǎn) C作CH丄AC交AG的延長線于點(diǎn)H ,易證【兩點(diǎn)之間線段最短】1將軍飲馬A Fx'.Q2、費(fèi)馬點(diǎn)【垂線段最短】八、最短路徑模型【兩邊之差小于第三邊】【例16】如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個收費(fèi)站P,在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺 H ,設(shè)鋪設(shè)公路 AP、DP以及PH之長度和為I ,求I的最 小值.【解答】600500、. 3 ,點(diǎn)線為最短.【例17】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn)，滿足AE= DF ,連接CF交BD于G,連接BE交AG于H ,若正方形的邊長為 2 ,

13、則線段DH長度的最小值為【解答】如圖，取AB中點(diǎn)P,連接PH、PD ,易證 PH PD- PH 即 DH 5 -1 .【例18】如圖所示，在矩形ABCD中，AB = 4, AD = 4.2 , E是線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動點(diǎn), BEF沿直線EF翻折到 B EF ,連接DB , DB最短為【解答】4【例19】如圖1 , ABCD中，AE丄BC于E, AE= AD , EG AB于G,延長 GE、DC交于點(diǎn)F,連接AF .(1) 若 BE= 2EC, AB = .13 ,求 AD 的長;(2) 求證：EG= BG+ FC ;(3)如圖2,若AF = 5, 2 , EF = 2,點(diǎn)M是線段

14、AG上一動點(diǎn)，連接ME,將厶GME沿ME翻折到 G ME ,連接DG ,試求當(dāng)DG取得最小值時 GM的長.圖1圖24【解答】(1) 3(2) 如圖所示(3)當(dāng)DG最小時D、E、G三點(diǎn)共線解得GM GNMN3 173【練習(xí)1】如圖，以正方形的邊知AE、BE的長分別為3、5,課后練習(xí)題AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE， AEB = 90°, AC、BD交于0.已求三角形OBE的面積.25【解答】5【練習(xí)2】1問題1:如圖1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB= BC = CD,點(diǎn)M, N分別在 AD , CD上， MBN -2 ABC ,試探究線段 MN , AM , CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想；問題2:如圖2 ,在四邊形 ABCD中，AB = BC, ABC + ADC = 180 °,點(diǎn) M , N分別在DA , CD延長1線，若 MBN = 1 ABC仍然成立，請你進(jìn)一步探究線段MN , AM , CN又有怎么樣的關(guān)量關(guān)系？寫出你2的猜想，并給予證明。囲1團(tuán)上【解答】問題一方法【練習(xí)3】已知：如圖1 ,正方形ABCD中，為對角線 BD上一點(diǎn)，過 E點(diǎn)作EF丄BD交BC于F ,連接尸EEB團(tuán)LLZID.