三年級計算乘除法速算與巧算教師版

1、乘除法 速算與巧算知識要點一、乘法湊整思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數(shù)結合在一起，最后再與前面的數(shù)相乘，使得運算簡便。例如： 4 25 100，8 125 1000，5 20 10012345679 9 111111111 (去 8 數(shù)，重點記憶)7 11 13 1001 (三個常用質(zhì)數(shù)的乘積，重點記憶)理論依據(jù)：乘法交換率：a×D=b×a乘法結合率：(a ×) ×=a×b ×)乘法分配率：(a+b) C=a×c+b×c積不變規(guī)律：a>b=(a ×c) (b ÷)=(a &#

2、247;) (b >C)二、乘、除法混合運算的性質(zhì)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘(或除)以同一個非零數(shù)， 其商不變即：a b (an) (b n) (a m) (b m) m 0, n 0在連除時，可以交換除數(shù)的位置，商不變.即:a b CaCb在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運 算符號一起交換位置(即帶著符號搬家)例如：abcacbbca在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規(guī)則:去括號情形：括號前是“×”去括號后，括號內(nèi)的乘、除符號不變即|!a (b c) a b c a (b c) a b C:括號前是“÷”去括號后，括號內(nèi)的“×變?yōu)椤?#24

3、7;”“÷變?yōu)?“x.”即a (b c) a b c a (b c) a b c添加括號情形：a b Ca 即a b c a加括號時，括號前是“×”原符號不變；括號前是“÷”原符號“×變?yōu)椤?#247;' "÷”為“x.”(be)a b c a (b c)(be)a b c a (b c)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘即(a b) (C d) (a C) (b d) (a d) (b C)上面的三個性質(zhì)都可以推廣到多個數(shù)的情形.兩人和倍乘5、15 25 125【例1】 下面這些題你會算嗎？(1) 125(408

4、)(2)(1004) 25(3)(100 8)25【分析】(1) 125(408)125 401258500010006000(2) (100 4) 25 100 25 4 252500 1002400(3) (100 8) 25 100 25 8 252500 200 2300【例2】 下面這道題怎樣算比較簡便呢？看誰算的快！26 25【分析】26不能被4整除，但26可以拆成6 4 2 ,這樣26 25 ,可轉化為6 4 25再加上2 25 ,這樣 就可速算了.原式(6 4 2) 256 4 25 2 25 600 50650【例3】你知道下題怎樣快速的計算嗎？ 786 5 124 25 9

5、6 125 75 25 8【分析】我們剛剛學過了乘 5 , 25, 125的速算法，大顯身手練一下吧！ 786 5 786 (5 2) 2 7860 2 3930 或 786 5 393 2 5 393 10 3930 124 25 124 (25 4) 4 12400 4 3100 或 124 25 31 4 25 31 100 3100 96 125 96 (125 8) 8 96000 8 12000 或 96 125 12 8 125 12 1000 12000 75 25 8 25 4 75 2 100 150 15000例 4 】計算：8 13 125 =【分析】 根據(jù)乘法湊整原則

6、 8 13 125 8 125 13 1000 13 13000【例5】 為了考察大頭兒子的速算能力，小頭爸爸給他出了一道題，并且限時一分鐘，小朋友，你能做 到嗎？19 25 64 125【分析】把64分成4 8 2，用乘法結合律便可速算.原式 (25 4) (125 8) (19 2) 100 1000 38 3800000【例6】計算：173 32 125 25.【分析】 原式 173 (4 8) 125 25173 (4 25) (8 125)17300000【例7】請快速計算下面各題. 2004 25 125 792【分析】 2004 25 (2000 4) 25 2000 25 4

7、25 50100 125 792 125 (800 8) 125 800 125 8 1000 100 1000 1000 (100 1) 99000【例 8 】456 2 125 25 5 4 8【分析】原式 456 (2 5) (25 4) (125 8)456 10 100 1000456000000【例9】聰明的你也來試試吧！ 24 15 84 75 39 75 56 625【分析】2415(24242) 10(2412)103608475(214)(253)(213)(425)6310063003975(401)754075175300075292556625(78)(1255)(7

8、5)(8125)351000 35000【例10】請你簡便計算. 536 563815 32 25 68 75【分析】5365536 (5 2)25360 2 268063815(6386382)109570322532 (25 4)43200 4 800687517 4 25 317 3 (4 25)5100【例11】計算：125 16 111 9 【分析】根據(jù)乘法湊整原則整理為125 16 111 9=125 8 2 9992000100012000100011001【例12】計算：4500025 90 =【分析】4500025 90=4500050 45 =4500050 45=1000

9、 50=2099、999【例13】下面各題怎樣算簡便呢？ 12 9 12 99 12 999【分析】利用公式，可以得出結果：12 9 120 12 108 ;12 99 1200 12 1188，此題也可用小技巧：去1添補”法，補”就是 補數(shù)”和為整十或整12 99 =1188百或整千的兩個數(shù)都可稱為互補數(shù)注意：只適用于 兩位數(shù)乘99 ”12去1是1112的補數(shù)是8812 999 12000 12 11988 ,此題可用小技巧：去1添補 沖間隔9”法.注意：只適用于 兩位數(shù)乘999 ”12×999 =£198812去1是11中間隔912的補數(shù)是88【例 14 】計算：123

10、45678987654321 9 2【分析】原式 1111111119999999999 111111111111111111000000000 111111111111111110888888889【例15】算式12345678987654321 63值的各位數(shù)字之和為 。【分析】12345678987654321 63 111111111 111111111 7 9777777777 999999999777777777(1000000000 1)777777777000000000 777777777 777777776222222223所以它的各位數(shù)字之和為 7 8 6 2 8 3 8

11、1?！纠?6】我們快來做做吧？ 123 9 234 99 256 9999【分析】利用公式，可以得出結果，也可以記住下面的小技巧：一個數(shù)9 ,在該數(shù)后添0,再減此數(shù)；一個數(shù)99 ,在該數(shù)后添00,再減此數(shù)；一個數(shù) 刈99 ,在該數(shù)后添000 ,再減此數(shù) 123 9 1230 123 1107 234 99 234 100 234 23166 256 9999 2560000 256 2559744【例 17 】2999 999 999 【分析】計算時9、99、999類的數(shù)字時可以將其看成 10 1、100 1、1000 1或者拆出1和其湊整計算2999 999 9992000 999 999

12、9992000 999000 1001000【例 18 】99 37 4599 83 _【分析】99 37 4599 83100 137 4600 1833700 374600 828300 458345 526 99 99 99【分析】 526 99526 (100 1)526100 52652074 99 9999(100 1) 9900999801【例20】I計算：5499 99 45999222 333 3341999999 999【分析】此題表面上看沒有巧妙的算法，但如果把45和【例19】請快速計算下面各題.99 99行簡算了. 54 此題如果直接乘,(54 45)容易出錯如果將99

13、 99 45數(shù)字較大，54先結合可得99 99 99999變?yōu)?33999222 3333343333 222 333 334 333666333334 333方法一:19999999991000999999 99910009991000 1000(9991)1000000.方法二二 19999999991999999(1000 1)1999999000 999(1999999) 999000 1000000.99,就可以運用乘法分配律進99 (1 99) 9900.3 ,規(guī)律就出現(xiàn)了.(666 334) 333000【例21】小朋友，相信你一定能行噢. 62 97 123 998 626 9

14、97 1234 9998【分析】因為97，998分別比100，1000小3、2 ,利用乘法分配律可得原式62(100 3) 6200 1866014原式123(1000 2) 123 1000 1232 123000246122754原式626(1000 3) 6260001878624122原式1234 (10000 2)1234100001234 2123400002468 12337532【例22】計算：333333 333333【分析】原式 3 111 111 3 111 111999 999 111 111(1000 000 1) 111 111111 111000 000 111

15、111111 110888889【例 23 】計算：333333 999999 .【分析】 原式 333333(1000000 1)333333000 000 333333333332 666 667【例24】若a 11L435 3323 ,則整數(shù)a的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于 ().1004 個 152008 個 3A. 18063B. 18072C. 18079D. 18054【分析】 選C，考點：計算，湊整法.a 141社435 ¾32L331004個152008個35O5C0L35 999L391004個 5 和1003個 02008個 9505(2>c4l35 ( 1C4

16、)00L30 1)1004個 5 和1003個 02008個 0505p50L 40qq00L0 5050451004個 502007個 01004個 5 和 1003個 0504050L 40492949 緲1003個501004個49所以整數(shù)a的所有數(shù)位上的數(shù)字和1003 5 1004 (4 9) 5 18072 乘 11 11、101【例25】你能快速的寫出結果嗎？45 1156 112222 112456 11【分析】可以用公式a 11 a (10 1) 10a a得出：45 11 450 45495另外，還有一種小技巧 一個數(shù)乘以11，兩頭一拉，中間相加”，用公式a 11 a也可用小

17、技巧得：(101)10aa 得:56 11 560 56 61611a用公式a 用小技巧得:(101)10aa得出2222112222 10 2222 2444用公式得：a 11 a (10 1)2 2 2 2× 1 12 2 2222 2 22 4 4 42這是因為：10a a得出:2456 112456 10 245627016用小技巧得:所以27016為結果2 4 56× 1 12 4 562 4 562 7 01 6,這是因為：【分析】第一組：1111開始，第二二位同學接力1111的積再乘以11,第三位同學接力第二二位同學的答案乘以11第二組：1311開始，第二二位

18、同學接力1311的積再乘以11,第三位同學接力第二二位同學的答案乘以11第三組：1511開始，第二二位同學接力1511的積再乘以11,第三位同學接力第二二位同學的答案乘以11第四組：1711開始，第二二位同學接力1711的積再乘以11,第三位同學接力第二二位同學的答案乘以11第五組：1911開始，第二二位同學接力1911的積再乘以11,第三位同學接力第二二位同學的答案乘以11這個活動在于提咼學生的速算能力，教師也可拓展到乘以101,1001的活動）1464117303199652262725289121,143,165,187 ,209 ,1331,1573,1815 ,2057,2299 ,

19、【例26】三個同學為一組，進行乘法接力：（可以讓孩子到黑板上操作第一組第二組第三組第四組第五組【例27 請你計算出下式結果，并總結規(guī)律快點算吧!第一組： 37 101 85 101 79 10123 10101 49 1010169 101010101第二組： 123 1001 287 1001 395 1001001 4567 10001 3985 100010001 43869 1000010000100001【分析第一組： 37 101 3737 85 101 858579 101 7979 （有2個“1”結果就有 2組“ 79”）23 10101 232323 （有3個“ 1”結果就有

20、3組“23”） 49 10101 494949 69 101010101 6969696969 （有幾個 “1；'結果就有幾個 “ 69”）第二組：123 1001 123123 287 1001 287287395 1001001 395395395 （被乘數(shù)是 3位數(shù)，乘數(shù)的1和1之間就夾了 2個0） 4567 10001 45674567 3985 100010001 398539853985 43869 1000010000100001 43869438694386943869 （被乘數(shù)是 n 位數(shù)，乘數(shù) 1 之間就夾了 n 1”個0）【例 28 1000001 999999

21、【分析原式（1000000 1） 999999 999999000000 999999 999999999999.另，可由疊數(shù)的性質(zhì) 直接得出答案為999999999999.【例 29 】2 3 5 7 11 13 172004 2【分析】本題利用特殊數(shù)字乘積特點進行計算：7 11 13 10012357 11 13172004 235172 7 11131001 23517255【例30】請你根據(jù)乘法的湊整35610022300069023690”思路，推算下列各題.23 1030【分析】29529529 (291)1002587000258702570570570 (701)1002549

22、700025497025【例32】I 5 72239 49【分析】原式5 72 11 3137 7(52) (71113) (3 7 7)【例33】求下列算式計算結果的各位數(shù)字之和:【例31】試著用一點技巧吧. 295 295 705 70510 1001 147 10 147147 1471470原:002 P22166.6 66.67 25 .2006個62005個62002MgI 5 511L 10 142-452005個02006個12006個01L 10 (10-4 5)Q06 個 12007個 0356000 356 2356000712 3567121L 10-4 540 11L

23、 105540，1006個1 2008個02006 個 52006個 1 2006個 511L 10 100-43 11L 10 52006個12007 個02006個1數(shù)字和為：1 2006 5 2006 12036.【例34】用簡便方法計算下面的算式：72 78 :71 79 ; 78 38 ;(4) 43 63 .【分析】 直接套用速算法：原式 7 (7 1 100 2 8 5616 ;原式 7 (7 1 100 1 9 5609569.互補數(shù)如果(注意：我們在實際計算中不會這樣詳細列出式子，學生容易將答案錯寫成 是n位數(shù)，則應占乘積的后 2n位，不足的位補 “ 0”)原式(738100

24、 8 82964;原式(463100 3 32709 .除法【例35】小朋友們，下面的計算方法可要聽仔細啦.(81 72) 9(2046 1069 735) 3 291 50 9 50 225 9 5【分析】不同的算式有不同的特點，要學會挑選好辦法去速算我們剛剛學習了除法的運算定律，觀察每個算 式的特點，選擇不同的定律進行計算.我們一眼就可以看出 81 9 9,72 9 8 ,所以運用除法的分配律可以簡便運算.(81 72) 981 9 72 9 9 8 17括號里三個數(shù)都很大，運用除法的分配律后可以使數(shù)變小，簡便了我們的運算.(2046 1059 735)3 2046 3 1059 3 73

25、5 3 682 353 245 84291和9都不是50的倍數(shù)，但是它們的和卻是 50的倍數(shù)，運用除法分配律的逆運算，就可以得出 結果啦.291 50 9 50 (2919) 50 300 50 6這是一個連除，225 9計算起來會比較復雜，但是225 5相比較就會簡單一些，根據(jù)連除的性質(zhì) 交換除數(shù)的位置，商不變，得到比較簡便的運算：225 9 5 225 5 9 45 9 5.【例36】同學們，來個接力賽比一下吧.6480 80(189 27) 9400 16 53 10 17 107128 542400 15 4【分析】依次為：81、24、41、101、5、(497210)72424 8

26、325 7 24 7(540 8172)93500 25(110 77 88) 112、7、43、132、40、140、25【例37】計算：9039030 43043【分析】 原式 903 10010 (43 1001)903 43 10010 1001210【例38】計算的方法很重要，我們要仔細聽啦。(130 65) 13(2046 1069 735)3 981 50 19 50 2275 13 5【分析】不同的算式有不同的特點，要學會挑選好辦法去速算.我們剛剛學習了除法的運算定律，觀察每個算 式的特點，選擇不同的定律進行計算.我們一眼就可以看出130 13 10 , 65 13 5 ,所以

27、運用除法的分配律可以簡便運算.(130 65) 13 130 13 65 13 10 5 15括號里三個數(shù)都很大，運用除法的分配律后可以使數(shù)變小，簡便了我們的運算.(2046 1059 735) 3 2046 3 1059 3 735 3 682 353 245 84981和19都不是50的倍數(shù)，但是它們的和卻是 50的倍數(shù)，運用除法分配律的逆運算，就可以得出結果啦.981 50 19 50 (981 19) 50 1000 50 202275 13計算起來會比較復雜，但是2275 5相比較就會簡單一些，根據(jù)連除的性質(zhì)：交換除數(shù)的位置，商不變，得到比較簡便的運算：2275 13 5 2275

28、5 13 455 13 35 .其他乘除混合【例39】計算：8 7 8 7 【分析】原式=7X7= 49【例40】聰明的你一定能順利的通過最后一關吧. 136 5 8 4032 (8 9) 2460 5 2 527 15 5 125 (16 10) 2560 (10 4)(54 24)(9 4)根據(jù)我們剛剛學過的乘、除法混合運算的性質(zhì)，根據(jù)算式不同的特征選擇不同的性質(zhì)進行巧算，可以減少計算時間并大大提高正確率，不信你就試試吧！利用帶著符號搬家,abCa Cb bC a,136 5 8 136 85 175 85;利用去括號的性質(zhì),a(bC)a bC ,4032(8 9)4032 89504 9

29、56 ;利用去括號的性質(zhì),a(bC)a bC ,125(16 10)125 1610125 82 10 200利用去括號的性質(zhì),a(bC)a bC ,2560(10 4)2560104 1024;利用添括號的性質(zhì),abCa (bC),246052 2460(52)246010 246 ;利用添括號的性質(zhì),abCa (bC),52715 5527 (155)527 31581 ;利用兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積的性質(zhì)5【分析】(a b) (Cd) (a C) (b d) (a d) (b C) (54 24) (9 4) (54 9) (24 4) 6 6 36 .【例41】你會應用計算性質(zhì)嗎？ 3

30、84 12 8 2352 (78) 1200(412)1250(108) 2250 75 3 636 35 7(12656)(7 18)【分析】原式=384 8 12 48 12 48048 2576(2)原式=235278 336 842原式=1200 4 12 1200 12 410044004)原式:= 1250108 125 81000原式=2250(75 3) 2250 22510(6)原式:= 636(357)636 53180原式=(126 18) (56 7)7 856【例42】123 15 5 ；125 16 25 5600【分析】利用利用(25 7) 450 54 65)1

31、23 3 36925 125 25 16 5 16 80添括號”的性質(zhì)，123 15 5 123 (15帶著符號搬家”可以簡便運算，125 16 利用 去括號”以及 帶著符號搬家”可以簡便運算,5600 (25 7)利用添括號”的性質(zhì),5600 25 7 (5600 7)25 800 25 32450 54 6 450 (54 6)450 9 50【例43】計算：111 4 9 3 74 2【分析】原式111 4 3 2(9 74)37 3 4 3 2 (3 3 37 2)4【例 44 】999999999 888888888 1333333332【分析】通過觀察算式中的3個數(shù)字可以看出，它們

32、都與111111111有關，前兩個數(shù)很容易看出，第三個數(shù) 1333333332 2 666666666 2 6 111111111,所以有：原式 9 111111111 8 111111111 (2 6666666669 8 111111111 1111111112 6 111111111 111111111 6 666666666【例45】東東參加智力競猜，有道計算題他暫時算不出來，于是選擇了求助場外朋友這道題是：1 (2 3 (3 4) (4 5 (5 6)等于多少？如果你是東東的朋友，你能幫東東解出來嗎？【分析】根據(jù)乘除混合運算中去括號的性質(zhì)：a (b c) a b c1 (2 3)(3

33、 4)(4 5) (5 6)1233445561 2 61 (6 2)3【例 46 1 (2 3 5 7 11 13 17 19)(38 51 65 77)【分析】 這道題中被除數(shù)以8個因數(shù)相乘形式出現(xiàn)，除數(shù)以4個因數(shù)相乘形式出現(xiàn)，仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)被除數(shù)中的8個因數(shù)可通過交換位置兩兩相乘所得之積恰好分別是除數(shù)中四個因數(shù)相等，即2 1938, 31751 , 51365, 7 11 77 ,所以，這道題的計算就十分簡單了.原式(219)(317) (513)(7 11) (38 51 65 77)38 51 65 77 (38 51 65 77)1【例 47 1 計算：(11 10 9 L 3

34、 2 1(22 24 25 27)【分析】 這道題中被除數(shù)以11個因數(shù)相乘形式出現(xiàn)，除數(shù)以4個因數(shù)相乘形式出現(xiàn)，仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)被除數(shù)中有8個因數(shù)通過交換位置兩兩相乘所得之積恰好分別是除數(shù)中四個因數(shù)的倍數(shù)，即11 222 , 10 5 25 2, 96272 ,8 324 ,所以，這道題的計算就十分簡單了.原式(11 2 22) (10 5 25)(9627)(8 3 24) 7 412 2 17 4112【練習11運用乘法的運算律大顯身手吧，可以記錄自己速算的時間啊. 17 4 25 125 19 8 125 72 25 125 16【分析】由于25 4 100, 125 8 1000,

35、125 4 500 ,運用乘法交換律和結合律，在計算中盡量先把25與4、把125與8或4結合起來相乘后，再與其它數(shù)相乘，以簡化計算. 17 4 25 17 (4 25)1700 125198(1258)1919000 12572125 89 1000 99000 25125162512528(252)(1258)50 100050000或 25125162512544(254)(1254)100 50050000【練習 21計算：13×25×125×4×8=.【分析】 根據(jù)湊整的原則，將 125和8相乘為1000, 25和4相乘，最后結果為:13 25

36、125 4 8=1325 4125 8 =13 100 1000=1300000【練習3】計算：5 64 25 125 2009.【分析】把64拆成2 4 8 ,然后配方.原式 5 (2 4 8) 25 125 2009(5 2) (25 4) (125 8)200910 100 1000 20092009000000【練習4】相信你能快速的計算下面各題，我們一起來做做吧. 23 9 33 99 25 9999【分析】利用乘法分配律的公式，可以得出結果，也可以記住下面的小技巧：一個數(shù)9 ,在該數(shù)后添0,再減此數(shù)；一個數(shù)刈9,在該數(shù)后添00,再減此數(shù)；一個數(shù)刈99 ,在該數(shù)后添000,再減此數(shù)

37、23 9 230 23 20733 99 33 100 33 3267,此題也可用小技巧：去1添補”法，補”就是 補數(shù)”和為整十或整百或整千的兩個數(shù)都可稱為互補數(shù)注意：只適用于兩位數(shù)乘99”.33 >99 =326733去 1是 3233的補數(shù)是6725 9999 250000 25 249975,此題也可用小技巧：去1添補，中間隔99”法，補”就是 補數(shù)”和為整十或整百或整千的兩個數(shù)都可稱為互補數(shù)注意：只適用于 兩位數(shù)乘9999”.25 × 9999 =24997525去1是24中間隔99 25的補數(shù)是75【練習5】怎樣計算更簡便呢？ 45 9 457 99 762 999

38、34 98【分析】 45 9 45 10 45 450 45 405 457 99 457 100 457 45700 457 45243 762 999 762 1000 762 762000 762 761238 34 98 34 100 34 2 3400 68 3332【練習6】兩個十位數(shù)1 111 111 111與9 999 999 999的乘積中有 個數(shù)字是奇數(shù)?【分析】 方法一： 1 111 111 111 99999999991 111 111 111 (10000 000 000 1)11 111 111 110 000 000 000 1 111 111 11111 111 111 108888888889 有10個數(shù)為奇數(shù).方法二：1 9 9奇數(shù)的個數(shù)為111 99 1089奇數(shù)的個數(shù)為2111 999 110889奇數(shù)的個數(shù)為31111 9999 11108889奇數(shù)的個數(shù)為41 111 111 111 999999999911 111 111 108888888889顯然其奇數(shù)的個數(shù)為 10 【練習7】怎樣才能算得又對又快？256 1002154 60168 101 74 201【分析】681016800 68 68687420174 200 74 1480074 148742561002 256 1000 256 2256000 512256512