初中數學中考復習軸對稱第13講通用教師版

1、中考要求例題精講版塊一軸對稱與軸對稱圖形軸對稱的有關概念1. 對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能夠完全重合，那么這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。2. 如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。3. 軸對稱指兩個圖形，軸對稱圖形是指一個圖形。4. 成軸對稱的兩個圖形一定是全等形；全等的兩個圖形不一定成軸對稱。軸對稱及軸對稱圖形的性質1 如果兩個圖形等。一直線對稱，則對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；對應線段相等，對應角相2 軸對稱圖形中對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；軸對稱圖形的對應線段相等，對應角相等。3 線段有

2、兩條對稱軸；角有兩條對稱軸；等腰三角形（非等邊）有兩條對稱軸；等邊三角形有三條對稱軸；等腰梯形有一條對稱軸；矩形有兩條對稱軸；菱形有兩條對稱軸；正方形有四條對稱軸；圓有無數條對稱；MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 1 of 15內容基本要求略高要求較高要求軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分性質；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及相關性質。能運

3、用軸對稱進行圖案設計等腰三角形了解等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的概念，會識別這三種圖形，并理解這三種圖形的性質和判定能用等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質和判定解決簡單問題能用等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的知識解決有關問題中考復習：幾何變換之軸對稱【例1】 下列“表情”中屬于軸對稱圖形的是（）【】根據軸對稱的性質來】C【例2】 有下列語句：沿一條直線翻折后，能夠重合的兩個圖形關于這條直線對稱；一個軸對稱圖形一定能沿一條直線翻折，直線兩側部分相互重合；兩個能重合的圖形一定條直線對稱；一個軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸。其中正確的有（）A.1 句】正確的有，】CB. 2 句C.

4、3 句D. 4 句【例3】 下列語句中錯誤的是（A.線段有兩條對稱軸C. 等腰三角形至少有一條對稱軸）B. 角有一條對稱軸D.等腰三角形只有一條對稱軸【】略】 D【例4】 下列圖形中對稱軸最多的是（）A圓】略】AB正方形C等腰三角形D線段【例5】 如圖，直線 L 是四邊形 ABCD 的對稱軸，若 AB = CD ，有下面的結論： AB CD AC BD AO = OC AB BC ，其中正確的結論有DlOCAB【】主要考查了軸對稱的性質軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；對應線段相等，對應角相等】【例6】 將一個正方形紙片依次按圖 1，a，b 的方式對折，然后沿圖 c 中的虛線裁剪

5、， 展開鋪平，所得到的圖形是圖 2 中的（）d 樣式，將紙圖1MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 2 of 15圖2】依題意，正方形紙片經過兩次對折，因此裁剪后的圖形應該是有兩條對稱軸的圖形，圖 2 中的四個圖形均為有兩條軸對稱圖形，分別作出它們的兩條對稱軸，取圖形的 1 部分與圖 1 中的d 匹配，4D 選項符合題意】D【例7】 如圖 a 是長方形紙帶，DEF=20°，將紙帶沿 EF 折疊b，再沿 BF 折疊c，則圖 c 中的CFE 的度數是（）A、110°B、120°C、140°D

6、、150°【】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變】B【例8】 如圖，等邊DABC 的邊長為1cm ， D 、 E 分別是 AB 、 AC 上的點，將DADE 沿直線 DE 折疊，點 A 落在點 A¢ 處，且點 A¢ 在DABC 外部，則陰影部分圖形的 cm AEDCBA'【】利用軸對稱的性質進行轉化的基本思想】3 版塊二垂直平分線的性質及判定垂直平分線的性質及判定性質：垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，判定：到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上【例9

7、】，在ABC 中，BAC=106°，EF、MN 分別是 AB、AC 的垂直平分線，點 E、M 在 BC上，則EAM= MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 3 of 15AFNMBEC【】本題考查的是線段垂直平分線的性質及三角形內角和定理，能根據三角形內角和定理求出ÐB + ÐC = ÐBAE + ÐCAM = 74° 是解答此題的關鍵】32° 【例10】已知：如圖， ÐABC 及兩點 M 、 N 。求作：點 P ，使得 PM = PN ，且 P

8、點到ÐABC 兩邊所在的直線的距離相等。BBBNNPCCCAAAMMM【】本題考查了，線段的垂直平分線，角平分線的性質及判定，幾何操作與尺規(guī)作圖】因為是兩邊所在的直線，所以有兩個。一： ÐABC 內角平分線與線段 MN 的垂直平分線的交點二： ÐABC 外角平分線與線段 MN 的垂直平分線的交點【例11】下列為邊長為 1 的小正方形組成的網格圖請畫出ABC 關于直線 a 對稱的圖形（不要求寫作法）；求ABC 的面積（直接寫出即可）BBB1【】考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，及利用網格求圖形的面積的能力作此題時，三角形的底和高都不太好計算，可以利用圖中圖形的面

9、積關系計算】如圖： 112【版塊三、軸對稱與線段和差最值問題基本思路：通過軸對稱的性質轉化線段的數量關系MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 4 of 15AA1CaC1ACaNP【例12】如圖，在等腰RtDABC 中， CA = CB = 3 ， E 的 BC 上一點，滿足 BE = 2 ，在斜邊 AB 上求作一點P 使得 PC + PE 長度之和最小，最小值為多少？AAPE'PCEBCEB【】略】如圖，最小值為 13 ?！纠?3】如圖，ÐAOB = 30° ，角內有點 P ，且OP = 5 ，在

10、角的兩邊有兩點Q 、R（均不同于O 點），則PQR 的周長的最小值為P'AAQPPROOBBP''】作點 P 關于OA 的對稱點 P¢ ，作點 P 關于OB 的對稱點 P¢¢ ，連接 P¢P ¢ ，交OA ，OB 于Q ，R 兩點，【ÐAOP = ÐAOP¢ ，ÐBOP = ÐBOP ¢Q ，ROP = OP¢ = OP ¢ = 5則即 為 所 求 ， ÐP¢OP ¢ = 2ÐAOB = 60°

11、; ， P¢OP ¢ 為等邊三角形 P¢P ¢ = 5 ，進而PQR 的周長最小值為 5】5【- BM |最大。【例14】已知： A 、 B 兩點在直線l 的同側，在l 上求作一點 M ，使得| AMBBAAllM【】略】如圖?！眷柟獭壳笤谥本€l 上找一點 P ，使得直線l 為ÐAPB 的角平分線AAB'PBB【】作出對稱點，然后利用軸對稱與等腰三角形】如圖MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 5 of 15板塊四等腰三角形等腰三角形1. 有兩條邊相等的三角形是等腰三角

12、形。2. 等腰三角形的兩腰相等，兩底相等。3. 等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合；簡稱三線合一。4. 等腰直角三角形的兩個銳角都等于 45º。等邊三角形1. 等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都是 60°；三邊都相等。2. 有兩個角相等或兩條邊相等的三角形是等腰三角形。3. 有一個角等于 60º的等腰三角形是等邊三角形?！纠?5】若等腰三角形中有一個角等于50° ，則這個等腰三角形的頂角的度數為()A 50°】分類討論】 80° 65° 或50° 50° 或80°

13、【例16】等腰三角形一個角為 70°, 它的另外兩個角為；【】分情況討論】70° ，40° 或55° ，55°【例17】等腰三角形的一邊長為 3cm,另一邊長為 4cm,則它的周長是；【】分情況討論】10cm 或 11cm【例18】等腰三角形的一邊長為 3cm,另一邊長為 8cm,則它的周長是?！尽糠智闆r討論，同時注意三邊關系】19cm【例19】等腰三角形兩邊長為4 和6 ，則它的面積為（）D. 8 2 或3 7A. 8 2】分類討論B. 8 2 或15C.15【】當腰為 4 時，底邊為6 ，它的面積為3 7 ；當腰為6 時，底邊為 4 時，其

14、面積為82 ，選 D【例20】在DABC 中， AB = AC ，點 D 在 AC 邊上，使 BD = BC ，點 E 在 AB 邊上，使 AD = DE = EB ，則ÐEDB 等于（A. 22.5°A）B. 25°C. 30°D. 37.5°DEBC】引入未知數建立方程】 A【MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 6 of 15【例21】如圖， ÐA = 15° ， AB = BC = CD = DE = EF ，那么ÐFEM 等于（）A. 9

15、0°B. 75°C. 70°D. 60°MECADBF【】略】 B【例22】如圖，在DABC 中， AB = AC ，ÐABC ，ÐACB 的平分線相交于點 F ，過 F 作 DEBC ，交 AB于點 D ，交 AC 于 E 圖中是等腰三角形有A FEDBC【】略】 DADE ， DBDF ， DEFC ， DBFC ， DABC 等腰三角形【例23】已知DABC 中，ÐA = 90° ，ÐB = 67.5° .請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形.（請你利用下面給出的備用圖，畫出兩種

16、不同的分割方法.只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數）.AABBCC【】AA67.5°45°22.5°45°22.5°67.5°22.5°22.5°BCBC【】見【例24】已知：如圖， DABC 中， AB = AC ， ÐA = 36°仿照圖 1，請你再設計兩種不同的分法，將DABC 分割成3 個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形，作圖工具不限，不要求寫出畫法；要求標出所分得的每個等腰三角形的三個內角的度數MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第

17、13 講(通用講).教師版Page 7 of 1536°108°36° 36°36°36° 108°72° 72°【】略】解：36°36°36°108°36°72°72°72°108°72°72°36°108°72°72°36°36°72°36°36°36°36°36°36

18、76;108°72°72°【例25】在正方形 ABCD 所在平面上找一點 P ，使DAPB 是等腰直角三角形，這樣的點 P 你能發(fā)現幾個? 請作出這些點ADCB【】注意從等腰三角形邊的分類入手找到完整.AD（P5）P2（P6）P3BC【】的 6 個點 P1 、 P2 、 P3 、 P4 、 P6 .【例26】等邊三角形除一般的等腰三角形的性質外，它的特有性質主要有：（1）邊的性質：；（2）角的性質：；（3）對稱性：等邊三角形是圖形，它有對稱軸【】略】三邊相等；三個角都是60°【例27】含 30°角的直角三角形的一個主要性質是MSDC 模塊化分級

19、講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 8 of 15P1P4【】略】30° 所對的直角邊是斜邊的一半cm2 的正三角形的邊長是（【例28】面積為25 3A.15 cm）C. 5B.10cm2 cmD. 5cm【】略】如果正三角形的邊長為 a ，則面積為 3 a2 ，因此 3 a2 = 253 ，a = 10 ，選 B【44【例29】已知：如圖 84，ABC 和BDE 都是等邊三角形（1）求證：ADCE；（2）當ACCE時，并證明AB與BE的數量關系【】（1）ABD CBE （2）在CBE 中，30° 所對的直角邊為斜邊的一半【

20、】（1）略；（2）AB = 2BE【例30】如圖，在等邊ABC 中，點 D，E 分別在邊 BC，AB 上， BD = AE ， AD 與CE 交于點 F (1)求證： AD = CE ；(2)求DFC 的度數AEFBCD【】略】（1）證明： ABC 是等邊三角形，BAC =B = 60 ， AB = AC 又 AE = BD ， AEC BDA(SAS) ， AD = CE（2）(1) AEC BDA ，得ACE =BAD ，DFC =FAC +ACE =FAC +BAD = 60 板塊六全等與軸對稱【例31】如圖，在ABC 中， AC = BC ，ÐACB = 90° ，

21、 D 是 AC 上一點， AE BD 交 BD 的延長線于 E ，MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 9 of 15且 AE = 1 BD 求證： BD 是ÐABC 的角平分線2AAEEDDBBCFC】結論要證明：“ BD 是ÐABC 的角平分線”，而且已知條件中有“ AE = 1 BD ”，即“ BD = 2AE ”【2因此可以通過沿 BD 翻折“ DAEB ”構造“ 2AE ”，但是，問題在于“ BD 是ÐABC 的角平分線”：“延長 AE 、 BC 交于點是我們所需要證明的結論，而并非已知

22、條件，所以輔助線的描述F ”】延長 BC 、 AE 交于 F 點，先證明AFC BDC (SAS) ，得 AF = BD = 2AE ，則 AE = FE ，再證ABE FBE 【例32】如圖，在ABC 中， AD BC 于 D ， ÐB = 2ÐC 求證： AB + BD = CD AABECDCDB】根據已知條件，可考慮將DACD 沿 AD 折疊，點C 落在 DB 的延長線上的點 E ，因此將求證的結論轉化為 DE = BD + AB ，因此只需證明 AB = BE 即可，輔助線描述如下：延長 DB 到點 E 使得 DE = CD ，連接 AE ，易證 AD 為線段CE

23、 的垂直平分線，【 AC = AB ， ÐC = ÐE ， ÐABC = 2ÐC CD = DE = DB + BE = DB + AB ÐABC = 2ÐE ÐE = ÐBAE AB = BE也可以，延長 DB 至 E ，使 BE = BA ，連接 AE 易證ÐABC = 2ÐE ，所以ÐC = ÐE ，進而ACE是等腰三角形，根據等腰三角形的三線合一性質可知CD = DE = DB + BE = DB + AB】略【例33】 遇到一個有趣的問題：在矩形 ABCD 中， A

24、D = 8 cm ， AB = 6 cm 。現有一動點 P 按下列方式在矩形內運動：它從 A 點出發(fā)，沿著 AB 邊夾角為 45° 的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為 45° 的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當 P 點碰到 BC 邊，沿著 BC 邊夾角為45° 的方向作直線運動，當 P 點碰到CD 邊，再沿著與CD 邊夾角為45° 的方向作直線運動，如圖 1 所示，問 P 點第一次與 D 點重合前與邊相碰幾次， P 點第一次與 D 點重合時所經過的路線的總長是多少。的思考是這樣開始的：如圖 2

25、，將矩形 ABCD 沿直線CD 折迭，得到矩形 A1 B1CD ，由軸對稱的知識，發(fā)現 P2 P3 = P2 E ，P1 A = P1E 。請你參考的思路解決下列問題： P 點第一次與 D 點重合前與邊相碰次；P 點從 A 點出發(fā)到第一次與 D 點重合時所經過的路徑的總長是cm ；近一步探究：改變矩形 ABCD 中 AD 、 AB 的長，且滿足 AD > AB ，動點 P 從 A 點出發(fā)，按照MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 10 of 15閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形 ABCD

26、相鄰的兩邊上。若 P 點第一次與 B 點重合前與邊相碰7 次，則 AB : AD 的值為。P3P3DEAA1ADP2BB1BCPC圖 2P11圖 1【】5； 24 2 ；解題思路示意圖：A1D1DA2ABB2CB1C1【例34】如圖，在DABC 中， AB = AC ， D 是DABC 外的一點，且ÐABD = 60 ， ÐACD = 60 求證： BD + DC = AB AADDBBECC【】本題輔助線的思路隱含在結論“ BD + DC = AB ” 以及ÐABD = 60° 中，很容易讓人聯想到等邊三角形，因此也只需將這個等邊三角形補全即可【】延長

27、 BD 至 E ，使 BE = AB ，連接 AE,CE ÐABE = 60 , BE = AB ， DABE 為等邊三角形 ÐAEB = ÐACD = 60 , AE = AB = AC ÐACE = ÐAEC ， ÐDCE = ÐDEC ， DC = DE ， AB = BE = BD + DE = BD + DC ，故原題得證【例35】問題：已知DABC 中， ÐBAC = 2ÐACB ，點 D 是DABC 內的一點，且 AD = CD ， BD = BA 。探究ÐDBC 與ÐA

28、BC 度數的比值。B請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明。當ÐBAC = 90° 時，依問題中的條件補全右圖。觀察圖形， AB 與 AC 的數量關系為；當推出ÐDAC = 15°時，可進一步推出ÐDBC 的度數為； 可得到ÐDBC 與ÐABC 度數的比值為；當ÐBAC ¹ 90° 時，請你畫出圖形，研究ÐDBC 與ÐABC 度數的比值是否與(1)中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明。CAMSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.

29、幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 11 of 15PPP2】相等；15° ；1: 3 。猜想： ÐDBC 與ÐABC 度數的比值與中結論相同。證明：如圖 2 ，作ÐKCA = ÐBAC ，過 B 點作 BKAC 交CK 于點 K ，連結 DK 。 ÐBAC ¹ 90°四邊形 ABKC 是等腰梯形， CK = AB ， DC = DA ， ÐDCA = ÐDAC ， ÐKCA = ÐBAC ， ÐKCD = Ð3 ， DKCDDBAD

30、 ， Ð2 = Ð4 ， KD = BD ， KD = BD = BA = KC 。 BKAC ， ÐACB = Ð6 ， ÐKCA = 2ÐACB ， Ð5 = ÐACB ， Ð5 = Ð6 ， KC = KB ， KD = BD = KB ， ÐKBD = 60° ， ÐACB = Ð6 = 60° - Ð1 ， ÐBAC = 2ÐACB = 120° - 2Ð1 ， Ð1+ (60

31、° - Ð1) + (120° - 2Ð1) + Ð2 = 180° ， Ð2 = 2Ð1， ÐDBC 與ÐABC 度數的比值為1: 3 。【KB61245D3AC圖 2課堂檢測1如圖，正方形紙片 ABCD 的邊長為1 ， M 、 N 分別是 AD 、 BC 邊上的點，將紙片的一角沿過點 B 的直線折疊，使 A 落在 MN 上，落點記為 A' ，折痕交 AD 于點 E ,若 M 、 N 分別是 AD 、 BC 邊的中點， 則 A' N = ; 若 M 、 N 分別是 AD 、 B

32、C 邊的上距 DC 最近的n 等分點（ n ³ 2 ,且n 為整數），則 A' N =（用含有 n 的式子表示）MAEDBCN【】折疊-勾股定理問題，基本思想：引入未知數，通過勾股定理建立方程3 、 2n - 1】2n2取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page 12 of 15A'EECCCEBBCANMNMNNB'FDADDAFDA第一步：先把矩形 ABCD 對折，折痕為 MN ，如圖；第二步：再把 B 點疊在折痕線 MN 上，折痕為 AE ，點 B 在

33、 MN 上的對應點為 B ' ，得 RtDAB ' E ， 如圖第三步：沿 EB' 線折疊得折痕 EF ，如圖 利用展開圖探究： DAEF 是什么三角形？證明你的結論對于任一矩形，按照上述方法是否】略】 DAEF 是等邊三角形由平行線分線段定理知 PE = PA PA = PB ' ， Ð1 = Ð3又 PNAD ， Ð2 = Ð3而 2Ð1 + Ð2 = 90° ， Ð1 = Ð2 = 30°在 RtDAB ' E 中， Ð1 + Ð

34、AEF = 90° ÐAEF = 60° ， ÐEAF = Ð1 + Ð2 = 60° DAEF 是等邊三角形折出這種三角形？請說明理由【ECBMNDAF不一定由以上推證可知， 當矩形的長恰好等于等邊= AB : AF = sin 60° = 3 : 2 時，正好能折出。DAEF 的邊 AF時， 即矩形的寬 : 長如果設矩形的長為 a ，寬為b ，可知當b £3 a 時，按此法一定能折出等邊三角形；當 3 a < b < a22時，按此法無法折出完整的等邊三角形課后作業(yè)已知等邊三角形紙片 AB

35、C 的邊長為 8 ， D 為 AB 邊上的點， 過點 D 作 DG BC 交 AC 于點1G DE BC 于點 E ，過點G 作GF BC 于點 F ，把三角形紙片 ABC 分別沿 DG，DE，GF 按圖1所示方式折疊，點 A，B，C 分別落在點 A¢ ， B¢ ，C¢ 處若點 A¢ ， B¢ ，C¢ 在矩形 DEFG 內或其邊上， 且互不重合，此時我們稱A¢B¢C¢ （即圖中陰影部分）為“重疊三角形”MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.幾何變換之軸對稱.第 13 講(通用講).教師版Page

36、 13 of 15PB'312B'PB'AADGDGA¢EB¢ F圖 2C¢CBE C¢ B¢F圖 1CB若把三角形紙片 ABC 放在等邊三角形網格中（圖中每個角形都是邊長為 1 的等邊三角形），點 A，B，C，D 恰好落在網格圖中的格點上如圖 2 所示，請直接寫出此時重疊三角形 A¢B¢C¢ 的面積；實驗探究：設 AD 的長為 m ，若重疊三角形 A¢B¢C¢ 存在試用含 m 的代數式表示重疊三角形A¢B¢C¢ 的面積，并寫出 m 的取值范圍（直接寫出結果，備用圖供實驗，探究使用）AACCBB備用圖重疊三角形 A¢B¢C¢ 的面積為；備用圖用含 m 的代數式表示重疊三角形 A¢B¢C¢ 的面積為； m 的取值范圍為】重疊三角形 A¢B¢C¢ 的面積為 3 用含 m 的代數式表示重疊三角形 A¢B¢C¢ 的面積為 3(4