半導(dǎo)體物理與器件第三章3

1、半導(dǎo)體物理與器件半導(dǎo)體物理與器件陳延湖陳延湖小結(jié)小結(jié)n載流子的分布位置：載流子的分布位置：n導(dǎo)電電子處于導(dǎo)帶底導(dǎo)電電子處于導(dǎo)帶底n導(dǎo)電空穴處于價(jià)帶頂導(dǎo)電空穴處于價(jià)帶頂導(dǎo)帶導(dǎo)帶價(jià)帶價(jià)帶電子電子空穴空穴1( )1( )0pniiivalence bandiconduction bandJevev在外加電場下半導(dǎo)體在外加電場下半導(dǎo)體可導(dǎo)電，電流為：可導(dǎo)電，電流為：其中其中n，p為載流子濃度為載流子濃度n求解能帶導(dǎo)電的載流子濃度問題，需要知道：求解能帶導(dǎo)電的載流子濃度問題，需要知道：n1能帶中允許的量子態(tài)按能量如何分布能帶中允許的量子態(tài)按能量如何分布-狀態(tài)密度狀態(tài)密度g(E) n2電子在允許的量子態(tài)中

2、如何分布電子在允許的量子態(tài)中如何分布-概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)f(E)n3計(jì)算不同溫度下的載流子濃度（第四章）計(jì)算不同溫度下的載流子濃度（第四章）dEEgEfdN)()( )( )ccEcEnf E gE dE3.4 狀態(tài)密度狀態(tài)密度 設(shè)在能帶中能量設(shè)在能帶中能量E E與與E+dEE+dE之間的能量間隔之間的能量間隔dEdE內(nèi)內(nèi)有量子態(tài)有量子態(tài)dZdZ個(gè)，體積為個(gè)，體積為V V，則定義狀態(tài)密度，則定義狀態(tài)密度g(E)g(E)為：為：( )dZg EVdE22*( )2cnh kE kEmg(E): g(E): 能量能量E E附近單位體積單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)附近單位體積單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)狀

3、態(tài)密度的推導(dǎo)過程：狀態(tài)密度的推導(dǎo)過程：(1)計(jì)算計(jì)算K空間單位體積的量子態(tài)數(shù)，即空間單位體積的量子態(tài)數(shù)，即K空間的狀態(tài)密度空間的狀態(tài)密度(2)能量間隔能量間隔dE對應(yīng)的對應(yīng)的K空間體積，并與空間體積，并與K空間狀態(tài)密度空間狀態(tài)密度相乘，得到相乘，得到dZ(3)根據(jù)定義計(jì)算根據(jù)定義計(jì)算g(E)1 K空間中量子態(tài)的分布空間中量子態(tài)的分布2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)xxxyyyzzznknLnknLnknL 三維晶體，波三維晶體，波矢矢K的取值的取值L為晶體線度（大?。?，則晶體體積為為晶體線度（大?。?，則晶體體積為: 一組一組K取值對應(yīng)一個(gè)允許

4、的能量狀態(tài)，取值對應(yīng)一個(gè)允許的能量狀態(tài)，根據(jù)第一章分析由于受邊界條件限制根據(jù)第一章分析由于受邊界條件限制nx，ny，nz取整數(shù)，取整數(shù)，K取值是不連續(xù)的，即允取值是不連續(xù)的，即允帶內(nèi)的能量是不連續(xù)的帶內(nèi)的能量是不連續(xù)的3VL1 K空間中量子態(tài)的分布空間中量子態(tài)的分布n每一個(gè)每一個(gè)K K取值在在取值在在k k空間中對應(yīng)空間中對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)由一組整數(shù)一個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)由一組整數(shù)（n nx x,n,ny y,n,nz z）表示。）表示。nk空間中，每一個(gè)允許的量子空間中，每一個(gè)允許的量子態(tài)的態(tài)的k空間代表點(diǎn)分布均勻，空間代表點(diǎn)分布均勻，且都與一個(gè)且都與一個(gè)83/L3的立方體相的立方體相聯(lián)系，即聯(lián)系，

5、即每一個(gè)每一個(gè)83/L3的立方的立方體中等效有一個(gè)允許的量子態(tài)體中等效有一個(gè)允許的量子態(tài)xkykzkK K空間狀態(tài)密度：空間狀態(tài)密度：333311888VLV考慮電子自旋，電子的考慮電子自旋，電子的K空間狀態(tài)密度為空間狀態(tài)密度為2V/8 32 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n考慮能帶極值在考慮能帶極值在k=0，等能面為球面，各向同性，等能面為球面，各向同性E(k）-K關(guān)系為：關(guān)系為：計(jì)算半導(dǎo)體導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度計(jì)算半導(dǎo)體導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度22*( )2cnkE kEm因等能面為球面，能量為因等能面為球面，能量為E和和E+dE之間的量子態(tài)數(shù)之間的量子態(tài)數(shù)dZ對應(yīng)

6、于對應(yīng)于K空間兩個(gè)球殼之間量子態(tài)數(shù)，球殼體積為空間兩個(gè)球殼之間量子態(tài)數(shù)，球殼體積為23248VdZk dk24 k dk則：則：2 狀態(tài)密度狀態(tài)密度根據(jù)根據(jù)E(K)-k關(guān)系將關(guān)系將k用能量用能量E表示：表示：* 1/21/2(2)()ncmEEk*2nm dEkdk 及及代入代入dZ得：得：* 3/21/223(2)()2ncmVdZEEdE* 3/21/23(2)( )4()nccmdZgEEEVdEh導(dǎo)帶底附近狀態(tài)密度為導(dǎo)帶底附近狀態(tài)密度為: :/ 2h2 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n與能量與能量E 有拋物線關(guān)系，電子有拋物線關(guān)系，電子能量越大，狀態(tài)密度越

7、大能量越大，狀態(tài)密度越大n還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量大的能帶中的狀態(tài)密度大。大的能帶中的狀態(tài)密度大。同理可得價(jià)帶頂附近的相應(yīng)公式同理可得價(jià)帶頂附近的相應(yīng)公式2222*( )2xyzvphkkkE kEm3/2*1/232( )4pvvmgEEEh狀態(tài)密度與能量關(guān)系狀態(tài)密度與能量關(guān)系狀態(tài)密度特征狀態(tài)密度特征n狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度n實(shí)際半導(dǎo)體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，等實(shí)際半導(dǎo)體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，等能面不為球面，則有效質(zhì)量采用平均的有效質(zhì)量能面不為球面，則有效質(zhì)量采用平均的有效質(zhì)量來計(jì)算，稱為來計(jì)算，稱為狀態(tài)密度

8、有效質(zhì)量狀態(tài)密度有效質(zhì)量n等能面不是球面（是？），各向異性的有效質(zhì)量等能面不是球面（是？），各向異性的有效質(zhì)量mnn導(dǎo)帶底極值不在導(dǎo)帶底極值不在K=0處，而且有多個(gè)對稱的導(dǎo)帶底狀態(tài)處，而且有多個(gè)對稱的導(dǎo)帶底狀態(tài)實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體導(dǎo)帶底狀態(tài)密度實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體導(dǎo)帶底狀態(tài)密度由硅，鍺導(dǎo)帶底由硅，鍺導(dǎo)帶底E(K)-KE(K)-K關(guān)系：關(guān)系：2222312( )2ctlkkkhE kEmm3/2*1/232( )4nccmgEEEh1/3*2/32ndnltmmsm m可得導(dǎo)帶底狀態(tài)密度為：可得導(dǎo)帶底狀態(tài)密度為：mdn為導(dǎo)帶底為導(dǎo)帶底電電子狀態(tài)密度有效子狀態(tài)密度有效質(zhì)量質(zhì)量S為對稱的導(dǎo)為對稱的導(dǎo)帶底

9、狀態(tài)數(shù)，帶底狀態(tài)數(shù)，si為為6，ge為為4能帶特點(diǎn)能帶特點(diǎn)2 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n起作用的能帶是極值相重合的兩個(gè)能帶，分別對應(yīng)輕起作用的能帶是極值相重合的兩個(gè)能帶，分別對應(yīng)輕空穴和重空穴空穴和重空穴n極值在極值在K=0處，等能面為球形。處，等能面為球形。實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體價(jià)帶頂狀態(tài)密度實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體價(jià)帶頂狀態(tài)密度由球形等能面狀態(tài)密度：由球形等能面狀態(tài)密度：可得價(jià)帶定狀態(tài)密度為：可得價(jià)帶定狀態(tài)密度為：mdp為價(jià)帶頂為價(jià)帶頂空穴狀空穴狀態(tài)密度有效質(zhì)量態(tài)密度有效質(zhì)量3/2*1/232( )4pvvmgEEEh*1/23/22*3/21/21/23/223

10、2()( )( )( )4 ()2()(2)4 ()4phvvhvlVpldpVVmg EgEg EEEhmmEEEEhh3/22/ 3*2/ 3*)()(lphpdpmmm能帶特點(diǎn)能帶特點(diǎn)1( )( )VVEVEpf EgE dE( )( )ccEcEnf E gE dE3.5 統(tǒng)計(jì)力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué) 費(fèi)米費(fèi)米-狄拉克概率分布函數(shù)狄拉克概率分布函數(shù)n從微觀上講，每個(gè)電子所具有的能量時(shí)大時(shí)小，但從宏觀從微觀上講，每個(gè)電子所具有的能量時(shí)大時(shí)小，但從宏觀上看，在熱平衡狀態(tài)下，多個(gè)電子按能量大小具有一定的上看，在熱平衡狀態(tài)下，多個(gè)電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性n根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，晶體

11、中的電子服從泡利不相容原理根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，晶體中的電子服從泡利不相容原理（每個(gè)量子態(tài)只允許存在一個(gè)微觀粒子），遵循（每個(gè)量子態(tài)只允許存在一個(gè)微觀粒子），遵循費(fèi)米費(fèi)米-狄狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，為：，為：01( )1exp()Ff EEEk T fF(E)就稱作費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，簡稱費(fèi)就稱作費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，簡稱費(fèi)米分布，它反映的是能量為米分布，它反映的是能量為E的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率。而占據(jù)的幾率。而EF則稱為費(fèi)米能級(jí)。則稱為費(fèi)米能級(jí)。1 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)n費(fèi)米（費(fèi)米（Fermi）能級(jí)是費(fèi)米分布函數(shù)的重要參數(shù)，確定了）能級(jí)是費(fèi)米分布函數(shù)

12、的重要參數(shù)，確定了費(fèi)米能級(jí)即可確定電子在各個(gè)能態(tài)的分布幾率，它與溫度，費(fèi)米能級(jí)即可確定電子在各個(gè)能態(tài)的分布幾率，它與溫度，半導(dǎo)體材料類型等有關(guān)。半導(dǎo)體材料類型等有關(guān)。n費(fèi)米能級(jí)就是系統(tǒng)的化學(xué)勢，費(fèi)米能級(jí)就是系統(tǒng)的化學(xué)勢，處于熱平衡的系統(tǒng)具有統(tǒng)一處于熱平衡的系統(tǒng)具有統(tǒng)一的化學(xué)勢，也即具有統(tǒng)一的費(fèi)米能級(jí)的化學(xué)勢，也即具有統(tǒng)一的費(fèi)米能級(jí)。電子的費(fèi)米分布函數(shù)：電子的費(fèi)米分布函數(shù)：01( )1exp()Ff EEEk T0kT為玻爾茲曼常數(shù)為玻爾茲曼常數(shù)為絕對溫度為絕對溫度FE為費(fèi)米能級(jí)為費(fèi)米能級(jí)1 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)討論不同溫度下的費(fèi)米分布函數(shù)特性討論不同溫度下的費(fèi)米分布函數(shù)特性T=0K 時(shí)：時(shí)

13、：:( )1:( )0FFEEf EEEf E 比費(fèi)米能級(jí)高的能級(jí)上沒有電子，費(fèi)比費(fèi)米能級(jí)高的能級(jí)上沒有電子，費(fèi)米能級(jí)低的能級(jí)上有電子。絕對零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)低的能級(jí)上有電子。絕對零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)可看作量子態(tài)是否被電子占據(jù)的能米能級(jí)可看作量子態(tài)是否被電子占據(jù)的能量界限量界限1 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)nT0K 時(shí)：時(shí)：:( )1/2:( )1/2:( )1/2FFFEEf EEEf EEEf E 例如：當(dāng)能量比費(fèi)米能級(jí)高或低例如：當(dāng)能量比費(fèi)米能級(jí)高或低 時(shí)時(shí)：05k T005:( )0.0075:( )0.993FFEEk Tf EEEk Tf E n可見一般溫度情況下：可見一般溫度情況下：n費(fèi)米能

14、級(jí)以上的量子態(tài)基本是空的，費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)基本費(fèi)米能級(jí)以上的量子態(tài)基本是空的，費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)。而費(fèi)米能級(jí)處的幾率總是被電子所占據(jù)。而費(fèi)米能級(jí)處的幾率總是1/2n此外，隨著溫度升高，電子占據(jù)高能態(tài)的幾率增加，而占據(jù)低能此外，隨著溫度升高，電子占據(jù)高能態(tài)的幾率增加，而占據(jù)低能態(tài)的幾率下降態(tài)的幾率下降1 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)n費(fèi)米能級(jí)費(fèi)米能級(jí)EF的意義：的意義：nEF 的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。即標(biāo)志了電子填充能級(jí)的水平。即標(biāo)志了電子填充能級(jí)的水平。一般溫度下費(fèi)米能級(jí)一般溫度下費(fèi)米能級(jí)以上的量子態(tài)基本是空的，

15、而費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)以上的量子態(tài)基本是空的，而費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)基本被電子所占據(jù)nEF 越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占據(jù)據(jù)。 考慮量子態(tài)密度考慮量子態(tài)密度g(E)g(E)是能是能量量E E的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的曲線所示，假設(shè)系統(tǒng)中的電曲線所示，假設(shè)系統(tǒng)中的電子總數(shù)為子總數(shù)為N N0 0，在，在T=0KT=0K時(shí)，電時(shí)，電子在這些量子態(tài)上的分布情子在這些量子態(tài)上的分布情況如圖中虛線所示。電子首況如圖中虛線所示。電子首先從低能級(jí)開始往上填充，先從低能級(jí)開始往上填充，最后使得費(fèi)米能級(jí)最后使得費(fèi)米能級(jí)E

16、 EF F以下的以下的能級(jí)全部填滿，而能級(jí)全部填滿，而E EF F以上的以上的能級(jí)全部為空。只要已知能級(jí)全部為空。只要已知g(E)g(E)和和N N0 0 ，則可以很方便地確定，則可以很方便地確定費(fèi)米能級(jí)費(fèi)米能級(jí)E EF F。2 費(fèi)米費(fèi)米-狄拉克分布的玻爾茲曼近似狄拉克分布的玻爾茲曼近似0FEEk T0exp()1FEEk T001 exp()exp()FFEEEEk Tk T0( )( )exp()exp()exp()FFFBEEEEfEfEk TkTkT所以：所以：令：令：exp()FEAkT當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則：則：( )BfE稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)( )exp()B

17、EfEAkT2 玻爾茲曼分布函數(shù)玻爾茲曼分布函數(shù)()(FiiEE E本征為禁帶中心能級(jí)）1.12gEev0.56cFciEEEEevn 所以，導(dǎo)帶底電子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律。所以，導(dǎo)帶底電子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在室溫時(shí)在室溫時(shí)對本征硅：對本征硅：0.026kTeV0.560.026cFEEeVeV量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率011( )1 exp()Ff EEEk T上式為空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)，其中：上式為空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)，其中： 0FEk TBe當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0FEEk T01( )exp()exp()FEEEf EBk TkT( )f E1( )f E 表示能量為表示能量

18、為E E 的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，所以所以 就是能量為就是能量為E E的量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾的量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾率率: :量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率n能量能量E增加，空穴的占有幾率增加。增加，空穴的占有幾率增加。n費(fèi)米能級(jí)費(fèi)米能級(jí)EF增加，空穴占有幾率下降，電子填充水平增加。增加，空穴占有幾率下降，電子填充水平增加。n電子和空穴的分布幾率相對費(fèi)米能級(jí)是對稱的電子和空穴的分布幾率相對費(fèi)米能級(jí)是對稱的簡并與非簡并半導(dǎo)體簡并與非簡并半導(dǎo)體n因?qū)е械碾娮又饕植荚趯?dǎo)帶底，價(jià)帶中的空穴主要分布在價(jià)帶頂因?qū)е械碾娮又饕植荚趯?dǎo)帶底，價(jià)帶中的空穴主要分布在價(jià)帶頂在半導(dǎo)體中，最常見的是費(fèi)米能級(jí)位于禁帶內(nèi)，且滿足在半導(dǎo)體中，最常見的是費(fèi)米能級(jí)位于禁帶內(nèi)，且滿足EcEvEF0FvEEk T0cFEEk T服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡并系統(tǒng)，相服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡并系統(tǒng)，相應(yīng)的半導(dǎo)體稱為應(yīng)的半導(dǎo)體稱為非簡并半導(dǎo)體非簡并半導(dǎo)體；n所以導(dǎo)帶中的