基本不等式及其應用知識梳理及典型練習題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本不等式及其應用 1基本不等式若a0,，b0，則，當且僅當 時取“”這一定理敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 它們的幾何平均數(shù)注：運用均值不等式求最值時，必須注意以下三點：(1)各項或各因式均正；（一正）(2)和或積為定值；（二定）(3)等號成立的條件存在：含變數(shù)的各項均相等，取得最值（三相等）2常用不等式(1)a2b2(a，bR)(2)注：不等式a2b22ab和它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).其等價變形：ab（）2.(3) ab (a，bR)(4)2(a，b同號且不為0)(5)(a，bR).（6）(7)abc;(8)；3利用基本

2、不等式求最大、最小值問題(1)求最小值：a0，b0，當ab為定值時，ab，a2b2有 ，即ab ，a2b2 .(2)求最大值：a0，b0，當ab為定值時，ab有最大值，即 ；或a2b2為定值時，ab有最大值(a0，b0)，即 . 設(shè)a，bR，且ab3，則2a2b的最小值是()A.6 B.4C.2 D.2解：因為2a0，2b0，由基本不等式得2a2b224，當且僅當ab時取等號，故選B. 若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A. B.1 C.2 D.4解：a0，b0，a2b2，a2b22，即ab.當且僅當a1，b時等號成立.故選A. 小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其

3、全程的平均時速為v，則()A.av B.vC.v D.v解：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.ab，v.又vaa0，va.故選A. ()若實數(shù)x，y滿足xy1，則x22y2的最小值為_.解：由xy1得x22y2x22，當且僅當x時等號成立.故填2. 點(m，n)在直線xy1位于第一象限內(nèi)的圖象上運動，則log2mlog2n的最大值是_.解：由條件知，m0，n0，mn1，所以mn，當且僅當mn時取等號，log2mlog2nlog2mnlog22，故填2.類型一利用基本不等式求最值(1)求函數(shù)y(x1)的值域.解：x1，x10，令mx1，則m0，且ym5259，當且僅當m2時取等號，故ymin9.又當m

4、或m0時，y，故原函數(shù)的值域是9，).(2)下列不等式一定成立的是()A.lglgx(x0) B.sinx2(xk，kZ)C.x212(xR) D.1(xR)解：A中，x2x(x0)，當x時，x2x.B中，sinx2(sinx(0，1)；sinx2(sinx1，0).C中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D中，(0，1(xR).故C一定成立，故選C.點撥：這里(1)是形如f(x)的最值問題，只要分母xd0，都可以將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)a(xd)h(這里ae0；若ae0，可以直接利用單調(diào)性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢記基本不等式使用條件一正、二定、三相等，特別注意

5、等號成立條件要存在.(1)已知t0，則函數(shù)f(t)的最小值為 .解：t0，f(t)t42，當且僅當t1時，f(t)min2，故填2.(2)已知x0，y0，且2x8yxy0，求：()xy的最小值；()xy的最小值.解：()由2x8yxy0，得1，又x0，y0，則12，得xy64，當且僅當x4y，即x16，y4時等號成立.()解法一：由2x8yxy0，得x，x0，y2，則xyy(y2)1018，當且僅當y2，即y6，x12時等號成立.解法二：由2x8yxy0，得1，則xy(xy)1010218，當且僅當y6，x12時等號成立.類型二利用基本不等式求有關(guān)參數(shù)范圍若關(guān)于x的不等式(1k2)xk44的解

6、集是M，則對任意實常數(shù)k，總有()A.2M，0M B.2M，0MC.2M，0M D.2M，0M解法一：求出不等式的解集：(1k2)xk44x(k21)2x22(當且僅當k21時取等號).解法二(代入法)：將x2，x0分別代入不等式中，判斷關(guān)于k的不等式解集是否為R.故選A.點撥：一般地，對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值.另外，要記住幾個常見的有關(guān)不等式恒成立的等價命題：(1) af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min； (3)af(x)有解af(x)min； (4)af(x)

7、有解af(x)max.已知函數(shù)f(x)exex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：由條件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立.令tex(x0)，則t1，且m 對任意t1成立.t11213，當且僅當t2，即xln2時等號成立.故實數(shù)m的取值范圍是.類型三利用基本不等式解決實際問題圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x(單

8、位：元)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元).(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.解：(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x2).(2)x0，225x210800，y225x36010440，當且僅當225x，即x24時等號成立.答：當x24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔排出，設(shè)箱體的長度為a m

9、，高度為b m，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m2，問a，b各為多少m時，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔面積忽略不計).解法一：設(shè)y為排出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，根據(jù)題意可知：y，其中k是比例系數(shù)且k0.依題意要使y最小，只需ab最大.由題設(shè)得：4b2ab2a60(a0，b0)，即a2b30ab(a0，b0).a2b2，2ab30，得03.當且僅當a2b時取“”號，ab最大值為18，此時得a6，b3.故當a6 m，b3 m時經(jīng)沉淀后排出的水中雜質(zhì)最少.解法二：同解法一得b，代入y求解.1.若a1，則a的最小值是()A.2 B.a C.

10、3 D.解：a1，aa1121213，當a2時等號成立.故選C.2.設(shè)a，bR，ab，且ab2，則下列各式正確的是()A.ab1 B.ab1 C.1ab D.ab1解：運用不等式ab2ab1以及(ab)22(a2b2)2a2b2(由于ab，所以不能取等號)得，ab1，故選A.3.函數(shù)f(x)在(，2)上的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3解：當x2時，2x0，因此f(x)(2x)22，當且僅當2x時上式取等號.而此方程有解x1(，2)，因此f(x)在(，2)上的最小值為2，故選C.4.()要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造

11、價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解：假設(shè)底面的長、寬分別為x m， m，由條件知該容器的最低總造價為y8020x160，當且僅當?shù)酌孢呴Lx2時，總造價最低，且為160元.故選C.5.下列不等式中正確的是()A.若a，bR，則22B.若x，y都是正數(shù)，則lgxlgy2C.若x0，則x24D.若x0，則2x2x22解：對于A，a與b可能異號，A錯；對于B，lgx與lgy可能是負數(shù)，B錯；對于C，應是x24，C錯；對于D，若x0，則2x2x22成立(x0時取等號).故選D.6.()若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A.

12、62 B.72C.64 D.74解：因為log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且 即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)77274，當且僅當時取等號.故選D.7.若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是.解：因為x0，所以x2(當且僅當x1時取等號)，所以有，即的最大值為，故填a.8.()設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_.解：易知定點A(0，0)，B(1，3).且無論m取何值，兩直線垂直.所以無論P與A，B重合與否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P

13、在以AB為直徑的圓上).所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5.當且僅當|PA|PB|時，等號成立.故填5.9.(1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)點(x，y)在直線x2y3上移動，求2x4y的最小值.解：(1)已知0x，03x4.x(43x)(3x)(43x)，當且僅當3x43x，即x時“”成立.當x時，x(43x)取最大值為.(2)已知點(x，y)在直線x2y3上移動，所以x2y3.2x4y2224.當且僅當 即x，y時“”成立.當x，y時，2x4y取最小值為4.10.已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24a

14、b14ab.且12ab2，即，ab，S24a2b22(14ab)24ab1.當且僅當a，b時，等號成立.11.如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36 m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最??？解：(1)設(shè)每間虎籠長為x m，寬為y m，則由條件，知4x6y36，即2x3y18.設(shè)每間虎籠的面積為S，則Sxy.解法一：由于2x3y22，218，得xy，即S.當且僅當2x3y時等號成立.由解得故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大.解法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6.Sxyy(6y)y.0y6，6y0.S.當且僅當6yy，即y3時，