靜態(tài)套利定價理論APTDOC

1、第五講 靜態(tài)套利定價理論第一節(jié) 套利機會考慮一個無摩擦經(jīng)濟，假定投資者在期初進行投資決策，期末的資產(chǎn)回報具有不確定性。假定該經(jīng)濟中存在種可以進行交易的風險資產(chǎn)，其隨機回報率向量、線性無關，具有有限方差和期望回報率，其它風險資產(chǎn)和投資組合都是這N種風險資產(chǎn)的線性組合。假定風險資產(chǎn)可以無限賣空。記Z為這N種資產(chǎn)的回報率矩陣，即：則對任意一個可行投資組合w，投資一份該組合的成本為，回報率向量為Zw。定義：一個投資組合被稱為套利組合，如果其成本為零，即。定義：一個投資組合（或資產(chǎn)）被稱為無風險組合（或資產(chǎn)），如果該組合（或資產(chǎn)）在每個自然狀態(tài)上具有相同的回報，即，其中R為無風險利率。定義：一個特定的投

2、資組合被稱為可復制的(duplicable)，如果存在其它不同的投資組合，滿足。定義：稱一個投資組合是第一類套利機會，如果它滿足： ，。其中第二個不等號至少有一個分量嚴格大于零。第一類套利機會代表了一種投資，具有非正的成本，卻在將來有可能獲得正的收益，獲得負的收益的可能為零。定義：稱一個投資組合是第二類套利機會，如果它滿足： ，第二類套利機會代表了一種投資，其成本為負，未來收益非負。在一個經(jīng)濟中可能只有第二類套利機會，而沒有第一類套利機會。例如：并不存在，滿足，因為。但時，滿足，但。在一個經(jīng)濟中可能只有第一類套利機會，而沒有第二類套利機會。例如： 。對任意投資組合，其回報率向量為。只存在第一類

3、套利機會，而沒有第二類套利機會。定義：一個或有權益（或衍生資產(chǎn)）是期末回報完全由其它資產(chǎn)回報率決定的資產(chǎn)。包括遠期合約(forward contract)、期權等。例如：一份遠期合約(forward contract)，指在期末以期初約定的價格購買特定資產(chǎn)的義務。假定該資產(chǎn)的隨機回報為，操作價格為X，則該遠期合約的隨機回報為： 。例如：一份一期的看漲期權(call option)，代表了一種在期末以特定價格購買指定資產(chǎn)的權利。如果標的資產(chǎn)的隨機回報為，期權的操作價格為X，則該期權的隨機回報為： 例如：一份一期的看跌期權(put option)，代表了一種在期末以特定價格賣出指定資產(chǎn)的權利。如果

4、標的資產(chǎn)的隨機回報為，期權的操作價格為X，則該期權的隨機回報為： 第二節(jié) 無套利定價無套利條件下的期權價格關系：假定期權的標的資產(chǎn)期初價格為，期末價格為，期權的執(zhí)行價格為K，經(jīng)濟中的無風險利率為。記看漲期權價格為，看跌期權價格為，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：。性質(zhì)2：看漲期權的價格是其執(zhí)行價格的凸函數(shù)，即： ，。性質(zhì)3：在相同操作價格K下，標的在n種資產(chǎn)構成的投資組合上的看漲期權的價格，要小于標的在各資產(chǎn)上的看漲期權的價格的相同權重的加權和，即： ，。 性質(zhì)4：（看跌-看漲平價關系）。價格向量和資產(chǎn)價格：定義：一個向量p被稱為支撐經(jīng)濟Z的價格向量，如果該向量滿足：。注：如果N種資產(chǎn)的當前價格向量為v

5、，期末回報矩陣為Y，則上述定義等價于。此處是一個維的向量，代表了自然狀態(tài)的基本權益價格，這種基本權益可以刻畫為：。經(jīng)濟中的價格向量p確定后，任給一份資產(chǎn)或投資組合p，知道其回報向量，則期初價格為。例如：操作價格為X的看漲期權(call option)，如果標的資產(chǎn)的隨機回報為，則該期權的期初價格為： 。定理2.1：存在一個支撐回報率矩陣Z的非負價格向量的充分必要條件為不存在第二類套利機會。例：，則，因此有： ， 。在該經(jīng)濟中存在第二類套利機會。定理2.2：存在一個支撐回報率矩陣Z的正的價格向量的充分必要條件為同時不存在第一類和第二類套利機會。例：，則，因此，定理2.2的條件不成立，該經(jīng)濟中存在

6、著第一類套利機會。例：，該經(jīng)濟存在一個價格向量：。容易證明，該經(jīng)濟中不存在兩類套利機會。在該經(jīng)濟中，如果存在一種資產(chǎn)，其期末回報服從：，則該資產(chǎn)的期初價格為，標的在該資產(chǎn)上的操作價格為2的看漲期權價格為： 。第三節(jié) 因子模型與APT一、因子模型定義：因子模型(factor model)是指一種假設證券回報率僅與不同因子變化有關的經(jīng)濟模型。因子模型的特點是：（1） 因子模型中的因子系統(tǒng)地影響所有證券價格的經(jīng)濟因素；（2） 證券回報率之間的相關性僅源于對因子變化的共同反應；（3） 證券回報率中不能由因子模型解釋的部分是該證券獨有的部分，與其它證券獨有部分無關。在因子模型中，資產(chǎn)的隨機回報率可以表示

7、為： ，在這類模型中，資產(chǎn)風險可以分為因子風險和非因子風險，通過分散化投資可以縮小非因子風險。根據(jù)因子的個數(shù)，因子模型可以分為單因子模型和多因子模型。例如：單因子模型：CAPM模型是一個單因子模型，因子為市場組合回報率（或切點組合回報率）。多因子模型：資產(chǎn)價格可能依賴于GDP增長率、利率水平、通貨膨脹率與石油價格，則這些變量都可以當作因子。在實踐中，通?？梢赃x取與這些變量高度相關的資產(chǎn)或投資組合作為因子。在CAPM模型中，我們要求二基金分離成立，即：對于任意可行投資組合p的隨機回報率滿足：，其中e為切點組合，且，。如果上述條件不成立，直觀地我們可以想到，通過分散化投資也應該可以將非系統(tǒng)風險消除

8、，從而投資組合的期望收益率之間存在著類似的線性關系。Ross(1976)創(chuàng)立的套利定價理論（APT）告訴我們，如果經(jīng)濟中存在著大量的資產(chǎn)，并且不存在（極限情形下的）套利機會，那么在絕大多數(shù)資產(chǎn)的期望回報率之間仍然存在著一種近似線性關系。Ross(1976)的APT是一種多因子模型。定義：極限情形下的套利機會，是指一個具有期望回報率的下界大于零、方差收斂到零的套利組合序列。（無成本，且?guī)缀鯚o風險地得到正的回報）二、Ross的APT理論1、模型建立考慮一個資產(chǎn)數(shù)上升的經(jīng)濟序列，假定市場是完全競爭的、無摩擦的，投資者是理性的、不飽和的，當經(jīng)濟中存在套利機會時，投資者會通過構造套利組合來增加自己的財富

9、。假定在第n個經(jīng)濟中，存在n個風險資產(chǎn)和一個無風險資產(chǎn)，風險資產(chǎn)回報率由一個K-因子模型生成： ， 。 (5.1)滿足： ， ；, 。 ，。 利用線性代數(shù)(5.1)式可以改寫為： 。 (5.2)2、不存在非因子風險的情形：（）定理5.1：當，即風險資產(chǎn)回報完全由K因子和無風險資產(chǎn)生成時，如果經(jīng)濟中不存在套利機會，則資產(chǎn)回報率之間存在一個嚴格的線性關系：。 (5.3)證明：對資產(chǎn)j，首先構造一個由無風險資產(chǎn)和K因子構成的投資組合，其投資組合權重滿足：，該投資組合的隨機回報率為： 。下面我們根據(jù)無套利條件，來證明關系式：（1）如果，則賣空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上，該組合是一個套利組

10、合，成本為零，但期末回報，這蘊涵經(jīng)濟中存在套利機會，與命題的假設矛盾。（2）如果，則賣空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上，該組合是一個套利組合，成本為零，但期末回報，這蘊涵經(jīng)濟中存在套利機會，與命題的假設矛盾。由此我們有，所以由(5.1)得，資產(chǎn)的期望回報率之間存在著如下的線性關系式： 。證明完畢。3、存在非因子風險的情形（，）引理5.1：對于任意給定的正數(shù)，為滿足的資產(chǎn)數(shù)，如果極限情形下的套利機會不存在，則存在一個，對任意的，成立。 證明：采用反證法，假定不存在這樣一個，使得對所有的n，滿足，則序列存在一個子序列，滿足當時，。下面我們來構造套利組合：對于給定的，不妨假定滿足的資產(chǎn)為。

11、（1）對于每一個滿足條件的j，首先構造一個由K個因子和無風險資產(chǎn)構成的投資組合，其投資組合權重滿足：，該投資組合的隨機回報率為： 。接著構造套利投資組合：當時，賣空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上；當時，賣空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上。該組合是一個套利組合，其回報率為： 。其中 。（2）通過個套利組合來構造套利組合，在中，在每個上的權重相等，都是。因此套利組合的期望回報率和方差分別為： ， 。由此出現(xiàn)了極限情形下的套利機會，與假設矛盾。定理5.2（Ross(1976)的APT）：當經(jīng)濟中的資產(chǎn)數(shù)足夠多，且不存在極限情形下的套利機會時，對絕大多數(shù)資產(chǎn)而言，其期望回報率之間存

12、在一個近似線性關系。證明：根據(jù)引理5.1，對任意給定的正數(shù)，至多存在個風險資產(chǎn)，其隨機回報率可以表示為，且有：。相應地這些資產(chǎn)的期望回報率滿足： 因此當n足夠大時，經(jīng)濟中絕大多數(shù)資產(chǎn)滿足： ，即期望回報率之間存在一個近似線性關系。三、均衡套利定價理論在Ross(1976)的APT理論中，當資產(chǎn)數(shù)足夠大時，近似線性關系對絕大多數(shù)資產(chǎn)都成立；但對特定的資產(chǎn)而言，對這種線性關系的偏離可能很大，因此對任意給定的風險資產(chǎn)，我們希望來估計其期望回報率對線性關系偏離的程度。這方面的研究由Dybvig(1983)、Crinblatt&Titmam(1983)和Connor(1984)等給出。1、 模型假設假定

13、經(jīng)濟中存在N種風險資產(chǎn)和一種無風險資產(chǎn)，其回報率分別為和。假定風險資產(chǎn)嚴格地正供給，風險資產(chǎn)回報率由K-因子模型生成： ， 。其中，相互獨立。假定效用函數(shù)單調(diào)增、嚴格凹、三次連續(xù)可微，且所有個體的絕對風險回避系數(shù)存在一個上界，即： ，對成立。假定市場是均衡的，經(jīng)濟中不存在套利機會。2、 均衡套利定價理論定理（均衡APT）：在上述假定下，對任意的風險資產(chǎn)j，我們有： 其中為投資在風險資產(chǎn)j上的市場總值，I為投資者總數(shù)。證明：（1）當時，類似于定理5.1的證明，有，因此風險資產(chǎn)j的期望回報率服從： 。 （2）當時， 首先考慮一個投資組合，該組合在無風險資產(chǎn)和K因子上的權重分別為：，該投資組合的隨機回報率為： 。接下來構造一個套利組合：投資單位貨幣在投資組合上，同時賣空單位貨幣的資產(chǎn)j，該套利組合的隨機回報率為： 。設個體的初始財富量為，期末的隨機財富量為，因為經(jīng)濟中不存在套利機會，如下最大化問題的解為。在處，上述最大化問題的一階條件可以表示為： ，即。上式可以改寫為： ，因此有：。 注意到，且風險資產(chǎn)嚴格地正供給，因此至少存在一個個體，其投資在資產(chǎn)j上的財富量嚴格大于零，即，因此我們有： 。相應地，當時，我們有所有個體在資產(chǎn)j上的投資量都嚴格大于零。下面我們通過估計、的界，來估計的界，我們分