轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定與平行軸定理驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)研究

1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定與平行軸定理驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)研究摘要：采用三線擺，雙線擺，扭擺，測(cè)量不同剛性物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并進(jìn)一步驗(yàn)證平行軸定理，同時(shí)應(yīng)用扭擺的特性測(cè)量切邊模量。關(guān)鍵字：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；平行軸定理；切變模量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度，它與剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。根據(jù)物體的規(guī)則與否，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的獲得分為理論公式法與實(shí)驗(yàn)法。對(duì)于規(guī)則物體，測(cè)量其尺寸和質(zhì)量，即可通過(guò)理論公式計(jì)算獲得；對(duì)于不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的物體則要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定。一 實(shí)驗(yàn)原理（一） 雙線擺本實(shí)驗(yàn)中，認(rèn)為雙線擺是純轉(zhuǎn)動(dòng)的理想模型。這樣，雙線擺擺錘的運(yùn)動(dòng)可分解為：水平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)以及豎直方向上的振動(dòng)。設(shè)均勻細(xì)桿質(zhì)量m0、長(zhǎng)為 、繞通過(guò)質(zhì)心豎直

2、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣量為I0；兩相同圓柱體的質(zhì)量之和為2m1,之間距離為2c；雙繩之間距離為d，繩長(zhǎng)L圖雙線擺結(jié)構(gòu)圖。圖2幾何分析由右圖幾何關(guān)系分析，當(dāng)很小時(shí)，sin，得 （1）由上式可得系統(tǒng)的勢(shì)能為 （2）桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 （3）由能量守恒得 （4）用（4）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并除以ddt，得 （5）解上面的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，得桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （6）測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： (7)待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： (8)（二） 三線擺和扭擺 三線擺左圖是三線擺示意圖。上、下圓盤(pán)均處于水平，懸掛在橫梁上。三根對(duì)稱(chēng)分布的等長(zhǎng)懸線將兩圓盤(pán)相連。撥動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)桿使圓盤(pán)進(jìn)行小角度轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角很小時(shí)，忽律空氣阻力，以及懸線扭力的影響，由剛體轉(zhuǎn)

3、動(dòng)定理，得圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0=m0gRr42H0T2 (9)式中，m0為下圓盤(pán)的質(zhì)量；r和R分別為上下懸點(diǎn)離各自圓盤(pán)中心的距離；H0為平衡時(shí)上下圓盤(pán)間的垂直距離；T0為下圓盤(pán)的擺動(dòng)周期，g為重力加速度。將質(zhì)量為m的待測(cè)剛體放在下圓盤(pán)上，使其質(zhì)心與轉(zhuǎn)抽重合，測(cè)量出此時(shí)的周期T和上下圓盤(pán)的距離H，則總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （9）待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J=J1-J0 （10）扭擺將一金屬絲上端固定，下端懸掛一剛體就構(gòu)成扭擺。如下圖忽略空氣阻尼力矩的作用，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理有 （11）式中，為剛體對(duì)懸線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為角加速度。彈性恢復(fù)力矩M轉(zhuǎn)角的關(guān)系為 （12） 式中，K稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)模量。它與懸線長(zhǎng)度L，懸線直徑

4、d及懸線材料的切變模量G有如下關(guān)系 （13） 扭擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （14）可見(jiàn)，圓盤(pán)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周期為 （15）實(shí)驗(yàn)中K未知，將金屬環(huán)放在圓盤(pán)上時(shí)復(fù)合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0+J1，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為：T0=J0+J1K (16)由式（15）（16）得： （17） （18）測(cè)出T和T0就可以求得圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0與切邊模量G。OO'Cx xm平行軸定理（三） 驗(yàn)證平行軸定理若質(zhì)量為的物體繞過(guò)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離時(shí)（如右圖所示），則此物體對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （19）這一結(jié)論稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。用雙線擺驗(yàn)證平行軸定理：將質(zhì)量均為m2，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱(chēng)地

5、放置在均勻細(xì)桿上。按同樣的方法，測(cè)出兩小圓柱體和細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)周期TX，則可求出每個(gè)柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: （20）由平行軸定理計(jì)算得 （21）比較與的大小，相差5%以?xún)?nèi)則平行軸定理得證。 用三線擺驗(yàn)證平行軸定理將二個(gè)同樣大小的圓柱體放置在對(duì)稱(chēng)分布于半徑為R1的圓周上的二個(gè)孔上。測(cè)出二個(gè)圓柱體對(duì)中心軸OO的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx。如果測(cè)得的Jx值與由（19）式右邊計(jì)算得的結(jié)果比較時(shí)的相對(duì)誤差在測(cè)量誤差允許的范圍（5%），則平行軸定理得到驗(yàn)證。二 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)方法本實(shí)驗(yàn)使用的設(shè)備有：雙線擺、扭擺及三線擺、水準(zhǔn)儀、米尺、游標(biāo)卡尺及待測(cè)物體等。實(shí)驗(yàn)方法如下：（一）周期T1T2T3T4T5T圓盤(pán)2532.83

6、2.732.732.632.632.68單圓柱2530.730.830.830.830.630.74測(cè)量前，根據(jù)水準(zhǔn)泡得指示，調(diào)平底座平臺(tái)。雙線擺實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前先調(diào)節(jié)擺線長(zhǎng)等于兩線間的距離，即d=L0.（二）打開(kāi)計(jì)數(shù)器，調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)闹芷诖螖?shù)。分別使擺進(jìn)行小角度擺動(dòng)，并記錄周期，帶入操作原理中得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算式，求得待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并驗(yàn)證平行軸定理。三 數(shù)據(jù)記錄及結(jié)果討論雙線擺：L=12.00 L0=30.00 m0=0.266 小圓柱參數(shù)： l=2.970 D內(nèi)=2.260 D外=2.760 X=13.75 m柱=0.1雙線擺各組實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目平均周期的計(jì)算：周期T1T2T3T4T5T細(xì)桿2523.62

7、3.823.723.723.723.7單圓柱2520.720.620.620.620.620.62雙圓柱2531.231.031.131.031.131.08周期單位：s,下同三線擺： R=9.430 r=4.574 H=38.35 m圓盤(pán)=1.013三線擺各組實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目平均周期的計(jì)算： m圓柱=0.137三線擺雙圓柱實(shí)驗(yàn)平均周期的計(jì)算：距離d周期T1T2T3T4T5T6.4302532.732.632.632.632.632.62扭擺 m1=0.539 D1=10.030 D2=11.990 d=0.050 L=42.50 扭擺平均周期的計(jì)算：周期T1T2T3T4T5T盤(pán)2552.752.75

8、2.752.852.752.72盤(pán)環(huán)2589.789.789.789.789.789.7由以上數(shù)據(jù)計(jì)算得：雙線擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：由式（6）（8）帶入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):細(xì)桿單圓柱雙圓柱雙圓柱理論相對(duì)誤差I(lǐng)0.001780.00007420.001790.001890.052三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量級(jí)相對(duì)誤差的計(jì)算：由式（9）（10）帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得圓盤(pán)單圓柱I0.0048320.000021：d/cm雙圓柱理論值相對(duì)誤差I(lǐng)8.4300.001050.0009950.053I6.4300.000640.0005880.083I4.4430.000300.000290.042扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及切變模量的計(jì)算：由式（13）（

9、17）（18）帶入數(shù)據(jù)得J1J0KG0.001650.0008710.007735.5*1011切變模量單位：GPa 由以上結(jié)果我們給出以下討論:(一).通過(guò)雙線擺的測(cè)量和通過(guò)三線擺的測(cè)量，。精度能達(dá)到要求，能用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量和平行軸定理得驗(yàn)證 (二).對(duì)于三線擺，在測(cè)量過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)在距離轉(zhuǎn)軸中心較遠(yuǎn)和較近的測(cè)量數(shù)據(jù)都與實(shí)際符合的很好，但在之間卻有很大的偏差（超過(guò)允差0.033），經(jīng)過(guò)分析認(rèn)為帶來(lái)這種誤差增大的原因在于以下幾點(diǎn)：1. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，使三線擺擺動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)軸OO；發(fā)生偏移：2. 圓柱在處于較遠(yuǎn)和較近的位置時(shí)，超出了上圓盤(pán)的投影范圍（或者處于其中時(shí)），用于力矩作用，使圓盤(pán)的擺動(dòng)更趨于

10、水平的小角度擺動(dòng)。四 結(jié)論轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理成立；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定符合實(shí)際情況。參考文獻(xiàn)：【1】 大學(xué)物理2011年第06期 作者： 王永超;朱力【2】 長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2007年03期【3】 遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2011年04期 Determination of moment of inertia and verification of the parallel axis theorem experimentalAbstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validati