運動變化中的折疊問題

1、 運動變化中的折疊問題 由于動點的運動，導致動直線的位移，使圖形在折疊中的重疊部分的面積也發(fā)生變化，在這一變化過程中需要對不同情況加以分類討論。解決這類折疊中的重疊部分面積問題的試題，關鍵是找出折痕及全等圖形，抓住運動中的不變量，然后利用全等圖形和相似圖形的性質及相關的知識進行分類求解，問題就會迎刃而解。下面舉例說明如下：例1、(2007年廣西南寧市中考題)如圖，在銳角中，于點，且，點為邊上的任意一點，過點作，交于點設的高為，以為折線將翻折，所得的與梯形重疊部分的面積記為（點關于的對稱點落在所在的直線上）（1）分別求出當與時，與的函數關系式；（2）當取何值時，的值最大？最大值是多少？解：（1）

2、當時，由折疊得到的落在內部如圖（1），重疊部分為 ，即 又 圖（1）圖（2） 當時，由折疊得到的有一部分落在外，如圖（2），重疊部分為梯形 , 又, （2）當時，的最大值：； 當時，由 可知：當時，的最大值：，當時，有最大值：【評析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，利用圖形的折疊建立數學模型來求解問題。在本題的解答中側重對相似三角形的面積比和相似比之間的關系及利用二次函數求最值等知識的考查，該試題一定程度上考查了分類討論和數形結合等 例2、（2008年山東省東營市中考題）（）在ABC中，A90°，AB4，AC3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MNBC交AC于點N以MN

3、為直徑作O，并在O內作內接矩形AMPN令AMx（1）用含x的代數式表示NP的面積S；（2）當x為何值時，O與直線BC相切？（3）在動點M的運動過程中，記NP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？ABCMNP圖 1O解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） （2）如圖2，設直線BC與O相切于點D，連結AO，OD，則AO =OD =MNABCMND圖 2OQ在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 過M點作MQBC 于Q，則 在RtBMQ與RtBCA中，B是公共角， BMQ

4、BCA ， x 當x時，O與直線BC相切 （3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點 MNBC， AMN=B，AOMAPCABCMNP圖 3O AMO ABP AMMB2 故以下分兩種情況討論： ABCMNP圖 4OEF 當02時， 當2時， 當24時，設PM，PN分別交BC于E，F 四邊形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四邊形MBFN是平行四邊形 FNBM4x 又PEF ACB 當24時， 當時，滿足24， 綜上所述，當時，值最大，最大值是2【評析】本題以三角形與圓相結合為背景的綜合性壓軸題，考查的知識點較多，圓的知識與相似三角形的性質的

5、有機綜合運用，環(huán)環(huán)相扣，步步為營，循序漸進，區(qū)分度強。第（3）小題要運用分類討論思想來解決問題，解題中關鍵是抓住在點的運動過程中不變的量，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得出等量關系，從而構建一個二次函數使問題得以解決。例3、（2008年浙江省臺州市中考題）如圖，在矩形ABCD中，點P是邊BC上的動點（點P不與點B,C重合），過點P作直線PQBD，交CD邊于Q點，再把PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，PQR與矩形ABCD重疊部的面積為y（1）求CQP的度數； （2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上？（3）求y與x之間的函數關系式；當x取何值時，

6、重疊部分的面積等于矩形面積的？解：（1）如圖，四邊形是矩形，DQCBPRA又，DQCBPRA（圖1），（2）如圖1，由軸對稱的性質可知，由（1）知，DQCBPRA（圖2）FE，在中，根據題意得：，解這個方程得：（3）當點在矩形的內部或邊上時，當時，當在矩形的外部時（如圖2），在中，又，在中，當時，綜上所述，與之間的函數解析式是：矩形面積，當時，函數隨自變量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，而，所以，當時，的值不可能是矩形面積的；當時，根據題意，得：，解這個方程，得，因為，所以不合題意，舍去所以綜上所述，當時，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的【評析】這一道以折疊為背景的綜合性壓軸題，綜合性較強。解決折疊問題的試題，關鍵是找出折痕及全等圖形，然后利用全等圖形的性質及相關的知識，問題就會迎刃而解。本題中的第（1）（2）小題只需要根據折疊的基本性質結合相似三角形的知