基本不等式(第1課時)

1、第1課時基本不等式1理解并掌握基本不等式及其推導過程，明確基本不等式成立的條件2能利用基本不等式求代數式的最值1重要不等式當a，b是任意實數時，有a2b2_，當且僅當_時，等號成立(1)公式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是實數，它們既可以是具體的數字，也可以是比較復雜的代數式，因此其應用范圍比較廣泛今后有不少不等式的證明就是根據條件進行轉化，使之可以利用該公式來證明(2)公式中a2b22ab常變形為ab或a2b22ab4ab或2(a2b2)(ab)2等形式，要注意靈活掌握【做一做1】 x2y24，則xy的最大值是()A. B1 C2 D42基本不等式(1)有關概念：當a，b均為正數時，把

2、_叫做正數a，b的算術平均數，把_叫做正數a，b的幾何平均數(2)不等式：當a，b是任意正實數時，a，b的幾何平均數不大于它們的算術平均數，即_，當且僅當_時，等號成立(3)幾何意義：半弦不大于半徑如圖所示，AC=a，CB=b，則OD=_，DC= =DE，則DCOD.(4)變形：，a+b (其中a0，b0，當且僅當a=b時等號成立)從數列的角度看，a，b的算術平均數是a，b的等差中項，幾何平均數是a，b的正的等比中項，則基本不等式可表示為：a與b的正的等比中項不大于它們的等差中項【做一做2】 已知ab16，a0，b0，則ab的最小值為_答案：12abab【做一做1】 C2(1)(2)ab(3)

3、【做一做2】 81應用基本不等式求最值的條件剖析：應用基本不等式求最值的條件是一正二定三相等，具體如下：一正：a，b都是正實數，即所求最值的代數式中的各項必須都是正數，否則就會得出錯誤的答案例如，當x0時，函數f(x)x22，所以函數f(x)的最小值是2.由于f(2)22，那么顯然這是一個錯誤的答案其原因是當x0時，不能直接用基本不等式求f(x)x的最值因此，利用基本不等式求最值時，首先確定所求最值的代數式中的各項是否都是正數其實，當x0時，x0，則f(x)x22，此時有f(x)2.由此看，所求最值的代數式中的各項不都是正數時，要利用變形，先轉化為各項都是正數的代數式，再求最值二定：ab與ab

4、有一個是定值即當ab是定值時，可以求ab的最值；當ab是定值時，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就會得出錯誤的答案，陷入困境例如，當x1時，函數f(x)x2，所以函數f(x)的最小值是2.由于2是一個與x有關的代數式，顯然這是一個錯誤的答案其原因是沒有掌握基本不等式求最值的條件，ab與ab有一個是定值其實，當x1時，有x10，則函數f(x)x1213.由此看，當ab與ab沒有一個是定值時，通常要把所求最值的代數式采用配湊的方法化為和或積為定值的形式三相等：等號能夠成立，即存在正數a，b使基本不等式兩邊相等也就是存在正數a，b，使得.如果忽視這一點，就會得出錯誤的答案例如，當x2時

5、，函數f(x)x22，所以函數f(x)的最小值是2.很明顯x中的各項都是正數，積也是定值，但是等號成立的條件是當且僅當x即x1，而函數的定義域是x2，所以這是一個錯誤的答案其原因是基本不等式中的等號不成立其實，根據解題經驗，遇到這種情況時，一般就不再用基本不等式求最值了，此時該函數的單調性是確定的，可以利用函數的單調性求得最值利用函數單調性的定義可以證明，當x2時，函數f(x)x是增函數，所以函數f(x)的最小值是f(2)2.2與基本不等式有關的常用結論剖析：(1)已知x，yR，若x2y2S(平方和為定值)，則xy，當且僅當xy時，積xy取得最大值；若xyP(積為定值)，則x2y22P，當且僅

6、當xy時，平方和x2y2取得最小值2P.(2)已知x0，y0，若xyS(和為定值)，則xy，當且僅當xy時，積xy取得最大值；若xyP(積為定值)，則xy2，當且僅當xy時，和xy取得最小值2.題型一 比較大小【例題1】 當a，b為兩個不相等的正實數時，下列各式中最小的是()A. B. C. D.反思：在比較n個數的大小時，若從中確定一個最小(大)者，則可以把n個數分組，在每一組中確定一個最小(大)者，再將這些最小(大)者進行比較由此題的討論可以看到(a，b大于0，當且僅當ab時，等號成立)題型二 利用基本不等式求最值【例題2】 已知a3，求a的最小值分析：直接使用基本不等式無法約掉字母a，而

7、a(a3)3.這樣變形后，再用基本不等式可得證反思：如果要求最值的代數式不符合基本不等式的形式，可先通過適當變形，將其配湊成可使用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最值如本題中，將a湊成(a3)3后就可以用基本不等式求最值【例題3】 已知x，y均為正數，且1，求xy的最小值分析：由于已知條件右邊是一定值1，且左邊各項均為正數，所以可以用整體換元、代入消元、“1”的代換等方法求解反思：本題易錯解為：由1，得2，xy36.xy212.這顯然是錯誤的，因為兩個不等式中，不能同時取得“等號”，即不存在滿足題設條件的x，y，使(xy)min12.題型三 易錯辨析【例題4】 求函數yx的值域錯解：x22

8、，函數值域為2，)錯因分析：上述解題過程中應用了基本不等式，卻忽略了應用基本不等式的條件兩個數應大于零，因而導致錯誤因為函數yx的定義域為(，0)(0，)，所以需對x的符號加以討論答案：【例題1】 Da0，b0，ab，a2b22ab，選項A，B，C中，最小又ab20，1，由于0，兩邊同乘以，得·，最小【例題2】 解：a3，a30.由基本不等式，得aa332·32×37.當且僅當a3，即a5時取等號a的最小值是7.【例題3】 解：x，y均為正數，且1，顯然x1，y.xyx(x1)102×31016.當且僅當x4時取等號，即(xy)min16.【例題4】 正解：函數定義域是(，0)(0，)當x0時，由基本不等式，得yx2，當且僅當x1時，等號成立；當x0時，yx.x0，(x)2，當且僅當x1時，等號成立，yx2.綜上可知，函數yx的值域為(，22，)1 (2011·山東濟南一模)若x0，則的最小值為()A2 B3 C D42已知2ab1，a0，b0，則的最小值是()A BC D3(2011·