運(yùn)用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃思想理解求最值問(wèn)題

1、運(yùn)用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃思想理解求最值問(wèn)題華東師范大學(xué)2003級(jí)（數(shù)學(xué)）教育碩士江蘇省溧陽(yáng)市戴埠高級(jí)中學(xué)（213331） 潘曉春簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的新內(nèi)容之一，是解決一些在線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最值（最大值或最小值）的問(wèn)題。它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用，并且在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中也有著廣泛的應(yīng)用，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)資源的最佳利用。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，但它的思想可以延伸到其他的數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的求解過(guò)程中。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值。解決問(wèn)題時(shí)主要是借助平面圖形，運(yùn)用這一思想能夠比較有效地

2、解決一些二元函數(shù)的最值問(wèn)題。本文將從規(guī)劃思想出發(fā)來(lái)探討一些高中數(shù)學(xué)中一些常見(jiàn)的函數(shù)最值問(wèn)題。一、 線性約束條件下線性函數(shù)的最值問(wèn)題線性約束條件下線性函數(shù)的最值問(wèn)題即簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，它的線性約束條件是一個(gè)二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元一次函數(shù)，可行域就是線性約束條件中不等式所對(duì)應(yīng)的方程所表示的直線所圍成的區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)即簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最優(yōu)解。例1 已知，求的最大值和最小值約束條件： ，是關(guān)于的一個(gè)二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個(gè)二元一次函數(shù)；可行域：是指由直線，和所圍成的一個(gè)三角形區(qū)域（包括

3、邊界）（如圖1）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。當(dāng)線性約束條件中的二元一次不等式組中出現(xiàn)一個(gè)二元一次方程（或一元一次方程）時(shí)，則可行域就轉(zhuǎn)變成一條線段（或一條直線，或一條射線）。例2 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：，是關(guān)于的一個(gè)二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個(gè)二元一次函數(shù)；可行域：是指由直線被直線和所夾的一條線段（如圖1）；可行解：所有滿足（即線段上的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得一組平行線（為參

4、數(shù)）中的取得最大值和最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。這類問(wèn)題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫(huà)出其圖形，利用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。二、 非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問(wèn)題高中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題很多可以轉(zhuǎn)化為非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問(wèn)題。它們的約束條件是一個(gè)二元不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元一次函數(shù)，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例3 已知滿足，求的最大值和最小值Oxy2圖 3約束條件：，是關(guān)于的一個(gè)二

5、元二次方程；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個(gè)二元一次函數(shù)；可行域：是圓上的圓周（如圖3）可行解：所有滿足（即圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)最值問(wèn)題也可以看作是這類問(wèn)題。例4 求函數(shù)的最大值和最小值。約束條件：是關(guān)于的一個(gè)二元不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是關(guān)于的一個(gè)二元一次函數(shù)；可行域：函數(shù)的圖象在直線和之間（包括端點(diǎn)）的部分曲線（如圖4）可行解：所有滿足（即曲線段上的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

6、的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。這類問(wèn)題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性約束條件所表達(dá)的幾何意義，并畫(huà)出其圖形，利用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。三、 線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問(wèn)題這類問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題，它也可以用線性規(guī)劃的思想來(lái)進(jìn)行解決。它的約束條件是一個(gè)二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)，可行域是直線所圍成的圖形（或一條線段），區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例5 已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，求的最小值。約束條件：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元二次函數(shù)

7、，可以看作是一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方；可行域：是指由直線，和所圍成的一個(gè)三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖5）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得它到點(diǎn)的距離最小，則其距離的平方也取得最小值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。例6 實(shí)數(shù)滿足不等式組，求的最小值約束條件：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元函數(shù)，可以看作是一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率；可行域：是指由直線，和所圍成的一個(gè)三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖6）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得它與點(diǎn)的

8、斜率取得最小值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。這類問(wèn)題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，并利用圖形及非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。四、 非線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中還有一些常見(jiàn)的問(wèn)題也可以用線性規(guī)劃的思想來(lái)解決，它的約束條件是一個(gè)二元不等式組，目標(biāo)函數(shù)也是一個(gè)二元函數(shù)，可行域是由曲線或直線所圍成的圖形（或一條曲線段），區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例7 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元方程；目標(biāo)函數(shù)：是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)二元函數(shù)，可以看作是一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率；可行域：以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的在軸上方的半圓及與軸的交點(diǎn)（如圖7）；可行解：所有滿足（即半圓（包括交點(diǎn)）上的點(diǎn)的坐標(biāo)）實(shí)數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點(diǎn)，使得它與點(diǎn)的斜率取得最大值和最小值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。這類問(wèn)題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性約束條件與非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用非線性約束條件作出圖形并利用非線