3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(優(yōu)秀經(jīng)典公開課比賽教案)

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點一、教材分析1、本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用本節(jié)內(nèi)容是高中新課程數(shù)學(xué)必修1第三章“函數(shù)與方程”的第一節(jié)，“函數(shù)與 方程”這個單元體現(xiàn)了函數(shù)與方程、不等式、算法等內(nèi)容的橫向聯(lián)系，也為今后 通過多次接觸、反復(fù)體會、螺旋上升方式學(xué)習(xí)函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)”方程的根與函數(shù)的零點”正體現(xiàn)函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合重要思想，同時為下節(jié)用二分法求 方程的近似解”和后續(xù)的算法等學(xué)習(xí)內(nèi)容打下基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用2、教學(xué)重難點重點：體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，掌握零點的概念及零點存在性定理。 難點：探究并發(fā)現(xiàn)零點存在性定理及其應(yīng)用。二、三維目標(biāo)分析1、知識與技能結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判

2、斷一元二次方程根的存在性及個數(shù)， 從而了解函數(shù)的零 點與方程的根的聯(lián)系理解并會用零點存在性定理。2、過程與方法培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、猜想，驗證的能力，并從中體驗從特殊到一般及 函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的重要思想。3、情感態(tài)度與價值觀在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和 求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)：1、新課程標(biāo)準的基本要求：注重基礎(chǔ)，避免拓展，注重聯(lián)系，突出本質(zhì)2、學(xué)生的認知水平：已有的認知基礎(chǔ)是初中學(xué)習(xí)過二次函數(shù)定義圖象及性質(zhì)和 一元二次方程解法，并且體會過“當(dāng)函數(shù)值為O時，求相應(yīng)自變量的值”的問題， 初步認識到一元二次方

3、程與相應(yīng)二次函數(shù)的聯(lián)系， 對二次函數(shù)圖象與'軸是否相 交，也有一些直觀的認識與體會.在高中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì)， 掌握了研究部分基本初等函數(shù)性質(zhì)的思想方法.三、教法學(xué)法為了達到三維目標(biāo)，突出重點攻克難點，我制定了以下的教法和學(xué)法教法：探究式教學(xué)法教學(xué)手段：采用多媒體輔助教學(xué)，構(gòu)建學(xué)生自主掌握的平臺 學(xué)法：觀察發(fā)現(xiàn) 自主探索 合作交流四、教學(xué)過程（以問題為載體，學(xué)生活動為主線探索、類比、猜想、發(fā)現(xiàn)并獲得新知）倉U設(shè)建構(gòu)問題>函數(shù)情境零點概念探究發(fā)現(xiàn) 零點存在 性定理演練 反饋 知識 內(nèi)化環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖實際問題情境：如圖大姚在一棟樓的離地面10米高A處 引

4、導(dǎo)學(xué)生思1、創(chuàng) 設(shè)問 題情 境， 引入 新課斜拋一個籃球（籃球運動軌跡是一條拋物線段），已知 藍球上升到最高點M時，球離地面垂直距離為40米，離3這棟樓的水平距離為1米，你能求出球落地點B離這座樓的水平距離是多少米嗎？問題1求下列方程的根（1）X2 2x 30（2）X2 2 10（3）X2 2 30（4）In X 2x 60八7考把實際問題通過建立二次函數(shù)模創(chuàng)設(shè)實際問題 情境，讓學(xué)生感 受到數(shù)學(xué)與生 活有著密切的 聯(lián)系,同時體現(xiàn) 數(shù)學(xué)建模及函 數(shù)與方程的思 想，引出新課。型，并引導(dǎo) 轉(zhuǎn)化為求相 應(yīng)一元二次 方程的根來 :解決。問題1讓學(xué)生通過自主解前3小題, 復(fù)習(xí)一元二 次方程根三 種情形。第

5、4 小題學(xué)生自 主完成遇到 困難，通過 合作交流用 所學(xué)的知識問題1中的（4） 引發(fā)認知沖突， 激起學(xué)生強烈 的求知欲，認識 到學(xué)習(xí)新知識， 探索新方法的 必要性，同時為 后面引出零點 存在判定方法 埋下伏筆。也無法解決、可題2 :填寫下表，探究一元二次方程的根與相應(yīng)二次函 數(shù)與X軸的交點的關(guān)系？讓學(xué)生自主完成表格，觀察并總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律利用表格，有利于學(xué)生進行橫向、縱向觀察得出它們的關(guān)系。一 元二次方程X2 2x 30X2 2x 10X2 2x 10二次函數(shù)X2 2x 10X2 2x 102y X 2x 3函數(shù)圖像圖象 與X軸 交占八、程根 方 的師生環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖互動1、創(chuàng) 設(shè)問 題情

6、境， 引入 新課問題3 :完成表格，并觀察一元二次方程ax2bx C 0(a 0)的根與相應(yīng)二函數(shù)y ax2 bx c(a 0)圖象與X軸交點的關(guān)b2 4ac000方IX2 bx c 0 (a 0)的根函數(shù)ax2 bx C(a 0)的圖像圖象與X軸的交點系？讓學(xué)生通過 探究，歸納 概括所發(fā)現(xiàn) 結(jié)論，并能 用相對準確 的數(shù)學(xué)語言 表達。采用表格有利于幫助學(xué)生 對知識進行疏理，從而初 步體會利用二次函數(shù)圖象 判斷相應(yīng)方程根的存在性 和個數(shù)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的 思想方法。問題2到問題 3創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生從特殊到 一般的認知過程，注重數(shù) 與形的結(jié)合。讓學(xué)生從熟 悉舊知識環(huán)境中，得到函 數(shù)零點新知識，使新舊知

7、識順利的銜接并有機聯(lián)系 起來?，F(xiàn)代教育心理學(xué)研 究認為：有效的概念教學(xué) 是建立在學(xué)生已有知識結(jié) 論的基礎(chǔ)上。教師逐一給為了幫助學(xué)生正確理解并函數(shù)零點的概念:出3個問題,掌握零點概念，設(shè)置3個問2、建構(gòu)函數(shù)零對于函數(shù)y=f(),我們把使f()=0的實數(shù)X叫做函數(shù)y=f(x)的零點。思考:讓學(xué)生思考回答，教師對回答正確題(1)強調(diào)：零點指的是一個實數(shù)(2)揭示函數(shù)f X的零點點概念（1）零點是一個點嗎？（2）怎樣理解“零點”概念雙向性呢？（3）請你說出問題2中3個函數(shù)的零點及個數(shù)？（投影問題2的表格）學(xué)生給予表 揚，回答不 正確學(xué)生給 予提示與鼓 勵。x 0fXoO并把概念符號化（3）讓學(xué)生從數(shù)

8、與形兩個方面去尋找零 點，既能讓學(xué)生鞏固零點 的概念又經(jīng)歷三個等價的 過程，從而很自然得出3 個命題的等價關(guān)系，讓學(xué) 生體會到由具體到抽象的 數(shù)學(xué)思想環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖知識分析等價性：（1 ）、（2）兩個命題的等價是從數(shù)的角度來刻畫，第（3）個命方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想， 正是咼中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重 要思想，作為一名數(shù)學(xué)教的延（1）方程f（x）=O有實數(shù)根（2）題是從形的角度來刻畫。師，不僅要傳授給學(xué)生知伸，函數(shù)y=f（x）有零點（3）函數(shù)（1）（ 2）與（3）的等價識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生得出y=f（）的圖象與X軸有交點就是方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識。等價關(guān)系函數(shù)零點的求法：代數(shù)法

9、圖象法想，并指出有了上述的等 價關(guān)系，我們就可用函數(shù) 的觀點看待方程，方程 f X 0的根即函數(shù) y f X的零點，可以把解方程f X 0的問題轉(zhuǎn)化為思 考函數(shù)y f X圖象與X 軸的交點問題。3、探問題：如何求方程Inx+2x-6=0究發(fā)的根？現(xiàn)零 點存 在性 定理在建立了函數(shù)零點概念和 得到三個等價關(guān)系基礎(chǔ)上 讓學(xué)生再次嘗試解決問題 1中第（4）小題，求方程 根的問題等價轉(zhuǎn)化為尋找 函數(shù)圖象與X軸交點的橫 坐標(biāo)的問題，我利用幾何 畫板作出函數(shù)f X的圖象 讓學(xué)生直觀感知圖象與 X 軸有一個交點即函數(shù)f X 有一個零點。然后根據(jù)本 節(jié)的教學(xué)重點引導(dǎo)學(xué)生從 數(shù)的角度探索連續(xù)函數(shù)在 某個區(qū)間內(nèi)存

10、在零點的判學(xué)了新知識，嘗試解決開 始的疑問，引出新的思 考，延續(xù)學(xué)生的探究熱情 與欲望，探究函數(shù)存在零 點的判斷方法定方法來解決，引出探究環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖(1)探究：觀察二次讓學(xué)生先自主探究再小組合作交流，鼓以二次函數(shù)為載體，通過函數(shù) f X X2 2x 3勵學(xué)生進行大膽的猜想。觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證，3、的圖像，如右圖，我們體現(xiàn)了從特殊到一般，再探發(fā)現(xiàn) f X 2 2x 3f 2 ? f 10則fx在 2,1內(nèi)有零點、f 2 ? f 40則f X在2,4內(nèi)有零點 /從一般到特殊思想，符合究在區(qū)間 2,1上有零辿想學(xué)生的認知規(guī)律。發(fā)點。計算f 2和f 1f a ?f b0一個好的猜

11、想將會推動數(shù)則f X在a,b內(nèi)有零點現(xiàn)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個學(xué)的發(fā)展，因此在數(shù)學(xué)教讓學(xué)生自己任意畫幾個函數(shù)圖象驗證自J I -A 零乘積有什么特點？在區(qū)己的猜想 y /學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生猜證結(jié)合的點八、間2,4上是否也具有這思想方法是至關(guān)重要的，存種特點呢？0 1 2 34為培養(yǎng)二十一世紀具有自在-3J主創(chuàng)新能力的人才奠定基性礎(chǔ)。疋理（2 ）發(fā)現(xiàn)零點存在性定理如果函數(shù)y f X在（I） 區(qū)間a,b上的（2）圖像 是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有（3）f a ? f b 0，那么，函數(shù)y f X在 區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即 存在C a, b使得f C 0這個C也就是 方程f X 0的根。 思考：你能說出應(yīng)用零

12、 點存在性定理應(yīng)注意哪(1)幾個條件?a / Ja/ VV(4)bB我借助以上4個圖形，引導(dǎo)學(xué)生注意應(yīng)用定理時三個條件缺一不可（1）閉區(qū)間（2）圖象連續(xù)（3）端點函數(shù)值異號, 注意強調(diào)區(qū)間中零點不一定唯一。通過圖（4） B點的運動讓學(xué)生明白零點 存在性定理不可逆。（若函f X在a,b內(nèi)有零點，不一定得出f（a）?fb 0的結(jié)論）幫助學(xué)生理解定理并能夠 正確應(yīng)用、分析定理中各 條件的作用，通過特殊圖 象將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直 觀形象的圖形，更有利于 學(xué)生理解定理的本質(zhì).從 而突出本節(jié)的重點，突破 難點。環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖零點N J 、 存在 性定 理應(yīng) 用利用計算器完成表的零點個數(shù)格，通

13、過動手實踐獲 得對書本表格的認同 感，并從表格中找出 零點所在的區(qū)間，最 后利用定理結(jié)合函數(shù) 的單調(diào)性求出f X 讓學(xué)生體會運用零點 存在性定理去探求函 數(shù)零點的過程與方 法。借助表格和圖象， 使學(xué)生對整個解題思 路有一個直觀的認 識，同時也為下節(jié)課 用“二分法求方程的 近似解”做好鋪墊設(shè)計思考的目 的：要說明函數(shù)f X 在區(qū)間0, 內(nèi)只有 一個零點還必須說明f X在區(qū)間0, 內(nèi)是單 調(diào)的(1)、函數(shù)f X大致區(qū)間A （1, 2）1C ,1 和（3,eIn X4)2的零點所在的X（2,3)e,學(xué)生自主完成，遇到自己無法解決的問 題，可以與同學(xué)合作 交流，教師恰當(dāng)引導(dǎo)通過練習(xí)讓學(xué)生初步 掌握零點

14、存在性定理 的應(yīng)用，體會方程轉(zhuǎn) 化為函數(shù)的思想，通饋，知識內(nèi)化若方程2ax2 X 10在(0，1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍()A a<-1 B a>1C-1<a<1 D 0<a<1學(xué)生自己總結(jié)解題的方法，培養(yǎng)學(xué)生善于歸納反思的能力過反饋既可以檢驗學(xué) 習(xí)效果，也便于查缺 補漏。知識與技能的 掌握需要一個不斷深 化和完善的過程。5、小請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲？讓學(xué)生自己對本節(jié)課共同反思，優(yōu)化學(xué)生結(jié)反內(nèi)容小結(jié)：進行反思小結(jié)，教師的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)思(1)、函數(shù)零點的概念對學(xué)生的小結(jié)作出必生自主探究合作的學(xué)(2)、三個等價關(guān)系要的補充和說明習(xí)方式，提咼學(xué)生的(3)、應(yīng)

15、用零點存在性定理判斷函數(shù)零反思小結(jié)能力點的存在性以及個數(shù)方法布置作業(yè)，學(xué)以致用必做題1、求函數(shù)：y=-x 2+6x+7的零點2、 方程2x1 X 5的解所在的區(qū)間是()A( 0, 1) B.( 1 , 2)C.( 2, 3) D . (3 , 4)3、若函數(shù)f(x)=x 2-ax-b的兩個零點是2和3 ,求log a25 + b 2。設(shè)計意圖：必做題鞏固學(xué)生所學(xué)的零點概念及零點存在性定理的應(yīng)用等新知識，將學(xué)生的新知識向外延伸，達到掌握本質(zhì)注重聯(lián)系。選做題2求證：f X InX 在1,e2上存在唯一零點.X設(shè)計意圖：由于學(xué)生學(xué)力水平的差異，注意分層教學(xué)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供更多發(fā)展的空間 探究題

16、1、.設(shè)函數(shù) f (X)2x ax 1 .(1) 利用計算機探求a 2和a 3時函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；(2) 當(dāng)a R時，函數(shù)f(x)的零點是怎樣分布的？設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情，在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的提高，從小培養(yǎng)科學(xué)研究的素養(yǎng)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的新理念，就是想方設(shè)法在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識，本題具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到培養(yǎng)探究能力的目的， 將學(xué)生思維引領(lǐng)到更高 的層次。五、評價與反思反饋式評價值得肯定的：積極探索勇于猜想合作交流敢于表達值得注意：注重用函數(shù)的思想解決方程問題零點存在性定理的靈活使用教學(xué)反思：現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認為，有效的概念教學(xué)是建立

17、在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，因此我在教學(xué)設(shè)計過程中注意了：( 1)在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)和新概念間尋找最近發(fā)展區(qū)”(2)設(shè)法走出 概念一帶而過，演習(xí)鋪天蓋地”的誤區(qū)，促使自己與學(xué)生一起走進 重視探究、 重視交流、重視過程”的新天地。因此教學(xué)設(shè)計過程：逐層鋪墊，降低難度由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次 函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形， 恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計算 器，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程。采用啟發(fā)一探究一討論”教學(xué)模式精心設(shè)置一個個問題鏈，給每個學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、 表現(xiàn)和成功的機會.并進行反饋式評價。教學(xué)設(shè)計說明：建構(gòu)主義認為：知識不是被動接受，而是認知主體積極主動建構(gòu)的。本節(jié)的教學(xué)設(shè)計正是在這種教學(xué)理念的指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)問題情境一一建構(gòu)概念一一探 究定理一一注重反思一一拓展應(yīng)用”的活動過程，體驗參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)