導(dǎo)數(shù)第一節(jié)講解練習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算1.函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為_，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為_.2.函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率_為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _.(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)_處的_.相應(yīng)地，切線方程為_.3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)_為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y.4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函

2、數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c (c為常數(shù))f(x)_f(x)xn (nQ*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f(x)ln xf(x)_5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)·g(x)_；(3)_ (g(x)0).6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx_，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于_的導(dǎo)數(shù)與_的導(dǎo)數(shù)的乘積.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1.深刻理解“函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

3、處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是一個(gè)常數(shù)；(2)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，是針對某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的.如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都可導(dǎo)，是指對于區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一個(gè)確定的值x0都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x0).這樣就在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x).在不產(chǎn)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).2.曲線yf(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別與聯(lián)系(1)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，切線斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線.(2)曲線yf(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線

4、經(jīng)過P點(diǎn).點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條.1. f(x)是函數(shù)f(x)x32x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為_.2.如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.3.已知f(x)x23xf(2)，則f(2)_.4.已知點(diǎn)P在曲線f(x)x4x上，曲線在點(diǎn)P處的切線平行于3xy0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.5.已知曲線yx23ln x的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ()A.3 B.2 C.3或2 D.題型一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)y在x0到x0x之間的平均變化率.探究提高求函數(shù)f(x)平均變化率的步驟：求函數(shù)值的增量ff(x2)f(

5、x1)；計(jì)算平均變化率.解這類題目僅僅是簡單套用公式，解答過程相對簡單，只要注意運(yùn)算過程就可以了. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)；(2)f(x).題型二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yex·ln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y(1).探究提高(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)，有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量. 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y

6、；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin ；(4)y；(5)y.例3求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5).探究提高由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類 問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一 層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程. 求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(1sin x)2；(2)yln；(3)yxe1cos x；(4)y；(5)yx.題型三導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)P

7、(2,4)的切線方程；(3)求斜率為1的曲線的切線方程.探究提高利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下條件：(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率.即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)的坐標(biāo).(2)切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上.切線有可能和曲線還有其它的公共點(diǎn). 已知拋物線yax2bxc通過點(diǎn)P(1,1)，且在點(diǎn)Q(2，1)處與直線yx3相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值.1.一審條件挖隱含試題：(12分)設(shè)函數(shù)yx22x2的圖象為C1，函數(shù)yx2axb的圖象為C2，已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直.(1)求a，b之間的關(guān)系；(2)求ab的最大值.審題路線圖C1與C2有交點(diǎn)

8、(可設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為(x0，y0)過交點(diǎn)的兩切線互相垂直(切線垂直隱含著斜率間的關(guān)系)兩切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)利用導(dǎo)數(shù)求兩切線的斜率：k12x02，k22x0a(等價(jià)轉(zhuǎn)換)(2x02)(2x0a)1(交點(diǎn)(x0，y0)適合解析式)，即2x(a2)x02b0(注意隱含條件方程同解)ab(消元)aba2當(dāng)a時(shí)，ab最大且最大值為.規(guī)范解答解(1)對于C1：yx22x2，有y2x2， 1分對于C2：yx2axb，有y2xa， 2分設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0，y0)，由題意知過交點(diǎn)(x0，y0)的兩條切線互相垂直.(2x02)·(2x0a)1，即4x2(a2)x02a

9、10 又點(diǎn)(x0，y0)在C1與C2上，故有2x(a2)x02b0 由消去x0，可得ab.7分(2)由(1)知：ba，aba2.10分當(dāng)a時(shí)，(ab)最大值.12分點(diǎn)評本題的切入點(diǎn)是：兩曲線有交點(diǎn)(x0，y0)，交點(diǎn)處的切線互相垂直.通過審題路線圖可以較為清晰地看到審題的思維過程.方法與技巧1.在對導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意f(x0)與(f(x0)是不一樣的，f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0；而(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0)0.2.對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí)，不但要重視

10、求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤.失誤與防范1.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意到x與x的區(qū)別，這里的x是常量，x是變量.2.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.3.求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.4.曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別.§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1.(2011·山東)曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切

11、線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ()A.9 B.3 C.9 D.152.已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于 ()A.e2 B.e C. D.ln 23.若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為 ()A.4xy30 B.x4y50C.4xy30 D.x4y30二、填空題4.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)fsin xcos x，則f_.5.已知函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，則函數(shù)y的圖象在x5處的切線方程為_.6.設(shè)點(diǎn)P是曲線yx23x3上的一個(gè)動點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線中，斜率取得最小值時(shí)的切線方程是_.三、解答題7

12、.已知曲線yx3x2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點(diǎn)P0在第三象限.(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線ll1，且l也過切點(diǎn)P0，求直線l的方程.8.如右圖所示，已知A(1,2)為拋物線C：y2x2上的點(diǎn)，直線l1過點(diǎn)A，且與拋物線C相切，直線l2：xa (a<1)交拋物線C于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D.(1)求直線l1的方程；(2)求ABD的面積S1.B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1.(2011·湖南)曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為 ()A. B.C. D.2.(2011·大綱全國)曲線ye2x1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A.

13、 B.C. D.13.已知函數(shù)f(x)x2bx的圖象在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線l與直線3xy20平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為()A. B.C. D.二、填空題4.設(shè)函數(shù)f(x)x3x2tan ，其中，則導(dǎo)數(shù)f(1)的取值范圍是_.5.已知函數(shù)yf(x)及其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程是_.6.曲邊梯形由曲線yx21，y0，x1，x2所圍成，過曲線yx21，x1,2上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為_.三、解答題7.設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4

14、y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.答案要點(diǎn)梳理1.2.(1) (2)(x0，f(x0)切線的斜率yy0f(x0)(xx0)3. 4.0nxn1cos xsin xaxln a(a>0)ex(a>0，且a1)5.(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)6.yu·uxy對uu對x基礎(chǔ)自測1.32.23.24.(1,0)5.B題型分類·深度剖析例1解y，.變式訓(xùn)練1(1)(2)f(x)例2解(1)y(ex·ln x)exln x

15、ex·ex(ln x).(2)yx31，y3x2.(3)先使用三角公式進(jìn)行化簡，得yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(4)先化簡，y·1xx，yxx.變式訓(xùn)練2(1)yx3x22x3sin xx2cos x.(2)y3x212x11(3)ycos x(4)y(5)ysin xcos x例3解(1)設(shè)u2x3，則y(2x3)5由yu5與u2x3復(fù)合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)設(shè)u3x，則y由yu與u3x復(fù)合而成.yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.

16、(3)設(shè)yu2，usin v，v2x，則yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)設(shè)yln u，u2x5，則yxyu·ux，y·(2x5).變式訓(xùn)練3解(1)設(shè)u1sin x，則y(1sin x)2，由yu2與u1sin x復(fù)合而成.yf(u)·u2u·cos x2(1sin x)·cos x.(2)y(ln)·()·(x21)·(x21).(3)y(xe1cos x)e1cos xx(e1cos x)e1cos xxe1cos x&#

17、183;(1cos x)e1cos xxe1cos x·sin x(1xsin x)e1cos x.(4)設(shè)u13x，yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(5)y(x)x·x().例4解(1)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為：y|x24.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率為：y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yx·xx.點(diǎn)P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x0

18、1)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則切線的斜率為：x1，x0±1.切點(diǎn)為(1,1)或，切線方程為y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.變式訓(xùn)練4解y2axb，拋物線在Q(2，1)處的切線斜率為ky|x24ab.4ab1.又P(1,1)、Q(2，1)在拋物線上，abc1，4a2bc1.聯(lián)立解方程組，得實(shí)數(shù)a、b、c的值分別為3、11、9.課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1.C2.B3.A4.5.5x16y306.12x3y807.解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x±1.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y4.又點(diǎn)P0在第三象限，切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4).(2)直線ll1，l1的斜率為4，直線l的斜率為.l過切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4)，直線l的方程為y4(x1)，即x4y170.8.解(1)由條件知點(diǎn)A(1,2)為直線l1與拋物線C的切點(diǎn)，y4x，直線l1的斜率k4，所以直線l1的方程為y24(x1)，即4xy20.(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，由條件可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,2a2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，4a2)，ABD的面積為S1×|2a2(4a2)|×|