導數(shù)證明不等式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上利用導數(shù)證明不等式的兩種通法利用導數(shù)證明不等式是高考中的一個熱點問題，利用導數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式（）的問題轉(zhuǎn)化為證明（），進而構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性或證明函數(shù)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知，求證：證明這個變式題可采用兩種方法：第一種證法：運用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式以后，根據(jù)來證明不等式；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)和，其中然后證明各

2、自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：）例2 求證：技巧一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。1、利用題目所給函數(shù)證明 【例1】 已知函數(shù)，求證：當時，恒有如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有（或），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù) 求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將

3、移項后的左式設為函數(shù)），并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式 都成立. 當在上單調(diào)遞增，則時，有如果，要證明當時，那么，只要令，就可以利用的單調(diào)增性來推導也就是說，在可導的前提下，只要證明即可4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=在R上可導且滿足不等式x恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：ab由條件移項后，容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項后練習1. 設求證：當時，恒有2. 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)其中a0，且， 求證：3. 已知

4、函數(shù)，求證：對任意的正數(shù)、， 恒有4.是定義在（0，+）上的非負可導函數(shù)，且滿足0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有 （ ）（A）af (b)bf (a)（B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，在根據(jù)的不等式關系和函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。例3已知求證：利用導數(shù)證明常數(shù)類不等式的關鍵是經(jīng)過適當?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運用的難點和關鍵所在。構(gòu)造輔助函數(shù)關鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知，求證：練習1 當時,求證:2 已