高等數(shù)學(xué)黃立宏第三習(xí)題九課后答案

1、習(xí)題九1. 求下曲線在給定點(diǎn)的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點(diǎn);(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點(diǎn)M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點(diǎn)M0(x0,y0,z0).解：曲線在點(diǎn)的切向量為當(dāng)時(shí)， 切線方程為.法平面方程為即 .（2）聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得 在點(diǎn)M0（1，-2，1）處，所以切向量為1，0，-1.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得于是 曲線在點(diǎn)

2、（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.2. t (0 < t < 2)為何值時(shí)，曲線L：x = t-sint, y=1-cost, z = 4sin在相應(yīng)點(diǎn)的切線垂直于平面，并求相應(yīng)的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且,故解得，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.且故切線方程為法平面方程為即 .3. 證明：螺旋線x = acost, y = asint, z = bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。4. 指出曲面z = xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z

3、=6,并求出該點(diǎn)的法線方程與切平面方程。解：zx=y, zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且，故有解得x=2,y=-1,此時(shí)，z=-2.即（2,-1,-2）處曲面的法線垂直于平面，且在該點(diǎn)處的法線方程為.切平面方程為-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.5. 求下列曲面在給定點(diǎn)的切平面和法線方程：(1)z = x2+y2,點(diǎn)M0(1,2,5);(2)z = arctan,點(diǎn)M0(1,1,);解：（1）故曲面在點(diǎn)M0(1,2,5)的切平面方程為z -5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法線方程為（2）故曲面在點(diǎn)M0(1,1,)的切平面方

4、程為z-=- (x-1)+(y-1).法線方程為.6. 證明：曲面xyz = a3上任一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積一定。證明：設(shè) F(x,y,z)=xyz-a3.因?yàn)?Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切平面方程為y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x軸，y軸，z軸上的截距分別為3x0,3y0,3z0.因各坐標(biāo)軸相互垂直，所以切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體的體積為它為一定值。7.解：平面與曲面在的切平面的法向量為 從而平面的方程為： 又的方向向量為 由求得 在上取一點(diǎn)，不妨取求得 由于在平面上，代入平面

5、方程中可求得.8. 求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)（1，1,2）處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：9. 求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故10. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)x軸正向到橢圓內(nèi)法線方向l的轉(zhuǎn)角為，它是第三象限的角，因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處切線斜率為法線斜率為.于是11.研究下列函數(shù)的極值：(1) z = x3+y33(x2+y2);(2) z = e2x(x+y2+2y);(3) z = (6xx2)(4yy2);(4) z = (x2+y2);(5) z = xy(axy),a0.解：（1）

6、解方程組得駐點(diǎn)為（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6在點(diǎn)（0，0）處，A=6，B=0，C=-6，B2AC=36<0，且A<0,所以函數(shù)有極大值z(mì)(0,0)=0.在點(diǎn)（0，2）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(0,2)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，0）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(2,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，2）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36<0，且A>0,所以函數(shù)有極小值z(mì)(2,2)=-8.(2)解方程組得駐點(diǎn)為.在點(diǎn)處,A=2e,B=0,C=2e

7、,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函數(shù)有極小值.(3) 解方程組得駐點(diǎn)為（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6xx2)在點(diǎn)（3，2）處，A=8，B=0，C=18，B2AC=8×18<0,且A<0，所以函數(shù)有極大值z(mì)(3,2)=36.在點(diǎn)（0，0）處，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(0,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（0，4）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC>0，所以(0,4)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，0）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC

8、>0，所以(6,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，4）處，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(6,4)不是極值點(diǎn).(4)解方程組得駐點(diǎn)P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在點(diǎn)P0處有z=0，而當(dāng)（x,y）(0,0)時(shí)，恒有z>0，故函數(shù)z在點(diǎn)P0處取得極小值z(mì)=0.再討論函數(shù)z=ue-u由，令得u=1,當(dāng)u>1時(shí)，；當(dāng)u<1時(shí)，,由此可知，在滿足x02+y02=1的點(diǎn)（x0,y0）的鄰域內(nèi)，不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數(shù)z在點(diǎn)（x0,y0）取得極大值z(mì)=e-1(5)解方程組得駐點(diǎn)為 zxx=-2y, zxy

9、=a-2x-2y, zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為 于是 易知H（P1）不定，故P1不是z的極值點(diǎn)，H（P2）當(dāng)a<0時(shí)正定，故此時(shí)P2是z的極小值點(diǎn)，且,H（P2）當(dāng)a>0時(shí)負(fù)定，故此時(shí)P2是z的極大值點(diǎn)，且.12. 設(shè)2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，確定函數(shù)z=z(x,y)，研究其極值。解：由已知方程分別對(duì)x,y求導(dǎo)，解得令解得,將它們代入原方程，解得.從而得駐點(diǎn).在點(diǎn)（-2，0）處，B2-AC<0，因此函數(shù)有極小值z(mì)=1.在點(diǎn)處，B2-AC<0，函數(shù)有極大值.13. 在平面xOy上求一點(diǎn)，使它到x=0, y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為

10、最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P(x,y)，P點(diǎn)到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|，到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點(diǎn),因?qū)嶋H問題存在最小值，故點(diǎn)即為所求。14. 求旋轉(zhuǎn)拋物面z = x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設(shè)P（x,y,z）為拋物面上任一點(diǎn).則點(diǎn)P到平面的距離的平方為,即求其在條件z= x2+y2下的最值。設(shè)F（x,y,z）=解方程組得故所求最短距離為15. 拋物面z = x2+y2被平面x+y+z =1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P（x,y,z），則|OP|2=x2+y2+z2.因P點(diǎn)在拋物面及平面上，所

11、以約束條件為z=x2+y2， x+y+z=1設(shè)F（x,y,z）= x2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程組得 由題意知，距離|OP|有最大值和最小值，且.所以原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)距離是，最短距離是.16. 在第I卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。解：令橢球面上任一點(diǎn)的切平面方程為即 切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為，因此切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問題。設(shè) ,解方程組得.故切點(diǎn)為，此時(shí)最小體積為*17. 設(shè)空間有n個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為,試在xOy面上找一點(diǎn)，使此點(diǎn)與這n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P（x,y,0），則此點(diǎn)與n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和為解方程組得駐點(diǎn)又在點(diǎn)處Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.故在點(diǎn)處，S取得最小值.即所求點(diǎn)為.*18. 已知過去幾年產(chǎn)量和利潤(rùn)的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x(件)404755709010